Глава 11 Числові ряди

10

Оскільки відкидання першого члена ряду на збіжність не впливає, то звідси

∞

бачимо, що якщо ∑f (n)

n=1

+∞	+∞
збігається, то ∫ f (x)dx збігається, а якщо	∫ f (x)dx
1	1

∞

збігається, то й ∑f (n) збігається.

n=1

Аналогічно робимо при доведенні розбіжності. ■

∞

1

. Ми маємо неперервну на [1; + ∞)

Приклад. Дослідити на збіжність ряд ∑

α

1

n=1

n

1

функцію

f (x) =

= x−α

> 0 ,

α ≠1. Функція

f (x)

монотонно спадає й f (n) =

.

α

α

+∞

x

n

dxα збігається, якщо існує скінчена границя

Інтеграл

∫

1

x

A dx

x−α+1

+ ∞

1

1

1

lim

∫

α

=

lim

=

lim

−

.

1

α−1

A→+∞

1 x

A→+∞ −α +1

A→+∞

1 −α

A

1 −α

Якщо α −1 > 0 , то інтеграл збігається;

якщо α −1 < 0 , то інтеграл розбігається.

+∞

dx

+ ∞ = +∞ - розбігається.

При α =1 інтеграл

∫

= ln x

1

x

1

+∞

Висновок: інтеграл

∫x−α dx збігається при α >1, розбігається при α ≤1.

1

∞

1

Відповідь. Ряд ∑

збігається при α >1, і розбігається при α ≤1.

α

n=1 n

§ 6. Знакопереміжні ряди

Тепер ми будемо розглядати ряди зі членами різних знаків. Але на початку розглянемо найбільш простий випадок, коли члени ряду по черзі мають то додатний, то від'ємний знак. Знакопереміжний ряд зручніше записувати так, щоб знаки членів були позначені, а саме

c1 − c2 + c3 − c4 +…(−1)n−1 cn +…

де cn > 0 для кожного n .

Для знакопереміжних рядів має місце наступна проста ознака Теорема (Ознака Лейбниця). Якщо члени знакопереміжного ряду: 1) монотонно спадають: cn+1 < cn для кожного n ;

2) прямують до нуля: lim cn = 0 ;

n→∞

∞

то ряд ∑(−1)n−1 cn збігається.

n=1

Доведення. □ Розглянемо парну часткову суму ряду C2n . На початку

згрупуємо так

C2n = (c1 − c2 )+ (c3 − c4 )+ (c5 − c6 )+…(c2n−1 − c2n ).

Глава 11 Числові ряди

11

Кожна з дужок додатна, ясно, що зі зростанням n парні часткові суми зростають. З іншого боку, можна згрупувати інакше

C2n = c1 −(c2 − c3 )−(c4 − c5 )−(c6 − c7 )−…(c2n−2 − c2n−1 )− c2n .

Знову кожна дужка додатна, тобто C2n < c1 .

Маємо: послідовність парних часткових сум монотонно зростає й обмежена зверху; за теоремою про границю монотонної послідовності, існує границя

lim C2n =C .

n→∞

Тепер розглянемо непарну часткову суму

C2n−1 − c2n =C2n C2n−1 =C2n + c2n .

А оскільки за необхідною умовою збіжності ряду загальний член ряду прямує до нуля, то

lim C2n−1	= lim C2n + lim c2n =C
n→∞	n→∞	n→∞

Звідси випливає, що парні й непарні часткові суми мають спільну границю, а тому C й буде сумою даного ряду. ■

∞

Зауваження. Нехай ряд ∑(−1)n−1 cn - збігається. Розглянемо залишок ряду

n=1

∞

rn = ∑(−1)k−1 ck =(−1)n [cn+1 − cn+2 + cn+3 −...] k=n+1

Аналогічно, як при доведенні теореми можна показати, що cn+1 − cc+2 + cn+3 −…< cn+1 .

