Приклади.

1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці.

.

Це знакододатний числовий ряд, який буде збіжним ().

2. Знайти інтервал збіжності ряду:

а)

Для даного ряду ;.

.

Інтервал збіжності ряду .

б)

Для даного ряду ,,.

.

Інтервал збіжності ряду , або.

в)

Для даного ряду ,,.

.

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

г)

Для даного ряду ,,.

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

д)

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності ряду буде .

е)

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Коші:

;

.

Нерівність справджується для будь-якого значення, отже, ряд буде збіжним для.

ж)

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

,;

.

Нерівність справджується, лише якщо, отже, ряд буде збіжним тільки для.

3) Знайти область збіжності степеневого ряду.

а)

Для заданого ряду ,.

.

Інтервал збіжності ряду задається умовою . Дослідимо поведінку ряду на границях цього інтервалу.

:.

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд прирозбігається.

:.

Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) ,,, …

,.

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є .

б)

Якщо необхідно дослідити поведінку ряду за степенями на границях інтервалу збіжності, доцільно ввести допоміжну зміннута розшукувати область збіжності отриманого ряду за новою змінною.

;.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу збіжності.

,.

Гармонічний ряд є розбіжним, отже , степеневий рядрозбігається при.

,.

Гармонічний ряд є розбіжним, отже , степеневий рядрозбігається при.

Таким чином, область збіжності ряду задається умовою

, або,.

в)

Введемо нову змінну та знайдемо область збіжності отриманого ряду.

Для цього ряду ,.

.

Інтервалом збіжності допоміжного ряду буде . Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу.

,.

Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) ,,, …

,.

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

,.

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд прирозбігається.

Таким чином, область збіжності допоміжного ряду відповідає умові .

Тоді область збіжності основного ряду задається нерівністю

;.

Отже, область збіжності заданого ряду – це проміжок .