Робота змінної сили

Нехай матеріальна точка М переміщається під дією сили , направленої уподовж осі і має змінну величину , де — абсциса рухомої точки М. Знайдемо роботу сили по переміщенню точки М вздовж осі з точки в точку . Для цього розіб'ємо відрізок точками на частинних відрізків . Сила діюча на відрізку , змінюється від точки до точки. Але якщо довжина відрізка достатньо риса, то сила на цьому відрізку змінюється трохи. Її можна приблизно вважати постійною і рівною значенню функції в довільно обраній точці . Тому робота, виконана цією силою на відрізку , рівна добутку .(Як робота постійної сили на ділянці .)

Наближене значення роботи сили на всьому відрізку є

.

Ця наближена рівність тим точніша, чим менша довжина . Тому за точне значення роботи приймається границя суми за умови, що найбільша довжина частинних відрізків прямує до нуля:

.

Отже, робота змінної сили , величина якої є неперервна функція , що діє на відрізку , дорівнює визначеному інтегралу від величини сили, узятому по відрізку . В цьому полягає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Аналогічно можна показати, що шлях , пройдений точкою за проміжок часу від до , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості : ; маса неоднорідного стержня на відрізку дорівнює визначеному інтегралу від густини : .

Приклад. Яку роботу потрібно затратити, щоб розтягнути пружину на 0,05 м, якщо сила 100 H розтягує пружину на 0,01 м?

За законом Гука пружна сила, що розтягує пружину, пропорційна видовженню , тобто , де — коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі, сила розтягує пружину нам; отже, , звідси ; отже, .

Шукана робота дорівнює

(Дж).

Приклад . Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати через край рідину з вертикального циліндрового резервуару висоти м і радіусом основи м.

Робота, затрачена на підняття тіла вагою на висоту , дорівнює . Але різні шари рідини в резервуарі знаходяться на різних глибинах і висота підняття (до краю резервуару) різних шарів не однакова.

Для розв’язку поставленої задачі застосуємо другу схему (метод диференціала). Введемо систему координат так, як показано на рисунку.

1. Робота, затрачена на викачування з резервуару шару рідини товщиною

, є функція від , тобто , де .

2. Знаходимо головну частину приросту при зміні на величину , тобто знаходимо диференціал функції .

Зважаючи на невеликий вважаємо, що «елементарний» шар рідини знаходиться на одній глибині (від краю резервуару). Тоді , де — вага цього шару; він дорівнює, де — прискорення вільного падіння, — густина рідини, — об’єм «елементарного» шару рідини (на рис. він виділений), тобто . Об'єм вказаного шару рідини, очевидно, дорівнює , де — висота циліндра (шару), — площа його основи, тобто .

Таким чином, і .

3. Інтегруючи отриману рівність в межах від до , знайдемо, що (Дж).

Шлях, пройдений тілом.

Нехай матеріальна точка переміщується по прямій із змінною швидкістю . Знайдемо шлях, пройдений нею за проміжок часу від до .

Розв’язання: З фізичного змісту похідної відомо, що при русі точки в одному напрямі «швидкість прямолінійного руху дорівнює похідній від шляху по часу», тобто . Звідси випливає, що . Інтегруючи отриману рівність в межах від до , отримаємо .

Відзначимо, що цю ж формулу можна отримати, користуючись схемою І або ІІ застосування визначеного інтеграла.

Приклад. Знайти шлях, пройдений тілом за 4 секунди від початку руху, якщо швидкість тіла (м/с).

Якщо (м/с), то шлях, пройдений тілом від початку руху до кінця 4-ої секунди, дорівнює

(м).