Звідси маємо дуже зручну оцінку залишку ряду.

Наслідок. Залишок ряду Лейбниця по абсолютній величині не перевищує першого члена, що відкидається.

	Приклад. Знайти суму ряду 1 −																		1	+	1	−	1	+... +	(−1)n−1	+... з точністю до		1	.
																		2					4		n		10
								1												3
	Оскільки cn =											→ 0			монотонно, то ряд збігається. Скориставшись наслідком,
									n
	оцінимо залишок ряду
		r		≤ c	n+1	=	1				≤		1			n +1 ≥10 n =9 .
		n					n +1					10
	S ≈1 − 1					+	1 −	1				+ 1		−	1	+ 1	− 1	+		1 .
					2		3	4				5			6	7	8			9

§ 7. Довільні (знакозмінні) ряди

Розглянемо тепер ряди зі членами довільних знаків. Раніше ми бачили, що для додатних рядів збіжність, у багатьох випадках, установлюється легко, за допомогою ряду зручних ознак. Тому поряд із рядом

∞

∑an = a1 + a2 + a3 + …+ an + …

n=1

становить інтерес також ряд, що складено з абсолютних величин його членів

∞

∑an = a1 + a2 +... + an +...

n=1

Глава 11 Числові ряди

12

∞

Означення. Кажуть, що ряд ∑an

абсолютно збіжний, якщо збігається ряд

∞

n=1

∑

an

.

n=1

(−1)

∞

n+1

Приклад.

Ряд

∑

збігається

при

α > 0

за ознакою

Лейбниця, проте

α

n=1

n

абсолютно збігається лише при α >1.

∞

n+1

Зокрема, ∑(−

1)

збігається, але не абсолютно.

n=1

n

∞

∞

Теорема.

Якщо ∑

an

-

збігається,

то

∑an

- збігається.

Інакше кажучи, з

n=1

n=1

абсолютної збіжності випливає просто збіжність ряду.

∞

Доведення. □ Скористаємося критерієм Коши. Оскільки ∑ an збігається, то

n=1

для кожного ε > 0 існує N такий, що для кожного n > N , та для кожного p =1, 2, …

n+p

n+p

n+p

виконується ∑

ak

<ε , а звідси

∑ak

≤

∑

ak

<ε й за ознакою Коши випливає

k=n+1

k=n+1

K =n+1

∞

збіжність ряду ∑an .■

n=1

Зауваження

1.

Зворотне

твердження невірне, тобто збіжний ряд не

обов'язково збігається абсолютно.

∞

(−1)

n+1

Приклад. Ряд ∑

збігається, але абсолютно розбігається.

n

n=1

Зауваження 2. Про ряди, які збігаються, але не абсолютно кажуть, що вони збігаються умовно.

Сформулюємо ще дві ознаки збіжності рядів із членами довільних знаків.

Ознаки Абеля й Дирихле.

Розглянемо ряд

∞

∑anbn = a1b1 + a2b2 + a3b3 +…+ anbn +…

n=1

де {an }й {bn } - дві послідовності дійсних чисел.

Ознака Абеля. Якщо

∞

1) ряд ∑bn =b1 + b2 + b3 +…+ bn +… збігається,

n=1

2) числа an утворюють монотонну обмежену послідовність an ≤ K ,

∞

то ряд ∑anbn збігається.

n=1

Ознака Дирихле. Якщо

Глава 11 Числові ряди	13
∞		n
1) часткові суми ряду ∑bn	в сукупності обмежені:	∑bi		≤ M ,
n=1		i=1
2) числа an утворюють	монотонну послідовність, що прямує до нуля:
lim an = 0 ,
n→∞
∞
то ряд ∑anbn збігається.
n=1

Зауваження 1. Ознака Дирихле більше загальна в порівнянні з ознакою Абеля. Дійсно, друга умова ознаки Абеля передбачає, що послідовність {an } має

скінчену границю. Доведення цих двох ознак спирається на так називане перетворення Абеля - аналог формули інтегрування частинами для інтегралів.

