Лабораторные ТПР 5 лаба "Б"

31

Умеренная степень риска Умеренная степень риска Максимальная степень компенсации и компенсации

Риск и компенсация	Высокая степень риска
отсутствуют	Компенсация отсутствует

Рис. 12.

0 ≤ H (W )≤ln n ,

поэтому часто вместо H (W ) используют нормированную энтропию

	__	1	n
	H(W ) = −		∑( wi ln wi ) [0,1].
		ln n i=1

Таким образом, существует целый ряд числовых характеристик, позволяющих оценивать те или иные свойства операторов агрегирования. И естественно возникает вопрос о методах моделирования операторов агрегирования с заданным уровнем свойств. Так как OWA-оператор полностью определяется вектором весовых коэффициентов W , то методы формирования весов выступают на первый план.

2. Средства моделирования стратегии агрегирования

2.1. Функции квантификации. При использовании порядковых операторов для определения весовых коэффициентов используются лингвистические кванторы, которые являются математическими моделями нечетких оценок типа несколько, по крайней мере m, большинство и т.п.

Эти термы занимают промежуточное положение между кванторами всеобщности и существования, известными из классической логики, и задаются функциями квантификации. Различают абсолютные и пропорциональные функции квантификации.

Абсолютной функцией квантификации называется непрерывная, не-

убывающая функция Q : R+ →[0,1], удовлетворяющая условиям Q(0)=0 и r (Q(r )=1). Абсолютные функции квантификации используются для представления оценки, имеющей отношение к некоторому числу (больше

32

5, приблизительно равно 3). При таком определении функции квантификации весовые коэффициенты порядкового оператора находятся по формуле

____

w1 =Q(1), wi =Q(i)−Q(i −1), i = 2,n .

Пропорциональные функции квантификации используются для каче-

ственного описания отношения части к целому (большинство, по крайней мере, половина, несколько, мало). Пропорциональная функция квантификации определяется как непрерывная неубывающая функция Q :[0,1]→[0,1], которая удовлетворяет условиям Q(0)=0 и Q(r )=1. Ве-

совые коэффициенты порядкового оператора вычисляются через пропорциональные функции квантификации по формуле

	1		i			i −1		___
w1	=Q	, wi	=Q			−Q	, i = 2,n .
	n		n				n

Графическая интерпретация весовых коэффициентов представлена на

рис. 13.

Q(r)

w3 w2

w1

r

1n 2 n 3 n

Рис. 13.

Пример. Пусть в результате опроса трех экспертов получены следующие матрицы индивидуального отношения предпочтения:

			0.5	0.75	0.87						0.5	0.66	0.94						0.5	0.66	0.75
P	1		0.25	0.5	0.66		,	P	2		0.34	0.5	0.87		,	P	3		0.34	0.5	0.66
		=								=								=				.
			0.13	0.34	0.5						0.06	0.13	0.5						0.25	0.34	0.5

Для формирования матрицы группового отношения предпочтения будем использовать порядковый оператор. Будем считать, что групповая оценка является согласованной, если ее поддерживает большинство экс-

пертов, т.е. 2 или 3. Используя лингвистический квантор большинство, задаваемый функцией квантификации

							33
		1,			r ≥0.8,
					0.8 − r
Q(r )=								0.2	≤ r ≤0.8,
		1 −				0.6
		0,				иначе,
	1			10		14
найдем вектор весов W =			,		,		.
	15			15		15

Агрегирование индивидуальных отношений предпочтения с помощью OWA-оператора, ассоциированного с данным набором весов, позволяет получить матрицу группового отношения предпочтения

	0.5	0.67	0.84
	0.32	0.5	0.67
P =				.
	0.12	0.28	0.5

Для весов, генерируемых функцией квантификации Q , можно определять все числовые характеристики, перечисленные в 4.2.1, при этом величина orness(Q) определяется по формуле

orness(Q)= ∫1 Q(r )dr .

0

Таким образом, параметризация весовых коэффициентов OWA- оператора, в частности, осуществляется через введение управляющих параметров в функцию квантификации.

