Лабораторные ТПР 5 лаба "Б"

21

Таблица 13.

Вид ресурсов	Запас		Культура
	ресурсов	Груша	Яблоня		Вишня
Пашня, тыс. га	1	1	1		1
Трудовые ресурсы, тыс. чел./дн.	200	100	60		200
Денежно-материальные, тыс. руб.	600	400	200		800

1) Рассматривая в качестве критерия оптимальности максимизацию общего дохода от производимой продукции, составить экономикоматематическую модель задачи.

2)С помощью ЕХСЕL определить оптимальный план посадок.

3)Сформулировать двойственную задачу и найти ее решение.

4)Как изменится план посадок плодовых культур, если будет предложено посадить ягодную культуру, затраты ресурсов на посадку и обработку которой составляют 0,5 тыс. га, 120 тыс. чел./дней, 300 тыс. руб. соответственно по каждому из ресурсов, а цена продукции с 1 га – 2 тыс.

руб.?

Вариант 9. Для откорма животных употребляется два вида корма: I и II. В каждом килограмме корма I содержится 5 ед. питательного вещества A и 2,5 ед. питательного вещества В, а в каждом килограмме корма II содержится 3 ед. питательного вещества А и 3 ед. вещества В. Экспериментальным путем было установлено, что откорм животных выгоден, когда каждое животное получает в дневном рационе не менее 30 ед. питательного вещества А и не менее 22,5 ед. вещества В. Известно, что стоимость 1 кг кормов I и II равна одной денежной единице.

1)Составить экономико-математическую модель задачи, ориентируясь на то, чтобы затраты на корм были минимальными.

2)С помощью ЕХСЕL определить оптимальный план.

3)Используя протоколы Поиска решения, выполнить анализ полученного оптимального решения исходной задачи.

4)Сформулировать двойственную задачу и найти ее решение. Вариант 10. Металлургическому заводу требуется изготовить едини-

цу объема сплава, содержащего 15 % олова, 55 % цинка и 30 % свинца. Данные об имеющихся исходных сплавах заданы следующим образом.

Таблица 14.

Показатель	Виды исходных сплавов
	1	2	3	4	5
Содержание свинца, %	40	30	25	15	35
Содержание цинка, %	40	60	45	65	60
Содержание олова, %	20	10	30	20	5
Стоимость единицы сплава, у.е.	5	4	7	5	3

22

1)Сформулировать экономико-математическую модель задачи, рассматривая в качестве критерия оптимальности минимизацию суммарных затрат на исходные сплавы.

2)С помощью ЕХСЕL определить оптимальный план (какие из исходных сплавов и в каких количествах нужно использовать для получения требуемого сплава?).

3)Сформулировать двойственную задачу и найти ее решение.

4)Как изменится состав исходных сплавов, если стоимость единицы исходного сплава 2-го и 4-го вида увеличится на 3 у.е.?

Отчет должен включать текст задачи, результаты решения в ЕХСЕL и анализ результатов.

Лабораторная работа № 3

МОДЕЛИ ОЦЕНОЧНЫХ СИСТЕМ

Цель – ознакомить с различными подходами к формированию обобщенной оценки в условиях многокритериального и/или группового выбора.

Теоретический минимум

Рассмотрим следующую задачу: пусть X – заданное множество альтернатив; Ai (x)= ai – частная оценка альтернативы x , в качестве которой

может выступать оценка по i-му критерию (показателю), или оценка, полученная от i-го эксперта; (a1 ,a2 ,...,an )1 – векторная оценка альтернативы

x X , тогда ее обобщенная (комплексная, интегральная) оценка может быть получена путем агрегирования компонент векторной оценки в соответствии с определенным принципом. Как правило, каждый критерий Ki

из множества критериев K ={K1 ,K2 ,...,Kn} имеет свой вес wi , определяю-

щий степень важности (значимости) оценки по этому критерию, а каждый эксперт Ej из группы экспертов {E1 ,E2 ,...,Em} характеризуется коэффици-

ентом компетентности cj , позволяющим учитывать значимость его мне-

ния. Поэтому оператор агрегирования учитывает весовые коэффициенты wi и/или cj и имеет вид

α(x)= Agg (W ,A),

где Agg ( ) – оператор агрегирования, формализующий некоторую стратегию агрегирования; x – альтернатива из заданного множества; α(x) – ее обобщенная оценка, A =(a1 ,a2 ,...,an )– вектор частных оценок альтернати-

1 Под вектором (x1 ,x2 ,...,xn )T будем понимать вектор-строку (x1 ,x2 ,...,xn ).