Зауваження 2. Ознака Дирихле передбачає, що ряд складено з добутків двох послідовностей, одна з яких монотонна, а для іншої часткові суми ряду обмежені в сукупності однією константою. Якщо одним із множників членів ряду виступає тригонометрична функція sin n або cos n , то цей множник не утворить монотонну

послідовність. Однак нескладно одержати наступні формули

n

1

n

x

1

n

1

1

∑sin kx =

∑ 2sin

sin kx =

∑ cos k −

x − cos k +

x

=

x

x

k=1

2sin

k=1

2

2sin

k=1

2

2

2

2

x

1

(n +1)

n

cos

− cos n

+

x

2

2

sin

2

x sin 2 x

=

=

;

2sin

x

sin

x

n

2

n

x

2

n

1

1

1

1

∑cos kx =

∑ 2sin

cos kx

=

∑ sin k +

x −sin k −

x

=

x

2

x

k=1

2sin

k=1

k=1

2

2

2

2sin 2

1

x

(n +1)

n

sin n

+

x −sin

2

2

cos

2

x sin 2 x

=

=

;

2sin

x

sin

x

2

2

за допомогою яких, можна одержати оцінку для часткових сум (тут x ≠ 2πn ).

∞

1001

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд

∑(−1)n n −1

. Скористаємося

ознакою Абеля:

n=1

n +1

n

n −1

2

1) послідовність

=

1

−

монотонно зростаюча й обмежена зверху

n

+

одиницею.

n +1

1

∞

1

2) ряд

∑(−1)n

збігається

за

ознакою

Лейбниця

як

знакопереміжний,

100

n=1

n

послідовність

1

монотонно прямує до нуля.

100 n

Глава 11 Числові ряди				14
∞			1001
Відповідь. Ряд ∑(−1)n n −1				збігається за ознакою Абеля.
n=1	n +1			n

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд ∑∞ ln n sin n . Скористаємося ознакою

n=1 n

Дирихле:

1) послідовність ln n	зі зростанням n монотонно прямує до нуля:
n

прямування до нуля можна встановити за правилом Лопиталя, а для монотонності

достатньо

переконатися,

наприклад,

що при x ≥3 похідна функції f (x)=

ln x

x

від'ємна.

∞

2) часткові суми ряду ∑sin n

можна оцінити однією спільною константою

sin (n +1) sin

n

n=1

n

1

∑sin k

=

2

2

≤

.

1

sin

1

k=1

2

∞

sin 2

Відповідь. Ряд ∑

ln n

sin n збігається за ознакою Дирихле.

n=1

n

Відзначимо важливу відмінність абсолютно збіжних рядів від умовно збіжних.

Переставна властивість Теорема. Якщо ряд збігається абсолютно, то ряд, що отримано з нього

перестановкою членів, також збігається й має ту ж саму суму, що й початковий ряд. Без доведення.

Іншими словами, абсолютно збіжний ряд має переставну властивість. Теорема (Римана). Якщо ряд збігається умовно, то, яке б не було число A,

можна так переставити члени ряду, що сума ряду, який отримаємо, буде дорівнювати A ( A може дорівнювати ∞).

Без доведення.

Умовно збіжний ряд переставною властивістю не володіє.

Зауваження. Сформульований результат підкреслює той факт, що умовна збіжність здійснюється лише завдяки взаємному погашенню додатних і від'ємних членів, і тому істотно залежить від порядку, у якому ці члени йдуть, а абсолютна збіжність заснована на швидкості спадання членів, і від їхнього порядку не залежить. Зауважимо, що сума тільки додатних членів умовно збіжного ряду

дорівнює нескінченності, та сума тільки від'ємних членів також дає нескінченність:
∑an = +∞,	∑an = −∞.
an ≥0	an <0