Глава II. К вопросу о математизации мышления

1. Математика и психология мышления

В процессе исторического развития общества че­ловек все глубже проникает в тайны мироздания, по­знавая материальный мир в бесконечности его ка­чественных и количественных сторон. Органическая взаимосвязь качественных и количественных характе­ристик предметов создает онтологические предпосылки и одновременно объективную необходимость для мате­матизации частных, конкретных наук. Возникновение и развитие кибернетики с предельной остротой поста­вили проблему математизации перед биологией, психо­логией, социологией, лингвистикой и другими смежными науками.

Таким образом, математика, созданная научным мышлением на основе общественной практики, постепен­но обращается и на самое мышление, все более актив­но развивая его методологические и логические прин­ципы. Математизация конкретной науки есть матема­тизация познавательной деятельности, в процессе ко­торой такая наука развивается.

Любая попытка математизировать мышление долж­на прежде всего учитывать, что оно является сложней­шим специфическим процессом — многоуровневым, многоаспектным, развивающимся. Различные его сто­роны в очень разной степени поддаются математиза­ции. Это особенно проявляется при сравнении недизъ­юнктивных и дизъюнктивных аспектов мыслительной деятельности, рассмотренных в предыдущей главе. Более того, именно недизъюнктивность мышления яв­ляется тем специфическим качеством познавательной деятельности, которое составляет главную и обычно неучитываемую¹ трудность на пути любых попыток математизировать мышление. В ходе психологического изучения последнего отмеченная трудность выступает

127

наиболее отчетливо, и поэтому мы будем ее анализи­ровать на материале психологии мышления.

Таким образом, проблема математизации частных, конкретных наук, рассматривается здесь в первую оче­редь на примере психологии. Здесь эта проблема встает с предельной остротой. Мышление выступает в двояком качестве: во-первых, мы исследуем, как научное мыш­ление решает общую проблему математизации до сих пор почти не математизированных наук (безотноси­тельно к какой-либо специальной научной дисциплине); во-вторых, мы анализируем, как решается эта задача в специальной области — психологии мышления.

В течение последних 25—30 лет вопрос о возмож­ностях (преимуществах, трудностях и т. д.) математи­зации психологии становился все более острым и важ­ным. От его решения в значительной мере зависят перспективы развития всей психологической науки. Однако многочисленные попытки найти такое решение наталкиваются на серьезные трудности. Некоторые существенные итоги этих попыток подведены в извест­ной статье Б. Ф. Ломова с соавторами, в которой сделан следующий общий вывод: «Вряд ли против необходи­мости разработки специального математического аппа­рата для психологии можно возражать. Однако, к сожалению, пути разработки такого аппарата пока еще не ясны. И вряд ли их поиски могут вестись вне и по­мимо использования существующего математического аппарата»².

Чтобы правильно поставить и попытаться решить эту очень сложную и дискуссионную проблему, необхо­димо прежде всего проанализировать и соотнести друг с другом основные теоретические принципы, определя­ющие главные пути развития как психологии, так и математики.

Для своего анализа из всей математики мы избира­ем теорию множеств, имея в виду, что она лежит в основе если не всех, то большинства разделов совре­менной математики. (С точки зрения И. Бурбаки, любой математический объект есть множество.) Аналогичным образом в современной психологии мы выделяем преж-

128

де всего ту психологическую концепцию, которая в ме­тодологическом отношении является наиболее развитой. Это известная концепция психического как процесса, теоретически и экспериментально разработанная С. Л. Рубинштейном и его школой, и главным образом раз­витая им теория мышления, которая в советской психо­логии является на сегодня «наиболее развернутой»¹.

Теория множеств (в частности, связанная с ней теория вероятностей) и концепция психического как процесса отчетливо демонстрируют основные тенденции развития соответственно математики и психологии. Поэтому сопоставление хотя бы некоторых исходных понятий и принципов обеих теорий является, на наш взгляд, существенным для определения перспектив ма­тематизации психологической науки. Такое сопостав­ление мы предпринимаем здесь лишь в порядке перво­начальной постановки проблемы.

Возможности математизации любой науки зависят от того, насколько глубоко эта наука вскрывает в пред­мете своего исследования соотношение качества и ко­личества. Любая количественная характеристика како­го-либо явления, процесса и т. д. предполагает также и качественную его характеристику, но не наоборот.

На конкретном материале исходных понятий полит­экономии К. Маркс следующим образом раскрывает всеобщее соотношение качества и количества: «Работы отдельных лиц в одной и той же отрасли труда и раз­личные виды труда различны не только количественно, но и качественно. Что является предпосылкой всего лишь количественного различия вещей? Одинаковость их качества. Стало быть, количественное измерение работ предполагает однородность, одинаковость их качества»⁴. Иначе говоря, количество не обособлено, не оторвано, не отделено от качества, а, наоборот, нераз­рывно с ним связано, выражая не любые, а строго оп­ределенные качественные свойства вещей (однород­ность, одинаковость).

Например, такая количественная характеристика изучаемого процесса, как его вероятностная, стохасти­ческая структура (допускающая применение теории вероятностей), означает, что данный процесс объектив-

129

но представляет собой большую совокупность случай­ных «однородных» событий. Возможность (или невоз­можность) разбиения процесса на множество подобных событий или элементов определяется его качественными особенностями. Качественная специфика многих физи­ческих явлений допускает такое разбиение, по крайней мере до каких-то пределов. В частности, молекулярно-кинетическая теория газов в физике прежде всего исходит из того, что газ есть огромная совокупность подобных элементов — молекул.

