§2. Статистические оценки параметров распределения.

2.1 Точечные оценки.

13.29 По выборке объёма из нормально распределённой генеральной совокупностинайдено значение смещённой оценкигенеральной дисперсии. Найти значение несмещённой оценкидисперсии генеральной совокупности, если:а) ; б).

В задачах 13.30-13.34 по выборке объёманайти значения точечных оценок параметров указанных распределений, используя:а) метод моментов; б) метод максимального правдоподобия.

13.30 Биномиальное распределение с параметром (вероятность появления некоторого события А в одном испытании):

,

где - число появлений события А в-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.

13.31 Распределение Пуассона с параметром :

,

где - число появлений события в-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.

13.32 Геометрическое распределение с параметром (вероя-тность появления некоторого события а в одном испытании):,

где - число испытаний до появления события А.

13.33 Показательное распределение с параметром , функция плотности которого.

13.34 Нормальное распределение с параметрами с функцией плотности.

13.35 Найти методом моментов по выборке объёмазначения оценок параметровиравномерного распределения, плотность которого

().

13.36 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрараспределения «хи-квадрат», функция плотности которого

.

13.37 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрагамма-распределения (известно), функция плотности которого.

2.2 Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.

13.38 Предполагая, что распределение генеральных совокупностей является нормальным, найти 90%-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) и дисперсии следующих характеристик: а) ёмкость конденсатора, если ,,;б) время безотказной работы электролампы, если ,,;

в) диаметр вала, если ,,;г) содержа-ние углерода в ед. продукта, если ,,.

13.39 Измерения диаметров (в см) случайно отобранных из большой партии 250 валов дали следующие результаты:

	[7.8,8.0)	[8.0,8.2)	[8.2,8.4)	[8.4,8.6)	[8.6,8.8)	[8.8,9.0]
	5	20	80	95	40	10

Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего диаметра вала во всей партии.

13.40 Получены следующие данные о годовом товарообороте (в млн. руб.) 100 случайно отобранных продовольственных магазинов города:

	[100,120)	[120,140)	[140,160)	[160,180)	[180,200]
	17	40	32	8	3

Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего товарооборота продовольственного магазина в городе.

Доверительные интервалы для параметров инормально распределённой генеральной совокупности.

Параметр	Точечная оценка	Доверительный интервал
(неизвестна)		, где ,
(неизвестно)		, где , , .

Доверительный интервал для параметра биномиального распределения.

Параметр	Точечная оценка	Доверительный интервал
(,, )		, где

Объём выборки: или

Здесь: - корень уравнения (приложение 6.2); -критическая точка распределения Стьюдента (приложение 6.4);,- критические точки распределения(приложение 6.3); -предельная ошибка выборки; - доверительная вероятность;- число элементов в выборке, обладающих данным свойством.

13.41 Измерения твёрдости 16 образцов легированной стали (в условных единицах) дали следующие результаты:

13.1, 12.8, 11.9, 12.4, 13.5, 13.7, 12.0, 13.8,

10.6, 12.4, 13.5, 11.7, 13.9, 11.5, 12.5, 11.9.

В предположении, что выборка измерений получена из нормально распределённой генеральной совокупности, найти 95%-ные доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

13.42 Результаты 10 измерений ёмкости конденсатора дали следующие отклонения от номинального значения (пкФ):

.

Найти 90%-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратичного отклонения, предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.

13.43 Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзисторов коэффициент усиления оказался меньше 10. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии.

13.44 При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 повреждённых. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли повреждённых ящиков во всей партии.

13.45 Для оценки уровня безработицы в городе были отобраны случайным образом 100 человек рабочих специальностей. Из них 6 человек оказались безработными. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли безработных рабочих в городе.

13.46 При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.

13.47 С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 400 штук, причём 10 оказались бракованными. Найти 90%-ный доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника. Сколько подшипников надо проверить, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятностьпоявления бракованного подшипника отличается от относительной частотыего появления не более чем на 5%?

13.48 В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятностьвыигрыша отличается от его относительной частотыне более чем на 1%?

13.49 По результатам социологического исследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 70%. Найти границы, в которых с доверительной вероятностью заключён рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы

с вероятностью гарантировать предельную ошибку, допускаемую при определении рейтинга в результате социологического исследования, не превышающую 1%?

13.50 Высота самолёта определяется с помощью высотомера, средняя квадратичная ошибка которого . Считая, что ошибки измерения высоты самолёта распределены по нормальному закону, определить, сколько надо иметь таких приборов на самолёте, чтобы с вероятностьюпредельная ошибка измерения средней высоты самолёта была не более.

13.51 Оценка величины сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определённая по результатам измерений 100 случайно отобранных экземпляров, равна . Считая, что среднее квадратичное отклонение измерения известно:, найти вероятность того, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах. Сколько измерений нужно произвести, чтобы с вероятностьюутверждать, что для всей партии резисторов величина сопротивления лежит в пределах?