19теплвипром

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

ЗВЕДЕННЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ

19.1 Закон Стефана-Больцмана

Re = ∞∫rω,T dω =σT 4 ,

0

де Re = WSt – енергетична світність абсолютно чорного ті-

ла; W - енергія, що випромінюється тілом за час t ; S - його площа; rω,T - випромінювальна здатність; ω - циклічна частота

випромінювання; T – термодинамічна температура; σ – стала Стефана-Больцмана [σ = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4)].

19.2 Енергетична світність сірого тіла

Re = aTσT 4 ,

де aT – коефіцієнт чорноти (коефіцієнт поглинання) сірого

тіла.

19.3 Закон зміщення Віна

λm = Tb ,

де λ m – довжина хвилі, на яку припадає максимум енергії випромінювання; b – стала закону зміщення Віна

(b = 2,9 10−3 м К).

56

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

19.4 Формула Планка

r	=	2πhc2	1					,
λ,T		5			hc
		λ		e		−1
					λkT

r	=	hω3		1				,
		4π 2 c2			hω
ω,T				e
						−1
					kT
де rλ,T , rω,T – випромінювальна здатність абсолютно чор-
ного тіла; λ – довжина хвилі;		ω – циклічна частота; c – швид-

кість світла у вакуумі; k – стала Больцмана; T – термодинамічна температура; h – стала Планка; h = 2hπ - стала Планка, розділена

на 2π ( h = 2hπ =1,05 10−34 Дж с ).

19.5 Залежність максимальної випромінювальної здатності від температури

(rλ,T )max =CT 5 ,

де C – стала [C = 1,30·10-5 Вт/(м3·К5)].

57

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

Приклад 19.1 Визначити енергію W , що випромінюється за час t =1 хв зі спостережувального вікна плавильної пічі площею S =8 см2, якщо її температура T =1,2 кК.

Розв’язання

W −?

S=8cм2 =8 10−4 м2 , t =1хв = 60 с,

T=1, 2 кК.

Потік енергії, яка випромінюється зі спостережувального вікна плавильної печі, дорівнює

Фе = Re S .

(1)

Енергетичну світність абсолютно чорного тіла, яким можна вважати це вікно, визначимо із закону Стефана-Больцмана:

Re =σT 4 .

(2)

Енергія, що випромінюється піччю, дорівнює

W =Фet .

(3)

Підставивши співвідношення (2) (3) в (1), одержимо

W =σT 4 St .

Після підставлення числових значень фізичних величин отримаємо остаточно:

W = 5,67 10−8 (1,2 103 )4 8 10−4 60 =5643,5 (Дж).

58

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

Перевіримо розмірність одиниць одержаної величини:

[W ] =[σ][T ]4 [S][t] =(Вт/м2 К4) K4 м2 с=Вт с=Дж.

Відповідь: W =5643,5 Дж.

Приклад 19.2 Як і у скільки разів зміниться енергетична світність абсолютно чорного тіла, якщо максимум енергії випромінювання переміститься з червоної межі видимого спектра

(λm1 = 780 нм) на фіолетову (λm2

=390 нм)?

Розв’язання

Потік енергії, що випроміню-

Фe1 Фe2 −?

ється тілом, дорівнює

λm1

= 780 нм,

Фе

= Re S ,

(1)

λm2

=390 нм.

де Re – енергетична світність

абсолютно чорного тіла; S - його

площа.

Енергетичну світність абсолютно чорного тіла визначимо з

рівняння Стефана-Больцмана

Re

=σT 4 .

(2)

Для знаходження температури тіла скористаємося законом

зміщення Віна

λm =

b

T =

b

.

(3)

T

λm

Підставивши вираз (2) і (3) в (1), одержимо

59

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

Фе =σ(	b	)4 S .	(4)
	λm

Для різних довжин хвиль потік енергії, що випромінюється тілом, визначається такими виразами:

	Ф	е1	=σ(		b	)4 S ,		(5)
				λm1
	Ф	е2	=σ(		b		)4 S .	(6)
					λm 2

Розділивши рівняння (6) на (5), одержимо

	Фе2		σ(b / λm2 )	4	S		λm1	4
		=		4		=		.	(7)
	Фе1		σ(b / λm1 )		S		λm2

Підставивши у вираз (7) числові значення величин, одер-

жимо

	Фе2	=	(780	10−9 )4	= (2)4 =16 .
	Фе1		(390	10−9 )4

Відповідь: Фе2 =16 .

Фе1

Приклад 19.3 При збільшенні термодинамічної температури T абсолютно чорного тіла у два рази довжина хвилі λ m, на яку припадає максимум випромінювальної здатності, зменшилася на λ = 400 нм. Визначити початкову і кінцеву температури

T1 і T2 .

60

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

T1 −? T2 −?

Δλ =400 нм.

Розв’язання

У відповідності до закону зміщення Віна довжина, на яку припадає максимум випромінювальної здатності, дорівнює

λm =	b	.	(1)
	T

Для різних довжин хвиль цей вираз запишеться у вигляді:

λm1

=

b

,

(2)

T1

λm2

=

b

.