2.2. Параметрические функции квантификации. Рассмотрим степенные функции квантификации вида Q(r )= rα ,α >0 . При использо-

вании этих функций весовые коэффициенты соответствующего OWA-

оператора определяются соотношением

α

i

α

i −1 α

wi

=

−

.

n

n

При фиксированной размерности n можно вычислить значения чи-

словых характеристик orness(W ) и andness(W ).

Заметим, что с другой стороны

orness(Q)= ∫1 rαdr =

1

α +1

и

0

1

α

andness(Q)=1 −orness(Q)=1 −

=

.

α

+1

α +1

Известно, что при n →∞ показатели

orness(W )

и andness(W ), вы-

численные через весовые коэффициенты, стремятся к значениям величин orness(Q) и andness(Q). Это означает, что, задав, например, величину

34

andness(W )= β , можно найти ту степень α = 1 −ββ , которая обеспечивает

заданное значение andness(Q)= β и приближенное значение andness(W ). Рис. 14 иллюстрирует зависимость величины andness(W ) от величины andness(Q) при различных значениях размерности n : f (β) при n = 2 , g (β ) при n =10 , h(β) при n =100 . Очевидно, что с ростом значения n

данная зависимость становится все более линейной.

1
0.8
f(β)
0.6
g(β)
h(β)
0.4
0.2
0	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
						β
					Рис. 14.

2.3. Экспоненциальные OWA-операторы. Определение весовых коэффициентов через числовые последовательности является одним из способов параметризации OWA-оператора. Весовые коэффициенты экспоненциального OWA-оператора можно задать двумя способами:

1)	w	=α, w =α(1 −α),..., w		=α(1 −α)n−2 ,w =(1 −α)n−1 ,
	1	2	n−1		n
2)	w	=αn−1 , w = (	1 −α)αn−2 ,..., w		= (1 −α)α,w = (1 −α),
	1	2		n−1	n
где 0 ≤α ≤1.
Если		orness(W )>α , то экспоненциальный OWA-оператор называют

оптимистическими, иначе – пессимистическим.

Задавая размерность n вектора частных оценок и желаемое значение ρ числовой характеристики orness(W ) (т.е. желаемую стратегию агреги-

рования), можно получить отвечающее этим требованиям значение параметра α . Для этого достаточно решить одно из уравнений

	1				n−1
ρ =					∑(n −i)α(1 −α)i−1 ,	(1)
		n −1 i=1
	1				n−1
ρ =				∑(n −i)αn−i (1 −α)+αn−1 .		(2)
	n −
			1 i=2

35

Очевидно, что для любого фиксированного значения 0 ≤ ρ ≤1 каждое уравнение имеет единственное решение.

Пример. Предположим, что количество агрегируемых значений равно 5. Построим экспоненциальный пессимистический OWA-оператор, для которого orness(W )= ρ =0.6 . Решая уравнение (2), определяем, что искомое

значение α равно 0.806. Подставляя полученное значение в формулы для весовых коэффициентов, получаем следующие веса:

w1 =0.422, w2 =0.102, w3 =0.126, w4 =0.156, w5 =0.194 .

Аналогично можно определить весовые коэффициенты оптимистического оператора со значением orness(W )=0.9 . Решая уравнение (1), полу-

чаем α =0.712 , при этом

w1 =0.712, w2 =0.205, w3 =0.059, w4 =0.017, w5 =0.00688 ,
а orness(W )=0.8137 .
2.4. OWA-операторы с максимальной энтропией. Рассмотрим
OWA-операторы с векторами весовых коэффициентов W 1 =(0,0,1,0,0) и
									__
W 2 =(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2). Вычислим для них значения orness(W ) и H (W ):
( )	__	(	)		( )	__	(	)
orness W 1	=0.5, H W 1			=0,	orness W 2	=0.5, H W 2			=1.

