Вопрос 6. Уравнение непрерывности

Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное соотношение, называемое уравнением непрерывности. Возьмем дивергенцию от обеих частей равенства (1.33). Учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя уравнение (1.44), получаем

Уравнение (1.48) тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной формой. Закон сохранения заряда можно сформулировать следующим образом. Всякому изменению величины заряда, распределенного в неко­торой области, соответствует электрический ток /, втекающий в эту область или вытекающий из нее:

Покажем, что формулу (1.49) можно получить из уравнения (1.48). Проинтегрируем последнее по объему V. Преобразовывая левую часть получающегося равенства по теореме Остроградского-Гаусса, а в первой части меняя порядок интегрирования и дифференцирования, приходим к уравнению

Ток   полажителен (т.е. вытекает из объема V), если заряд  уменьшается, и, наоборот, отрицателен (т.е. втекает в объемV), если заряд увеличивается.

—уравнение непрерывности (1).

Из него в частности следует, что истоками или стоками являются электрические заряды.    Если мы предположим, что объемная плотность электрического заряда в объеме неизменна во времени, то производная по времени будет равна нулю, и мы придем к следующему соотношению:

(2).

Вопрос 7. Закон Ома в Дифференциальной форме.

В теле с током выделим элементарный цилиндр. Цилиндр возьмем достаточно малым, чтобы можно было считать, что ось цилиндра параллельна линиям тока. В пределах торцов, которые перпендикулярны линиям тока плотность тока распределена равномерно с одинаковой амплитудой. Для этого цилиндра можно записать закон Ома:(1), где (2);

[R] = [Oм], [s] = [].

Известно, что вектор напряженности электрического поля параллелен вектору объемной плотности электрического тока. При этом напряжение между торцами можно записать следующим образом: (3) и получим: .

Подставляя (2), (3) в (1) получим:(4) (разделим на ds).

Учитывая, что, получаем.

,

      это запись закона Ома в дифференциальной форме.

Вопрос 8. Материальные уравнения.

Анализ электромагнитных процессов возмо­жен только на основе системы уравнений электродинамики. Такой системой являются уравнения Максвелла

 

совместно с уравнениями, связывающими векторы D и Е, В и Н, j и Е, которые в случае линейных изотропных сред имеют вид

Уравнения (1.53) часто называют уравнениями состояния, а также материальными уравнениями; они характеризуют среду. Напом­ним, что в случае линейных анизотропных сред уравнения (1.52) остаются без изменения, а в уравнениях (1.53) параметры ε, μ , σ  (по крайней мере один из них) будут тензорами (см. 1.2.3).

Вопрос 9. Уравнения Максвелла для различных сред.

Для того, чтобы использовать уравнения Максвелла для решения задач электродинамики в различных средах, необходимо учесть индивидуальные свойства среды.

D = εE, B = μH,

ε − диэлектрическая проницаемость среды, μ − магнитная проницаемость среды, σ - электропроводность среды.     В вакууме без зарядов и токов

D = ε0E,	B = μ0H,
div E = 0,	div H = 0,

    Эта система дифференциальных уравнений имеет решение - гармоническую плоскую волну. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью

c = (μ₀ε₀)^-1/2.