19. Обчислення потрійного інтеграла.

Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.

Нехай область D обмежена знизу і зверху поверхнями і , а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області G на площину через D (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в D.

Рисунок 1 – Область G

Якщо при цьому область D є правильною, то область G називається правильною у напрямі осі Oz. Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі Oz, перетинає межу області G у точках M і N. Точку M назвемо точкою входу в область G, а точку N – точкою виходу з області G, а їхні аплікати позначимо відповідно через і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області G функції має місце формула

Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл за змінною Z, вважаючи X та Y сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки M входу , а верхньою – апліката точки виходу N. Внаслідок інтегрування отримаємо функцію I(x,y) від змінних x та y

Якщо область D, наприклад, обмежена кривими і , де і – неперервні функції, тобто

, то, переходячи від подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу

,(6)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні x,y і z у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями. Якщо, наприклад, область G правильна в напрямі осі Ox:

,

де – неперервні функції, то

.

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед: ,

то . (7)

У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область G правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .

19. Потрійний інтеграл у циліндричних і сферичних координатах.

Як відомо, прямокутні координати через циліндричні можна виразити формулами

Я кщо взяти то

Тоді

Сферичними координатами точки простору називається трійка чисел , де - довжина радіус-вектора точки , - кут, утворений проекцією радіус-вектора на площину і віссю , - кут відхилення радіус-вектора від осі (див. рис. 17).

Сферичні координати пов'язані з декартовими координатами співвідношеннями: , , ( , , ).

19. Застосування потрійного інтеграла до задач геометрії.

Об’єм тіла

Об’єм області V виражається або формулою

- у декартових координатах,

- у циліндричних координатах,

- у сферичних координатах.

Маса тіла

Маса тіла m при заданій об'ємній густині обчислюється за допомогою потрійного інтеграла

,

де - об'ємна густина розподілу маси в точці .

19. Застосування потрійного інтеграла до задач механіки і фізики.

Статичні моменти

Моменти , , тіла щодо координатних площин , , обчислюються по формулах

, , .

Центр ваги тіла

Координати центра ваги тіла знаходяться по формулах

, , .

Моменти інерції тіла

Моменти інерції тіла щодо координатних площин обчислюються по формулах

, , ,

а моменти інерції щодо координатних осей:

, , .

Приклад 2.4. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями і .

○Дане тіло обмежене зверху площиною , знизу – параболоїдом (див. рис. 18). Об’єм тіла знаходимо, використовуючи циліндричні координати: ●