Лекции Гирдрогазодинамика / 18,19

18.Характеристики в плоском сверхзвуковом потоке. Общие свойства характеристик. Дифференциальные уравнения характеристик в физической плоскости.

Рассмотрим плоский стационарный безвихревой сверхзвуковой поток идеального невязкого газа. В декартовой системе координат х, у поле скоростей течения записывается в векторном виде V=V(x,y) или для составляющих скорости по осям х и у как U=U(x,y), V=V(x,y).

Характеристиками называются линии, исходящие из действительного или виртуального источника слабых возмущений в сверхзвуковом потоке газа и являющиеся границами области распространения этих возмущений; они известны также под названиями линий Маха или слабых волн.

Как следует из рассмотренного выше (см.п.11). в однородном сверхзвуковом потоке слабые возмущения, исходящие из точки О- источника возмущений, - при своем распространении не выходят за границы угла, образованного лучами ОА₁ и ОА₂, наклон которых к направлению скорости V составляет , где =arcsin (1\M) (18/1) угол Маха, М=V/а – число Маха. Переходя к неоднородному сверхзвуковому потоку, отсюда можно заключить, что в каждой точке определяются два характеристических направления, в общем случае меняющиеся при переходе от одной точки к другой, которые наклонены к вектору местной скорости под углами, таким образом могут быть определены два семейства характеристик как линий (кривых), касательных в каждой точке которых имеют то или иное характеристическое направление (рис.?)

Все изложенное выше позволяет сформировать следующие общие свойства характеристик в физической плоскости:

1.Через каждую точку плоскости сверхзвукового течения газа проходят две характеристики, принадлежащие к разным семействам, которые в каждой своей точке образуют с вектором скорости V углы +, где -угол Маха ( sin= ).

2.Вектор скорости V направлен по биссектрисе угла между характеристиками, принадлежащими к разным семействам.

3.Проекции вектора скорости V на нормали к характеристикам в данной точке V_n,1 и V_n,2 равны по абсолютной величине местной скорости звука а. Это следует из рассмотрения прямоугольного треугольника ОА₁О₁ (рис.?), образованного вектором скорости V=ОО₁, касательной к характеристике в точке О - ОА₁ и нормалью О₁А₁, опущенной из точки О₁ на касательную:

V_n,1= О₁А₁₌ ОО₁sin=V=a;

аналогично V_n,2=a. Добавим, что при V=a(M=1) = и характеристики обоих семейств сливаются в одну линию, перпендикулярную к направлению к направлению скорости потока.

Выражая в физической плоскости течения характеристические линии 1-го и 2-го семейств равенствами Y=Y₁(x) и Y=Y₂(x), получим дифференциальные уравнения характеристик в указанной плоскости. Обозначив ₁ и ₂ углы наклона этих линий к оси х, -угол наклона скорости V к оси х, из геометрических соображений будем иметь (см. рис.?)

_{1, 2,}

tg=,

₁₌+, ₂₌-

Из определения угла маха (18.1) имеем

tg=.

Из (18.2) и (18.4) следует, что

Подставляя сюда (18.3) и (18.5), после простых преобразований получим

=

Эти дифференциальные уравнения характеристик двух семейств действительны при условии V(или М), т.е. что поток сверхзвуковой. Они могут быть проинтегрированы, если известно поле скоростей V=V(x,y); скорость звука а при этом легко определяется из уравнения энергии в форме (12.3 или 12.6) тоже как a=a(x,y). При V=а уравнение (18.6) имеет только один корень, т.е. обе характеристики как бы сливаются в одну линию, перпендикулярную к линии тока. Для дозвукового течения V<a и уравнение 18.6 не имеет вещественных корней, т.е. и действительных характеристик не существует.

19.Характеристики в плоскости годографа скорости. Диаграмма характеристик

Физическую плоскость мы рассматриваем здесь как плоскость переменных х и у – декартовых координат, определяющих положение произвольной точки о этой плоскости. Течение жидкости определяет вектор скорости V в произвольной точке области течения, этому вектору соответствует точка О₁ – конец вектора скорости V=ОО₁ (рис ?) – и две составляющие этого вектора по осям х и у - u и . Эти величины можно рассматривать как декартовы координаты точки О₁ в так называемой плоскости годографа скорости, т.е. плоскости переменных u и . Таким образом, каждой точке О(х, у) области течения соответствует точка О₁(u,) плоскости годографа. Указанное соответствие можно распространить на любые линии в области течения, принадлежащей физической плоскости (х, у), и в плоскости годографа (u,). В частности, характеристикам в физической плоскости будут соответствовать характеристики в плоскости годографа.

Исследование дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих плоские безвихревые течения идеального газа, показывает, что имеет место следующая связь между направлениями характеристик в физической плоскости и плоскости годографа: при выборе координат осей и параллельными осям х и у характеристические направления первого семейства в физической плоскости будут перпендикулярны к характеристическим направлениям 2-го семейства в соответствующей точке плоскости годографа и , наоборот, характеристические направления второго семейства в физической плоскости перпендикулярны к характеристическим направлениям первого семейства в плоскости годографа. Т.е., если обозначить коэффициенты наклона соответствующих характеристик как

=m_1,2, =n_1,2,

то m₁n₂=-1, m₂n₁=-1.

Это свойство называется сопряженностью характеристик в физической плоскости и плоскости годографа скорости.

Из свойства сопряженности (19.1) и уравнений (18.6) легко получаются следующие дифференциальные уравнения характеристик в плоскости годографа:

=.

Перейдем здесь от проекций скорости u и к модулю скорости V и углу ее наклона к оси х - , положив U=Vcos, ;

du=cos d

Тогда уравнение (19.2) перейдет в следующее:

.

Собирая здесь члены с и и затем разделяя переменные, после преобразования найдем

=.

Перейдем здесь от числа М к приведенной скорости согласно (12.7) и получим следующее дифференциальное уравнение:

=.

Существенно, что это уравнение может быть проинтегрировано замкнутой форме и позволяет получить конечные уравнения характеристик в плоскости годографа, а именно:

= или ,

=

(M)=,

где (12.8), и – постоянные интегрирования.

Отметим, что функции и монотонно возрастающие, их значения при 1, ,1M< меняются в пределах 0, где =.

Итак, вдоль характеристик изменение угла наклона скорости определенным образом связано с изменением модуля скорости V. Эта связь не зависит от условий конкретной задачи, т.е. она универсальна и выражается уравнениями (19.4) и (19.5). При изменении приведенной скорости от до соответственно – числа Маха – от М' до М'' угол поворота потока вдоль характеристики равен

Наибольший возможный угол поворота получается при =1, и равен =и равен ; например, при к=1.4 0.725 130.5. и )

Для удобства численных расчетов зависимости и (19.5) и (19.5) протабулированы и включены в таблицы газодинамических функций.

Если в плоскости годографа приведенной скорости использовать полярную систему координат (), то кривые, соответствующие уравнениям (19.4), (19.5), будут заключеныв кольце между окружностями =1 и =и представляют собой два семейства эпициклоид – кривых, описываемых точками окружностями радиуса r=, катящейся по кругу =1 в обоих возможных направлениях (рис.?).

Для каждого значения параметра k в плоскости годографа может быть построена сетка (диаграмма) эпициклоид обоих семейств, получающихся из уравнений (19.4), (19.5) при различных начальных углах и . эта сетка называется диаграммой характеристик и используется при графических способах определения скоростей сверхзвуковых течений газа.