1.5 Комплексная форма ряда Фурье.

Все алгебраические выражения, связанные с рядом Фурье, значительно упрощаются, если пользоваться комплексной формой ряда Фурье. Это связано с соответствующими свойствами показательной функции. Чтобы перейти к этому представлению, воспользуемся формулами Эйлера:

(17)

и выразим через показательные функции

(18)

Подставляя эти выражения в формулу (6) и проводя соответствующие преобразования, получим:

(19).

Введем обозначения

(20).

В этих обозначениях (19) примет вид

(21).

Это и есть комплексная форма ряда Фурье.

Найдем выражения для коэффициентов .

Эти формулы можно объединить в одну

(22).

Теорема Парсеваля для комплексного ряда Фурье имеет вид:

(23).

Нетрудно видеть, что для действительной функции f(t) . Таким образом, комплексный ряд Фурье означает простое изменение обозначений, при котором вместо двух линейно независимых функций действительного переменного используются две линейно-независимые комплексные функции с положительными и отрицательными частотами, соответственно.

1.6 Разложение в ряд Фурье суммы, произведения и свертки функций.

Рассмотрим вопрос сложения и умножения функций, представленных в виде рядов Фурье.

Пусть

Очевидно, разложение в ряд Фурье линейной комбинации функций сводится к нахождению линейной комбинации соответствующих коэффициентов Фурье.

(24).

Найдем разложение в ряд Фурье произведения функций f(t) и g(t) .

(25).

При этом мы ввели замену n=k+m и переставили местами суммирования по индексам n и k .Таким образом, n-ый коэффициент разложения произведения двух функций будет иметь вид

(26).

Это выражение называется сверткой последовательностей

. Таким образом, чтобы получить коэффициенты разложения произведения, нужно вычислить свертки коэффициентов.

Решим теперь обратную задачу. Найдем функцию, коэффициенты Фурье которой равны произведению соответствующих коэффициентов из двух разложений,т.е. функцию, которой соответствует ряд Фурье .

Покажем, что эта функция есть свертка периодических функций f(t) и h(t) , определяемая следующим образом:

Вычислим коэффициенты Фурье свертки.

1.7 Эффект Гиббса

Перейдем к рассмотрению одного из наиболее важных с практической точки зрения результатов теории рядов Фурье, который называется явлением Гиббса. Как было сказано выше, в точках непрерывности ряд Фурье сходится к значению функции, а в точке разрыва к среднему двух граничных значений. Каждый член ряда представляет собой непрерывную функцию и , следовательно, теорема о том, что равномерносходящийся ряд из непрерывных функций сходится к непрерывной функции, указывает теперь на то , что в точке разрыва сходимость ряда Фурье носит особый характер.

Для практических целей всегда приходится ограничивать любой формируемый ряд Фурье. Это усечение приводит к явлению, которое называется явлением Гиббса. Наиболее наглядно этот эффект можно продемонстрировать на примере уже рассмотренной прямоугольной волны.

В силу симметрии волны можно рассмотреть только сходимость частичных сумм на участке [0,p] к значению f(t) =1. Если построить графики частичных сумм , то можно видеть,что они имеют колебательный характер относительно прямой f(t)=1. Наибольшую амплитуду при этом имеет первый максимум после точки разрыва x=0 и последний максимум перед точкой разрыва x=p (кривая частичной суммы симметрична относительно x=p/2).Если выделить точки разрыва 0 и p малыми d-окрестностями, то в оставшемся промежутке [d,p-d] ряд сходится равномерно. Иными словами на этом промежутке с ростом n амплитуда осцилляций уменьшается и при достаточно больших n графики частичных сумм сколь угодно тесно примыкают к прямой y=1. Вблизи же точек разрыва x=0,p, где функция скачком переходит от значения 1 к значению 0, равномерность приближения нарушается. Однако, прежде чем устремиться к значению 0 , графики частичных сумм продолжают колебаться около прямой y=1 с возрастающей с увеличением n частотой. При этом, амплитуда этих колебаний вовсе не имеет тенденции бесконечно уменьшаться при n®¥, а остается практически постоянной. Этот дефект сходимости и носит название явления Гиббса.

Чтобы увидеть пути устранения этого эффекта, рассмотрим математически, к чему ведет усечение ряда Фурье.

Пусть функция f(t) задана в виде комплексного ряда Фурье

.

Процесс усечения этого ряда до конечной суммы есть то же самое, что умножение коэффициентов разложения на числа ....0,0,0,1,1,1,1,..........0,0,0,....... (2N+1) значение равно единице, остальные значения равны нулю). Сформируем из этих чисел последовательность :

Функцию , имеющую коэффициенты Фурье можно получить, просуммировав соответствующий ряд Фурье.

Таким образом, с помощью коэффициентов усеченный ряд Фурье для функции f(t) можно представить в виде бесконечного ряда, но для функции , коэффициенты Фурье которой есть . Такой функцией является свертка функций f(t) и h(t) . Т.е.

Таким образом, усеченный ряд Фурье для f(t) эквивалентен ее свертыванию с . При этом функцию h(t) называют свертывающим окном. С такой точки зрения усечение ряда Фурье будет тоже самое, что наблюдение исходной функции через свертывающее окно. Т.к. при больших N h(t) быстроколеблющаяся функция с максимальным значением (2N+1) в нуле и резко спадающая в обе стороны от нуля, то при свертке с прямоугольным импульсом возникают осцилляции, составляющие явление Гиббса.

. Эта неравномерная сходимость ( явление Гиббса) может быть уменьшена путем использования менее резкого усечения рядов Фурье с помощью окон данных различной модификации.

Простейшей модификацией окна коэффициентов (22) может быть замена его последовательностью значений, имеющую конечные значения 1/2 ....0,0,0,1/2,1,1,1,.........1,1/2,0,0,0,.......

Это так называемое модифицированное прямоугольное окно. Это позволяет несколько ослабить пульсации, но они все еще остаются достаточно большими.

Дальнейшая модификация весовых множителей приводит к различного рода окнам.

Окно Бартлетта:

Окно Ханнинга:

12