Несмотря на одинаковые значения величины orness(W ) (соответственно andness(W )=1 −orness(W )), первый оператор учитывает значение

только третьего аргумента, а второй в равной мере принимает во внимание значения всех аргументов. Можно показать, что для любого фиксированного значения orness(W ) (соответственно andness(W )) и размерности n

существует вектор весовых коэффициентов (и отвечающий ему порядковый оператор), на котором достигается максимальное значение энтропии. Такие операторы получили название MEOWA (Maximum Entropy OWA)- операторы. Известно, что для них вектор весовых коэффициентов определяется по формуле

		0	,t	1	,...,t	n−1			n−1
W = t						s		,	s = n∑ti , t R+ .
	s		s						i=0

Чтобы получить значения весовых коэффициентов OWA-оператора с
заданным значением ρ характеристики andness(W )										( orness(W )), нужно
решить уравнение			1				n
ρ = orness(W )=							∑((n −i)wi			).	(3)
				n −
					1 i=1
С учетом формулы для весовых коэффициентов уравнение (3) можно
переписать в виде		n−1		k
	n−1							n−(k+1)
ρt		+ ∑ ρ −				t			=0 .		(4)
		k=1	n −1

36

Для n = 3 последнее уравнение сводится к квадратному уравнению

ρt2 + ρ − 1 t + ρ −1 =0 , которое имеет два корня разных знаков

2

ρ −

1

ρ −

1

2

−

2

±

2

−4ρ(ρ −1)

t

=

.

2

(ρ −1)

1,2

Например, для

значения

ρ =0.8 ,

находим

два решения уравнения

t1 = -0.722,t2 =0.347 .

Подходящим

является

положительный корень

t2 =0.347 . Подставляя полученное значение в формулу для вектора весовых коэффициентов, получаем результат

W3,0.8 =(0.681,0.236,0.082).

Энтропия	найденного	вектора	весовых	коэффициентов
__
H (W3,0.8 )=0.734445 , причем		она является максимальной на множестве
всевозможных наборов весовых коэффициентов. Таким образом, OWA-
оператор, обладающий максимальной дисперсией при				n = 3 и заданном
уровне ρ =0.8	характеристики andness(W ),		имеет вектор весовых коэф-

фициентов

W3,0.8 =(0.681,0.236,0.082).

Контрольные вопросы

1.Что понимается под стратегией агрегирования?

2.Какие основные типы стратегий Вы знаете?

3.Какие числовые характеристики позволяют оценить стратегию агрегирования порядковых операторов?

4.Какие классы функций квантификации Вы знаете? Перечислите свойства этих функций.

5.Каким образом с помощью функций квантификации определяются весовые коэффициенты OWA-операторов?

6.Докажите, что для степенной параметрической функции квантифи-

кации при n →∞ показатели orness(W ) и andness(W ), вычисленные через весовые коэффициенты, стремятся соответственно к значениям

orness(Q)= ∫1	Q(r )dr и andness(Q)=1 −orness(Q). Постройте графики
0
функциональных зависимостей величины andness(W ) от величины

andness(Q) при различных значениях размерности n .

7. Сформулируйте определение экспоненциального OWA-оператора. Постройте графики зависимостей orness(W )= orness(α,n) для оптими-

стических и пессимистических OWA-операторов.

37

8. Как определяется вектор весовых коэффициентов OWA-оператора с максимальной дисперсией? Докажите, что уравнение (3) всегда разрешимо на R+ .

9. Пусть W =(1,0,...,0),W =(0,0,...,1),WA =(1n ,..., 1n). Докажите, что

orness(W )=1,orness(W )=0,orness(WA )=0.5 .

€

10. Пусть {wi}i=1,n – вектор весов OWA-оператора F (W ,A),

{wi

}i

=1,n –

€

€

вектор весов двойственного OWA-оператора F(W ,A ). Докажите, что

H (F )= H (F ),

€

€

orness(F )=1 −orness(F )= andness(F ).

11. При n = 2 определить вектор весов W

=(w ,w )=

1

,

t

при

1 2

+t

1

1 +t

заданном значении показателя andness(W )= ρ . Вычислить вектор весов при ρ =0.8 .

