Вопрос 19. Однородные и неоднородные волновые уравнения для векторов эмп.

При решении прямых задач электродинамики требуется найти векторы Е и Н по известным (заданным) сторонним источникам. Предположим, что сторонние источники расположены в безграничной однородной изотропной среде. Для упрощения преоб­разований будем считать, что σ= 0. Записывая уравнения Макс­велла для данного частного случая, получаем

Определение векторов Е и Н непосредственно из системы уравнений (2.25) затруднительно. Поэтому целесообразно преоб­разовать ее, исключив либо вектор Е, либо вектор Н, т.е. получить из нее такое дифференциальное уравнение, в которое входил бы только один из векторов Е или Н. Для этого возьмем ротор от обеих частей второго уравнения системы (2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и по пространственным коор­динатам. Учитывая известное из векторного анализа равенство

Каждое из векторных уравнений (2.27) и (2.28) эквивалентно трем скалярным уравнениям, получающимся при проецировании векторного уравнения на оси X, Y и Z декартовой системы коор­динат. Эти скалярные уравнения относятся к уравнениям вида

где w и f(x, у, z, f)-искомая и заданная (известная) функции соответственно.

Вопрос 20. Векторный и скалярный потенциал. Вектор Герца.

В общем случае для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом через них вычисляют векторы Е и Н.

При известном векторе А уравнение (2.35) позволяет одно­значно найти вектор Н. Однако оно допускает некоторый произвол в определении вектора А. Действительно, если вместо А взять вектор A₁= А + grad ψ, где ψ - произвольная скалярная функция, то значение вектора Н не изменится, так как

Неоднозначность определения вектора А будет использована при выводе дифференциального уравнения для А.

Подставим выражение (2.35) во второе уравнение системы (2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и пространственным координатам. Объединив затем векторы Е и дА/дt под знаком ротора, получим rot(E + дА/дt) = 0. Учитывая тождество (2.36), можно положить, что стоящее под знаком ротора выражение равно - grad и, где и- некоторая скалярная функ­ция, или

Знак минус перед grad и в формуле (2.37) введен, чтобы в случае электростатического поля функция и совпадала с обычным эле­ктростатическим потенциалом.

Таким образом, все векторы, определяющие электромаг­нитное поле, выражаются через две функции: векторный поте­нциал А и скалярный потенциал и. Следовательно, задача состоит теперь в том, чтобы найти функции А и и. Подставляя (2.35) и (2.37) в первое уравнение системы (2.25) и преобразовывая левую часть получающегося при этом соотношения с помощью тождества (2.26), приходим к равенству

Упростим уравнение (2.38). Как уже отмечалось, вектор А определен с точностью до градиента произвольной скалярной функции. Следовательно, можно потребовать, чтобы вектор А удовлетворял добавочному условию. Потребуем, чтобы

Соотношение (2.39) принято называть условием калибровки. учетом (2.39) уравнение (2.38) принимает вид

Аналогичное уравнение получается и для скалярного потен­циала и. Подставляя (2.37) в третье уравнение системы (2.25), получаем

Используя условие калибровки (2.39) и тождество div grad и =Δ²u, приходим к уравнению

(2.41)

Таким образом, векторный и скалярный потенциалы, как и векторы Е и Н, удовлетворяют неоднородным уравнениям Даламбера.

ГЕРЦА ВЕКТОР - - потенциал эл--магн. поля, т. е. вспомогат. ф-ция, через к-рую однозначно выражаются напряжённости электрич. и магн.полей. Впервые введён Г. P. Герцем в 1888. Понятие Г. в. можно использовать лишь для однородных сред с изотропными проницаемостями. Различают электрич.и магн.Г. в. Иногда их наз. такжеполяризац. потенциалами, ибо источником, напр.,является сторонняя электрич. поляризация, связанная с плотностью внеш.зарядови токовсоотношениями