23

вы; W =(w1 ,w2 ,...,wn )– вектор весовых коэффициентов ( wi определяет степень влияния агрегатов (частных оценок) ai на обобщенную оценку α(x)).

Если A – вектор оценок альтернативы по критериям (показателям), а вектор W задает веса критериев, то α(x) – многокритериальная оценка аль-

тернативы. Если компоненты вектора W – коэффициенты компетентности экспертов, а A – вектор оценок, полученных от этих экспертов, то α(x)–

групповая (коллективная) оценка альтернативы.

Заметим, что при формировании обобщенной оценки возможны две схемы агрегирования:

1)Agg1 (W ,A)= Agg1 (g (w1 ,a1 ),g (w2 ,a2 ),...,g (wn ,an ))=α(x),

2)Agg2 (W ,A)= Agg2 (f1 (W ), f2 (A))=(ω,α(x)).

В первом случае вначале строятся агрегаты g( wi ,ai ) для всех i =1,n , которые затем «сворачиваются» в обобщенную оценку α(x). Во втором

случае агрегирование весов и частных оценок альтернатив осуществляют отдельно, причем собственно оценкой альтернативы является α(x), а ω

рассматривается как степень доверия к этой оценке.

Оператор агрегирования позволяет решать задачу наиболее радикальным способом – за счет свертки векторной оценки с соответствующим набором весов в скалярную величину, позволяя тем самым определить отношение линейного порядка на множестве альтернатив. Выбор оператора агрегирования – важнейший этап формирования моделей оценки, который напрямую зависит от качества исходной информации. Заметим, что как веса, так и оценки альтернатив могут быть как количественными, так и качественными. Если оценки количественные, то для согласования единиц измерения осуществляется переход к относительным оценкам из [0,1] с по-

мощью специальных функций нормирования ϕ :[amin ,amax ]→[0,1], где [amin ,amax ] есть отрезок, содержащий возможные значения оценок по дан-

ному критерию (или оценок, полученных от данного эксперта). При выборе подходящей функции ϕ необходимо учитывать принцип, по которому устроен критерий. Если предпочтительно иметь большее значение критерия, то целесообразно использовать монотонно возрастающие функции нормирования. Примерами таких функций являются

a	=	aold	− amin	,
new		amax	− amin

anew = aold . amax

Если критерий устроен по принципу «чем меньше, тем лучше», то рекомендуются монотонно убывающие функции. Например,

	24
a	=	amax − aold	.
new		amax − amin

Качественные оценки формируются в рамках лингвистического подхода. Чтобы задать лингвистическую переменную, необходимо, как минимум, определить три основные компоненты – множество ее значений, или термов; синтаксическую процедуру, предназначенную для образования новых, осмысленных для данной задачи значений лингвистической переменной, и семантическую процедуру для толкования нового лингвистического значения. В рамках лингвистического подхода к построению оце-

ночных моделей можно выделить кардинальное и ординальное лингвисти-

ческое оценивание. В первом случае каждому терму ставится в соответствие нечеткое число с известной функцией принадлежности. Во втором случае необходимо определить лишь множество значений переменной, сформировав специальную шкалу.

Лингвистическая шкала S представляет собой конечное линейно упорядоченное множество термов {Si}i=0 ,T , удовлетворяющих условиям:

1) если i < j , то Si предшествует S j (Si p S j ); 2) отрицание терма определяется правилом

N( S ) = ST −i , еслиT четное, i ST −i+1 , еслиT нечетное;

3) дизъюнкция (связка «или») термов определяется правилом

Si S j = max{Si ,S j }= S j , если (Si p S j );

4) конъюнкция (связка «и») термов определяется правилом

Si S j = max{Si ,S j }= Si , если (Si p S j ).

Пример. Пусть S0 – None (N) – несущественный, S1 – Very Low (LV) –

очень низкий; S2 – Low (L) – низкий; S3 – Medium (M) – средний; S4 – High

(H) – высокий; S5 – Very High (VH) – очень высокий; S6 – Perfect (P) – зна-

чительный, тогда лингвистическая шкала будет иметь вид

S ={S0 ,S1 ,...,S6 }

или

S ={N ,VL,L,M ,H ,VH ,P}.

Рассмотрим различные модели формирования обобщенной оценки,

учитывающие тип исходной информации. Пусть оценки альтернатив являются лингвистическими, а веса – числовыми из [0,1] или лингвистиче-

скими из заранее заданной лингвистической шкалы S ={S0 ,...,ST }.