(3)

T2

За умовою задачі

λ = λm1 −λm2 =

b

−

b

.

(4)

T1

T2

Врахуємо, що T2 = 2T1 , тоді одержимо

λ =

b

−

b

=

b

.

T

2T

2T

1

1

1

Звідси

b

T

=

,

(5)

1

2

λ

b

T

= 2T =

.

(6)

2

1

λ

61

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

Підставивши у вирази (5) та (6) числові значення величин, одержимо

	T =	2,9 10−3		3	(К),
			=3,625 10
		2 400 10−9
	1
	T	= 2T =7,25 103		(К).
	2	1

Перевіримо розмірності одиниць одержаної величини:

T =	[b]	= м К м = К .
	[λ]

Відповідь: T1 =3,625 103 К; T2 = 7,25 103 К.

Приклад 19.4 Муфельна піч, яка споживає потужність N = 1 кВт, має отвір площею S = 100 см2. Визначити частку ω потужності, що розсіюється стінками печі, якщо температура її внутрішньої поверхні дорівнює T =1 кК.

				Розв’язання
				Потік енергії, що випромінюється че-
	ω - ?
				рез отвір муфельної пічки, дорівнює
N = 1 кВт=103 Вт,			,	Фе = Re S ,	(1)
S = 100 см2=10-2 м2
Т = 1 кК = 103 К.				де Re -енергетична світність отвору.

Отвір муфельної пічки можна розглядати як абсолютно чорне тіло, звідси, скориставшись законом Стефана-Больцмана, можна записати:

Re (T )=σT 4 .

(2)

Підставивши цей вираз у (1), отримаємо

62

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

Фe (T )=σT 4 S .

Скориставшись законом збереження єнергії, запишемо

ηN =Фe (T )=σT 4 S .

Звідси

η = σT 4S .

N

Підставивши числові значення фізичних величин, отримаємо відповідь

η = 5,67 10−8 (103 ) 100 10−4 =0,57. 103

Перевіримо розмірність одиниць одержаної величини:

[η] = [σ][T ]4 [S] =((Вт/м2 К4) K4 м2)/Вт=1. [N ]

Відповідь: η = 0,57 .

Приклад 19.5 Розрахувати істинну температуру T розжареної вольфрамової стрічки, якщо радіаційний пірометр показує температуру Tрад = 2,5 кК . Прийняти, що поглинальна здатність

для вольфраму не залежить від частоти випромінювання і дорів-

нює аТ =0,35 .

63

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

					Розв’язання
Т - ?				Tрад	Радіаційною	температурою
					називається	температура		при
Трад = 2,5 кК = 2,5 10	3	К,		якій	енергетична	світність Re*		аб-
				солютно чорного тіла			дорівнює
аТ = 0,35.
				енергетичній світності Re			тіла, що
досліджується при його справжній температурі T:
				Re* (Tрад )= Re (T ).				(1)
Енергетичні світності чорного та сірого тіл знайдемо з
закону Стефана-Больцмана:
			Re* (Tрад )=σTрад4 ,					(2)
			Rу (T )= aσT 4 .					(3)
Підставивши вирази (2) (3) у (1), одержимо
			σTрад4 = aσT 4 .					(4)

З цього співвідношення істинна температура вольфрамової стрічки дорівнює

T = 4 1a Tрад .

Після підставлення числових значень фізичних величин отримаємо

T =		1	2,5 103 =3250(K ).
		0,35
4

Відповідь: Т=3250 К.

64

19 ЗАКОНИ ТЕПЛОВОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

19.1 Визначити енергію, яку випромінює поверхня розплавленої платини площею S =50 см2 за t =1хв, якщо поглинальна здатність платини aT = 0,8 . Температура плавлення платини дорів-

нює Т =17700 C .

Відповідь: W = 237 кДж.

19.2 Середня енергетична світність поверхні Землі дорівнює Re = 0,54 Дж(см2 хв). Якою має бути температура Т поверхні

Землі, якщо умовно вважати, що вона випромінює як сіре тіло з коефіцієнтом чорноти аТ =0, 25 ?

Відповідь: Т = 280 К .

19.3 Беручи коефіцієнт чорноти вугілля при температурі Т = 600 К таким, що дорівнює аТ =0,8 , визначити: а) енергети-

чну світність Re вугілля; б) енергію Wе , випромінювану з поверхні вугілля площею S =5см2 за час t =10 хв.

Відповідь: Re =5,88 кДж(м2 с); Wе = 1,76 кДж.

19.4 Визначити відносне збільшення Re/Re енергетичної світності абсолютно чорного тіла при збільшенні його температури на 1%.

Відповідь: Re/Re = 4%.

19.5 Визначити, у скільки разів необхідно зменшити термодинамічну температуру чорного тіла, щоб його енергетична світність зменшилася у 16 разів.

Відповідь: T1 T2 = 2 .

19.6 Яку температуру має тіло, яке при температурі навколишнього середовища Т =170 С випромінює енергії в n=100 разів

більше, ніж поглинає?

Відповідь: Т =916 К .

65