Тиск рідини на вертикальну пластинку

За законом Паскаля тиск рідини на горизонтальну пластинку дорівнює вазі стовпа цієї рідини, що має основою пластинку, а висотою — глибину її занурення від вільної поверхні рідини, тобто , де — прискорення вільного падіння, — густина рідини, — площа пластинки, — глибина її занурення.

По цій формулі не можна знаходити тиск рідини на вертикально занурену пластинку, оскільки її різні точки лежать на різних глибинах.

Нехай в рідину занурена вертикально пластина, обмежена лініями ; система координат вибрана так, як це показано на рисунку. Для знаходження тиску рідини на цю пластину застосуємо метод диференціала.

1. Нехай частина шуканої величини є функція від , тобто — тиск на частину пластини, відповідне відрізку значень змінної , де .

2. Дамо аргументу приріст . Функція отримає приріст

(на рис. — полоска товщини ). Знайдемо диференціал цієї функції. Зважаючи на невеликий приблизно вважатимемо смужку прямокутником, всі точки якого знаходяться на одній глибині , тобто пластинка ця — горизонтальна.

Тоді за законом Паскаля .

3. Інтегруючи отриману рівність в межах від до , отримаємо або .

Приклад. Визначити величину тиску води на півколо, вертикально занурене в рідину, якщо його радіус , а центр знаходиться на вільній поверхні води.

Скористаємося отриманою формулою для знаходження тиску рідини на вертикальну пластинку. В даному випадку пластинка обмежена лініями .Тому

.

Обчислення статичних моментів і координат центру ваги плоскої кривої

Нехай на площині задана система матеріальних точок відповідно з масами .

Статичним моментом системи матеріальних точок відносно осі називається сума добутків мас цих точок на їх ординати (тобто на відстані цих точок від осі ): .

Аналогічно визначається статичний момент цієї системи відносно осі .

Якщо маси розподілені неперервним чином вздовж деякої кривої, то для виразу статичного моменту знадобиться інтеграція.

Нехай — це рівняння матеріальної кривої . Вважатимемо її однорідною з постійною лінійною густиною .

Для довільного на кривій знайдеться точка з координатами .

Виділимо на кривій елементарну ділянку довжини , що містить точку . Тоді маса цієї ділянки дорівнює . Приймемо цю ділянку приблизно за точку, віддалену від осі на відстань . Тоді диференціал статичного моменту («елементарний момент») буде дорівнювати , тобто _.

Звідси випливає, що статичний момент кривої відносно осі дорівнює

.

Аналогічно знаходимо :

.

Статичні моменти і кривої дозволяють легко встановити положення її центру ваги (центру мас).

Центром маси матеріальної плоскої кривої називається точка площини, що володіє наступною властивістю: якщо в цій точці зосередити всю масу заданої кривої, то статичний момент цієї точки відносно будь-якої координатної осі буде рівний статичному моменту всієї кривої відносно цієї ж осі. Позначимо через центр мас кривої .

З означення центру мас отримаємо рівність і або і . Звідси або

.

Приклад. Знайти центр мас однорідної дуги кола , розташованої в першій координатній четверті.

Очевидно, довжина вказаної дуги

кола рівна , тобто . Знайдемо статичний момент її відносно осі. Оскільки рівняння дуги є і , то

Отже,

Оскільки дана дуга симетрична відносно бісектриси першого координатного кута, то

. Отже, центр мас має координати .

Обчислення статичних моментів і координат центру мас плоскої фігури

Нехай дана плоска матеріальна фігура (пластинка), обмежена кривою і прямими .

Вважатимемо, що поверхнева густина пластинки постійна . Тоді маса всієї пластинки рівна , тобто . Виділимо елементарну ділянку пластинки в виді нескінченної вузької вертикальної смуги, приблизно вважатимемо її прямокутником.

Тоді маса його рівна . Центр мас прямокутника лежить на перетині

діагоналей прямокутника. Ця точка віддалена від осі на , а від осі на (приблизно: точніше на відстань ). Тоді для елементарних статичних моментів відносно осей і виконані співвідношення.

і

Отже, ,

По аналогії з плоскою кривою отримаємо, позначивши координати центру мас плоскої фігури (пластинки) через , що , . Звідси

і

або

,

Приклад. Знайдемо координати центру мас півкола

_.

Очевидно (зважаючи на симетрію фігури відносності осі ), що . Площа півкола дорівнює . Знайдемо :

Отже,

.

Отже, центр мас має координати .