23.Основные уравнения для параметров потока при прямом скачке уплотнения

Предположим, что описанный выше процесс образования ударной волны – прямого скачка уплотнения – завершился (t>t_ус), скорость движения газа во всей области между поршнем и ударной волной постоянна и равна V, термодинамические параметры р, ρ и Т тоже постоянны; перед ударной волной невозмущенный газ покоится и его параметры также постоянны. Отсюда следует, что и скорость распространения ударной волны W будет также неизменна, причем, как было отмечено выше, W>V. Затем, однако, что в целом движение газа при этом будет нестационарно.

Обратим движение, т.е. будем рассматривать его относительно сис­темы отсчета, движущейся прямолинейно и равномерно вдоль оси трубы с переносной скорость вместе с ударной волной. Тогда ударная волна в такой системе координат будет неподвижной, а движение газа – стационарным. При этом поток невозмущенного газа подходит к скачку уплотнения со ско­ростью V₁=W и с параметрами состояния р₁, ρ и Т₁ , а за скачком газ движется со скоростью V₂=W–V, имея параметры состояния р₂, ρ₂ и Т_2; очевидно, что V₁> V₂, р₂>р₁, ρ₂> ρ₁и Т₂>Т₁.

Для нахождения связи между V₁, р₁, ρ_1,Т₁ и V₂, р₂, ρ_2, Т₂ в описанном стационарном движении газа воспользуемся основными уравнениями сохранения газовой динамики для цилиндрической трубки тока, записав их для двух произвольных контрольных сечений: 1 – перед и 2 – за скачком (S₁=S₂). Газ, как и выше, будем считать идеальным, калорическм совершенным (см.п.10) и невязким (см.п.1), а его движение – адиабатическим и энергоизолированным (см.п.7). В терминах, введенных при выводе уравнений газовой динамики, это означает, что q_нар 0, а_тех=0 и F_тр = 0 (см.пп.7-9). Неизоэнтропичность рассматриваемого течения и проявление диссипации на скачке уплотнения (см.пп.22) выражается неравенством q_вн>0.

При указанных условиях имеют место следующие уравнения сохранения:. уравненеие неразрывности (см.(6.3) при S₁=S₂)

ρ₁ V₁₌ ρ₂ V₂ (23.1)

Уравнение количества движения (9.7)

p₁₊ρ₁ V²₁₌ p² +ρ₂ V_{2 (}23.2)

И уравнение энергии (7.5)

h₁+ =h2+ (23.3)

Кроме того, для рассматриваемой модели газа имеем уравнение состояния (10.1, б)

=RT_i (i=1,2) (23.4)

и различные эквивалентные выражения удельной энтальпии (см.пп.10-12)

h_i=c_pT_i= (i=1,2) (23.5)

Используя одно из них, запишем уравнение энергии в форме

(23.6)

Предположим, что параметры потока перед скачком, т.е. при i=1, заданы. Тогда система уравнений (23.1), (23.2) и (23.6) будет замкнутой относительно неизвестных p₂, ρ₂ и V₂.

Нетривиальное решение этой нелинейной системы будем искать при указанных условиях на скачке уплотнения

р₂>р₁, ρ₂> ρ₁, V₂< V₁. (23.7)