Предположение 1: частные оценки альтернатив и весовые коэффициенты являются числовыми из [0,1]. Для формирования обобщенной оценки

могут быть использованы следующие операторы агрегирования:

25

а) различные формы интегрального критерия, среди которых основными являются:

линейная свертка

n

IK1 (W ,A)= ∑wi ai ,

i=1

мультипликативная свертка

n

IK2 (W ,A)=∏ai wi ,

i=1

метрический критерий

n

IK3 (W ,A)= ∑wi (ai − ai ),

i=1

где (a1 ,a2 ,...,an ) – вектор оценок идеальной альтернативы; б) MIN -операторы агрегирования:

MINW1 (A)= minmax{1 − wi ,ai},

i

MINW2 (A)= min{1 − wi + ai wi},

i

MINW3 (A)= minmin{1,1 − wi + ai};

i

в) MAX -операторы агрегирования:

MAXW1 (A)= maxmin{wi ,ai},

i

MAXW2 (A)=max{wi ai},

i

MAXW3 (A)=maxmax{0,wi + ai −1};

i

г) порядковый оператор взвешенного агрегирования (OWA-

оператор), ассоциированный с вектором весов W =(w1 ,w2 ,...,wn ), удовле-

n

творяющих условиям wi [0,1] и ∑wi =1, есть отображение

i=1

F :[0,1]n+1 →[0,1],

такое что

n

FW ( X ) = F (W , X )= ∑wi aσ( i ) ,

i=1

где σ :{1,...,n} →{1,...,n} – перестановка, такая что aσ( i ) ≥ aσ( i+1 ) .

Таким образом, обобщенная оценка, вычисленная на основе OWA- оператора, есть результат скалярного произведения вектора весов W на вектор, полученный из A упорядочением элементов по невозрастанию. Если этот вектор обозначить через B , то

n

FW (X )= ∑wibi .

i=1

26

В отличие от классической аддитивной свертки, принимающей во внимание значимость источников информации, OWA-оператор позволяет учитывать важность конкретных значений аргументов.

Для FW (X ) можно определить двойственный оператор F Ω (X ) с вектором весов Ω =(ω1 ,ω2 ,...,ωn ), где ωi = wn−i+1 . Важно, что OWA-операторы отличаются друг от друга наборами весовых коэффициентов, при этом

можно	выделить:					FW* (X )= max{x1 ,x2 ,...,xn}	с весами	W*	=(1,0,...,0),
FW* (X )									n
	= min{x1 ,x2 ,...,xn} с весами W* =(0,...,0,1) и FW							(X )=	1 ∑xi при
									n i=1
1	,	1	,...,	1		Для произвольного OWA-оператора справедливо нера-
W =		n		n	.
n
венство					min{x1 ,x2 ,...,xn}≤ FW (X )≤ max{x1 ,x2 ,...,xn},
которое означает,						что в общем случае FW (X )	является оператором осред-

нения.

Особенностью порядковых операторов является то, что их можно обобщить на случай лингвистической информации.

Предположение 2: частные оценки альтернатив являются лингвисти-

ческими, а весовые коэффициенты – из			0,1 .
			[ ]
а) лингвистический OWA-оператор (LOWA-оператор) ФW ( A ) опреде-
ляется в виде
ФW ( A ) =Сn {(wk ,bk ),k =		}= w1 b1 (1 − w1 ) Сn−1 {(βh ,bh ),h =				},
	1,n				2,n
где W =(w1 ,w2 ,...,wn ) – вектор весов,			такой что wi [0,1]	и выполняется
n
условие нормировки ∑wi =1; B – вектор, полученный из				A упорядоче-

i=1

нием

по

невозрастанию

лингвистических

термов;

βh

=

wh

(h =

n

∑wk

k =2

Cn (Cn−1 )– выпуклая комбинация n (n −1) термов. При n = 2 имеем

(

C2 {(wi ,bi ),i =1,2}= w1 Si

w2 S j

= Sk ,

(

))

где S

,S

S

j ≥i

)

, b = S

, b

= S

, k = min T ,i + round

(

w

j −i

,

j

j

}

1

1

2

i

{

1

означает обычное округление.

Если wj

=1 и wk =0 при всех k ≠ j , то

ФW (A)=Cn {(wk ,bk ),k =

}=bj .

1,n

Пример. Определим лингвистическую шкалу в виде

S ={N ,VL,L,M ,H ,VH ,P}.