12.Пусть Q(x)= x2 – лингвистический квантор. Найдите веса соответствующего OWA-оператора. К какому типу он относится?

13.Пусть Q(x)= x – лингвистический квантор. Найдите веса соот-

ветствующего OWA-оператора. К какому типу он относится?

Задачи для самостоятельного решения

Примечание.

Для всех задач, перечисленных ниже, определим лингвистическую шкалу следующим образом:

S ={S0 ,S1 ,S2 ,S3 ,S4 ,S5 ,S6 },

где S0 = N – несущественный; S1 =VL – очень низкий; S2 = L – низкий;

S3 = M – средний; S4 = H – высокий; S5 =VH – очень высокий; S6 = P – значительный.

Указания к решению задач.

Каждую задачу следует решать по следующей схеме.

1. Определите, к какому типу относится исходная информация об оценках альтернатив (количественная или лингвистическая). Если необходимо, с помощью нормирования приведите количественные оценки к [0,1].

2. Определите вектор весовых коэффициентов одним из следующих способов:

а) с помощью метода парных сравнений; б) сформулируйте принцип согласования, для соответствующего ему

лингвистического квантора выберите функцию квантификации и найдите на ее основе вектор весовых коэффициентов;

38

в) задайте значение orness(W ), определите соответствующий ему па-

раметр α экспоненциального OWA-оператора и найдите веса;

г) задайте значение orness(W ) и определите веса соответствующего OWA-оператора с максимальной энтропией.

3.Определите числовые характеристики порядкового оператора с найденным набором весов и проведите его анализ.

4.Определите обобщенные оценки вариантов решений и проранжируйте их.

5.Каким-либо образом измените стратегию агрегирования и снова получите ранжирование вариантов решений. Как изменился результат?

Задача 1. При проведении Университетской весны студенческое жюри присуждает «Приз зрительских симпатий» командам факультетов. Для сравнения команд используются следующие критерии: разножанровость

(Р) – до 3 баллов, идейное содержание (ИС) – до 10 баллов, исполнительское мастерство (М) – до 10 баллов, художественное оформление (ХО) – до 5 баллов, музыкальное оформление (МО) – до 3 баллов. В результате об-

суждения выступления команд студенческое жюри выставило им оценки (табл. 15). Определить команду-победителя.

Таблица 15.

Команды	Ж	ИС	М	ХО	МО
ФАЭМ	3	10	9	5	3
ИЭФ	0.5	9	10	1	3
АФ	1	0	1	0.5	0.5
ФТФ	3	3	7	4	2
ЕГФ	1.5	3	5	1.5	1
ФАРМ	1.5	2	4	0	1.5
РТФ	2	6	8	3	1
ЕТК	0.1	0.3	0.3	0.2	0.1

Задача 2. Для оценки тематики книг, проводимой при составлении плана издательства, составлен следующий набор критериев: К1 – новизна,

К2 – перспективность, К3 – соответствие темы важнейшим направлениям развития науки и техники, К4 – прикладное значение, К5 – степень обоснованности материала, К6 – развитие работ по теме, К7 – обеспеченность книжными изданиями по теме. К работе было привлечено 10

экспертов, каждому из которых предлагали перечень критериев и просили назначить непосредственную числовую оценку относительной важности каждого критерия. Результаты опроса приведены в табл. 16. Определите обобщенную оценку важности каждого критерия, а затем относительные веса критериев.

39

Таблица 16.