2,n );

round

27

Пусть W =(0.4,0.6 ), A =(VL,H ), тогда B =(H ,VL), j = 4, i = 1 и

ФW(A) = 0.4 H 0.6 VL = L = S2,

так как

k = min {6, 1 + round(0.4 (4 – 1))} = min {6, 1 + round(1.2)} = min {6, 2} = 2.

Предположение 3: частные оценки альтернатив и весовые коэффициенты являются лингвистическими.

В этом случае используются следующие операторы:

а) лингвистический MAX-оператор (LMAX)

	LMAX 1	(A)= max min{w ,a };
	W	i	i i
б)	лингвистический MIN-оператор (LMIN)
	LMINW (A)= minmax{N (wi ),ai}.
		i
б)	Пусть {(с1 ,a1 ),(c2 ,a2 ),...,(cm ,am )}		– набор агрегируемых величин,

где аi – оценка альтернативы, полученная от i-го эксперта, сi – коэффициент компетентности i-го эксперта. сi ,ai S для всех i .

Определение 1. Агрегирование множества взвешенных индивидуальных экспертных оценок {(с1 ,a1 ),(c2 ,a2 ),...,(cm ,am )} в соответствии с опера-

тором лингвистической взвешенной дизъюнкции (LWD-оператором) опре-

деляет оценку (cE ,aE ), такую, что групповая оценка альтернативы определяется

	aE = max min{ci ,ai},
	i
а степень компетентности группы экспертов
	cE =ФW (c1 ,...,cm ).
Определение 2. Агрегирование множества взвешенных индивидуаль-
ных экспертных оценок	{(с1 ,a1 ),(c2 ,a2 ),...,(cm ,am )} в соответствии с опе-

ратором лингвистической взвешенной конъюнкции (LWС-оператором) оп-

ределяет оценку (cE ,aE ), такую, что групповая оценка альтернативы определяется правилом

aE = min max{N (ci ),ai },

i

а степень компетентности группы экспертов cE =ФW (c1 ,...,cm ).

Определение 3. Агрегирование множества взвешенных индивидуальных экспертных оценок {(с1 ,a1 ),(c2 ,a2 ),...,(cm ,am )} в соответствии с LWAоператором определяет взвешенную групповую оценку (cE ,aE ), такую, что

(сE ,aE )= LWA (с1 ,a1 ),(c2 ,a2 ),...,(cm ,am ) ,

где степень компетентности группы экспертов есть

28

cE =ФW ( c1 ,...,cm ),

а групповая оценка альтернативы aE определяется по формуле

			a	E	= f g (a ,c ),...,g (a			,c	)	,
где f {ФW ,ФWI }						1	1	m m
		– операторы LOWA и I-LOWA;							g {LC1 ,LC2 ,LC3}, если
f =Ф и g {LI		,LI	,LI		}, если	f	=ФI .
W	1	2		3			W

В качестве лингвистической конъюнкции будем рассматривать:

LC1 (w,a)= min(w,a), LC2	(w,a)= min(w,a), если w > N (a),
			S0 ,иначе;
min	(w,a),если max(w,a)= ST ,
LC3 (w,a)=		S0 ,иначе.
В качестве лингвистической импликации рассматриваются
LI1 (w,a)= max(w,a),		LI2 (w,a)= ST , если w ≤ a,
			a,иначе;
		ST ,если w ≤ a,
LI3 (w,a)=
	max(N (w),a),иначе.

Практическое задание:

1. Сформулируйте содержательную постановку задачи многокритериального выбора лучшей альтернативы для случая, когда частные оценки альтернатив и весовые коэффициенты являются числовыми из [0,1]; под-

берите подходящий оператор агрегирования в следующих классах: а) квазидизъюнкции, б) квазиконъюнкции, в) MIN -операторы, г) MAX - операторы. Для случаев а) и б) определите степень компенсационных свойств. Сравните результаты, полученные для случаев а)–г).

2. Сформулируйте содержательную постановку задачи многокритериального выбора лучшей альтернативы для случая, когда частные оценки альтернатив являются лингвистическими, а весовые коэффициенты – из

[0,1].

3.Сформулируйте содержательную постановку задачи многокритериального группового выбора лучшей альтернативы для случая, когда частные оценки альтернатив и весовые коэффициенты являются лингвистическими. Определите обобщенные оценки альтернатив с помощью LWD- оператора.

4.Сформулируйте содержательную постановку задачи многокритериального группового выбора лучшей альтернативы для случая, когда частные оценки альтернатив и весовые коэффициенты являются лингвистическими. Определите обобщенные оценки альтернатив с помощью LWС- оператора.

5.Сформулируйте содержательную постановку задачи многокритериального группового выбора лучшей альтернативы для случая, когда част-

29

ные оценки альтернатив и весовые коэффициенты являются лингвистическими. Определите обобщенные оценки альтернатив с помощью LWА- оператора.

Отчет должен содержать содержательную постановку задачи, ее программную реализацию и анализ полученных результатов.

Лабораторная работа № 4

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРАТЕГИИ АГРЕГИРОВАНИЯ ПОРЯДКОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Цель – ознакомить с методами моделирования стратегии агрегирования порядковых операторов.

Теоретический минимум

1. Числовые характеристики порядковых операторов взвешенного аг-

регирования. Важнейшей характеристикой любого оператора агрегирования является стратегия агрегирования, в основе которой лежит способ принятия во внимание информации о частных оценках альтернатив. Стратегии агрегирования обычно соответствует одно из свойств:

•обобщенная оценка не может быть лучше самой плохой из частных оценок;

•обобщенная оценка ориентирована на лучшую из частных оценок;

•обобщенная оценка занимает промежуточное положение между максимальной и минимальной частными оценками, участвующими в процессе агрегирования.

Операции, реализующие первую стратегию, являются конъюнкциями (минимум, пересечение, t-нормы), а сама стратегия – конъюнктивной. Вторая стратегия реализуется дизъюнкциями (максимум, объединение, t- конормы) и называется дизъюнктивной. Третья стратегия – компромиссная

–формализуется с помощью ряда операций осреднения.

Стратегия агрегирования OWA-оператора может непосредственно оцениваться с помощью специальных величин:

		1		n
	orness(W )=			∑(wi (n −i)),
			n −1 i=1
					1	n
	andness(W )	=1 −orness(w)=				∑(wi (i −1)).
					n −1 i=1

Данные числовые характеристики классифицируют OWA-операторы по отношению к связкам «и» и «или»: andness(W ) характеризует близость

оператора к конъюнкции, а orness(W ) – к дизъюнкции. Для произвольного OWA-оператора вводится следующее определение: если orness(w)>0.5 , то

		30
соответствующий	оператор	называется		квазидизъюнкцией,	если
andness(W )>0.5 (а значит, orness(W )			≤0.5 ), то – квазиконъюнкцией.

Эмпирический опыт показывает, что ЛПР, склонное к риску, при формировании обобщенной оценки в большей степени учитывает лучшие свойства альтернатив. Эту позицию будем называть оптимистической. В противоположность ей ЛПР-пессимист имеет тенденцию в своих суждениях опираться на худшие свойства альтернатив. Заметим, что дизъюнктивная стратегия агрегирования как раз соответствует оптимистической позиции ЛПР, поэтому склонность к риску можно охарактеризовать величиной orness(W ). Чем ближе orness(W ) к единице, тем в большей степени пози-

ция ЛПР оптимистична.

Справедлива следующая теорема: пусть W и W ' – векторы весовых

коэффициентов	соответствующих	OWA-операторов, такие,	что
W =(w1 ,...,wn )	и W ' =(w1 ,...,wr−1 ,wr	+t,wr+1 ,...,wk −1 ,wk −t,wk +1 ,...,wn ),	где
t >0, k > r , тогда orness(W )< orness(W ' ).

Из теоремы следует что, изменяя вектор весов, можно увеличивать или уменьшать величину orness(W ), управляя тем самым стратегией агре-

гирования или отношением ЛПР к риску.

Некоторые оценочные модели ориентированы на наличие компенсационных свойств оператора агрегирования, когда малые значения оценок альтернативы по одному критерию компенсируются большими значениями оценок по другим. Показателем компенсационных свойств операторов агрегирования является величина

tradeoff (W )=1 − n∑n	(wi − 1n)2 .
i=1	n −1

Важно, что значения перечисленных числовых характеристик зависят от числа критериев (или экспертов) n , а это означает, что с увеличением n стратегия агрегирования, отношение к риску, а также компенсационные свойства операторов агрегирования меняются. На рис. 12 показана взаимосвязь между показателем риска orness(W ) и показателем компенсацион-

ных свойств OWA-операторов tradeoff (W ).

Другой числовой характеристикой порядковых операторов является величина энтропии (или дисперсии)

H(W )= −∑(wi ln wi ).

i=1n

Если использовать OWA-оператор как оператор осреднения, то H (W )

показывает, насколько равномерно учитываются оператором агрегируемые значения. Для любого n -мерного вектора весов W выполнено неравенство