					Эксперты
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
К1	0.15	0.10	0.10	0.10	0.10	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30
К2	0.20	0.20	0.15	0.20	0.20	0.25	0.20	0.15	0.25	0.20
К3	0.15	0.20	0.20	0.20	0.20	0.20	0.25	0.15	0.15	0.15
К4	0.30	0.30	0.25	0.40	0.25	0.20	0.20	0.25	0.20	0.15
К5	0.04	0.05	0.05	0.03	0.05	0.08	0.05	0.05	0.05	0.10
К6	0.06	0.05	0.10	0.03	0.05	0.07	0.05	0.05	0.05	0.05
К7	0.10	0.10	0.15	0.03	0.15	0.10	0.10	0.15	0.05	0.05

Задача 3. Некоторая фирма занимается выбором из списка претендентов подходящей кандидатуры на вакантное место. В качестве критериев были выбраны следующие: квалификация (К), опыт работы (Оп), ответственность (От), коммуникабельность (К), организованность (Ор). Все критерии являются качественными, поэтому кандидатуры оценивались в лингвистической шкале. В табл. 17 приведены результаты собеседования с претендентами.

Таблица 17.

Претенденты	К	Оп	От	К	Ор
Купцов Б.	H	M	M	VL	P
Иванов К.	VL	H	M	H	N
Матвиенко К.	M	P	L	M	VL
Комарова Д.	L	L	VH	P	H
Ерошенко А.	H	VL	M	M	N
Боев А.	H	L	H	H	M
Малюков С.	N	M	VL	N	N
Клементьева Т.	M	N	L	M	M

Определить наиболее подходящую кандидатуру на вакантное место. Задача 4. Некто решил приобрести телевизор, руководствуясь при

выборе следующими критериями, каждый из которых имеет свой коэффи-

циент значимости: качество изображения (КИ), качество звука (чистота,

громкость, стереоэффекты) (КЗ), габариты (ГБ), дизайн (ДЗ), цена (Ц), условия гарантийного обслуживания (УГ). Оценки различных марок телевизоров представлены в табл. 18. Помогите покупателю выбрать лучший телевизор.

40

						Таблица 18.
	КИ	КЗ	ГБ	ДЗ	Ц		УГ
Rolsen	L	VH	M	VH	M		L
Huinday	M	L	M	VH	M		H
Toshiba	P	M	L	VH	P		M
Sumsung	H	M	P	H	M		M
LG	H	H	H	M	H		L
RTV	VH	M	L	H	H		H
Filips	H	VH	M	M	M		H

Задача 5. Отделу анализа демографической ситуации необходимо оценить динамику населения в основных регионах страны. В качестве критериев оценки рассматривались следующие статистические показатели: ро-

ждаемость (Р), смертность (С), миграция в другие регионы (МВ), миграция из других регионов (МИ), продолжительность жизни (ПЖ), процент городского населения (ГН). Данные по регионам представлены в следующей таблице.

Таблица 19.

Регионы	Р	С	МВ	МИ	ПЖ	ГН
Краснодарский край	0,9	0,75	0,64	0.3	0.73	0.51
Хабаровский край	0.75	0.7	0.71	0.32	0.85	0.8
Владимирская область	0.75	0.94	0.45	0.4	0.8	0.8
Воронежская область	0.73	0.9	0.42	0.45	0.62	0.62
Ленинградская область	0.66	0.94	0.41	0.56	0.72	0.66
Московская область	0.65	0.8	0.35	0.8	0.71	0.8
Мурманская область	0.73	0.51	0.5	0.3	0.8	0.92
Нижегородская область	0.7	0.85	0.3	0.65	0.67	0.7
Новосибирская область	0.77	0.63	0.5	0.5	0.4	0.73
Читинская область	0.73	0.62	0.39	0.5	0.53	0.64
Ярославская обалсть	0.75	0.84	0.6	0.5	0.66	0.8

Оцените демографическую ситуацию в регионах.

Задача 6. Для исследования перспектив развития инфраструктуры Северного района аналитическим центром «Новый город» проводится исследование популярности торговых центров. В этом районе проживает большое число горожан, все они ходят за покупками, руководствуясь самыми разными мотивами. В качестве основных критериев выбора торговых объектов покупателями выделены следующие: ценовая политика (Ц),

ассортимент (А), качество товара (КТ), внутреннее оформление зала (З), наличие редких продуктов и элитных напитков (РП), дополнительные услуги и сервис (химчистка, фотолаборатория, банкомат, упаковка подар-