Аналогичным образом и в психологии иногда пы­таются применить стохастической метод к анализу мышления. При этом мыслительный процесс решения задачи тоже стремятся рассматривать как совокупность или последовательность простейших статистических со­бытий или элементов². Такие попытки игнорируют, однако, наиболее существенное качественное своеобра­зие психического, мыслительного процесса, которое состоит в его изначальной целостности и неаддитив­ности, исключающих дробление на однородные, слу­чайные, относительно неизменные и т. д. события.

Неаддитивность мышления есть прямое и непосред­ственное следствие основного «механизма» мыслитель­ного процесса — анализа через синтез. На каждом этапе непрерывного взаимодействия субъекта с позна­ваемым объектом последний выступает все в новых и новых качествах, поскольку включается во все новые и существенные для него связи и отношения. Значит, каждая последующая стадия процесса мышления хотя бы в минимальной степени существенно отличается от предыдущей. И потому здесь просто нет и быть не может вышеупомянутых случайных, относительно одно­родных и неизменных элементов, подлежащих фор­мально-статистическому анализу на основе теории вероятностей, столь плодотворной в ряде других наук, но не в психологии мышления.

Следовательно, мыслительный «механизм» анализа через синтез игнорируется при вероятностном подходе, когда подсчитывают, сколько раз имел дело субъект с тем или иным свойством объекта, и на этой основе

130

пытаются прогнозировать ход мыслительного процесса — большую или меньшую вероятность актуализации дан­ного свойства и т. д. За единицу, за основание счета здесь принимается якобы неизменное свойство объекта, рассматриваемое во всех случаях как тождественное самому себе в своем предметном содержании безотно­сительно к субъекту. На самом же деле в реальном, живом мыслительном процессе одно и то же свойство объекта в различных системах связей выступает всякий раз по-разному. В каждом из этих случаев существенно меняется основание, единица счета.

В таких условиях строго математический счет вовсе невозможен, поскольку он изначально предполагает ка­чественную однородность и неизменность своего осно­вания. В этом смысле исходное, фундаментальное ка­чественное свойство мышления, о котором здесь идет речь, является принципиально неаддитивным (несумма-тивным)¹ или нелинейным. Именно это особое качество психического как процесса и создает главные трудности для математизации психологии мышления на основе теории вероятностей. С точки зрения В. Н. Пушкина, «не имеет никакого смысла пытаться построить вероят­ностную теорию мышления»², а с более общей точки зрения Б. Ф. Ломова, законы психической регуляции поведения и деятельности «не могут быть объяснены чисто стохастическими закономерностями»³.

Таким образом, на частном, но существенно важном примере теории вероятностей (основанной на теории множеств) достаточно отчетливо раскрывается всеоб­щий характер исходной, первичной зависимости любых количественных характеристик объекта от его строго определенных качественных свойств. Следовательно, вопреки довольно широко распространенной точке зре-

131

ния неверно думать, что, изучая количество, математика полностью отвлекается от всех качественных характе­ристик вещей, обособляя от них чисто количественные свойства. Здесь тоже нельзя применять дизъюнктивный способ рассуждения количество — это не качество, а качество — это не количество.

Такое полное обособление количественного аспекта объекта от специфического качественного его аспекта пытались реализовать некоторые из крайних сторон­ников кибернетики (рассматривая последнюю как чисто математическую⁴ и техническую дисциплину). Правиль­ную критику подобного обособления дал, в частности, П. К. Анохин. Он писал: «Мне не раз приходилось встре­чать молодых инженеров и физиков, которые глубоко уверены, что исследование мозга в обычных физиоло­гических лабораториях бесполезно, а вся физиология мозга в целом, включая и павловское учение, является... «субъектной наукой». И когда некоторые из них го­ворят: «Зачем нам изучать мозг, его работу, его функ­цию, если мы можем конструировать его, пользуясь, например средствами электронной техники, руководст­вуясь только физико-математическими правилами...» — ясно, что имеется дефект в самой постановке вопроса и, что особенно важно, в оправданности всех этапов его разрешения»¹.

Критикуемые П. К. Анохиным крайние взгляды на математизацию и кибернетизацию физиологии, психо­логии и других смежных наук; могут быть до конца преодолены лишь на основе правильного (недизъюнк­тивного) понимания сложнейших взаимосвязей между качеством и количеством. Если бы математика изучала чисто количественные отношения, действительно в полном отрыве от всех качественных свойств соответст­вующих объектов, она была бы в принципе и по всем линиям несопоставима с докибернетической и неки­бернетической психологией, исследующей прежде всего качественную специфику психического. Тогда не было бы преемственности такой психологии и психологии кибернетизируемой. Подобное отсутствие преемствен-

132

ности с необходимостью порождало бы тот нигилизм в отношении «традиционной» физиологии и психологии, о котором писал П. К. Анохин (а также другие авто­ры). В действительности же при правильном понимании этой большой проблемы не может и не должно быть никакого разрыва между указанными этапами в раз­витии физиологии и психологии. И тем более нет осно­ваний для вышеупомянутого нигилизма.

Поскольку, как мы видели, всякая количественная характеристика процесса или явления предполагает ка­чественную его характеристику и исходит из нее, то любое научное исследование начинается с изучения хотя бы некоторых простейших качественных свойств объекта (в истории каждой науки, например в разви­тии вышеупомянутой теории вероятностей, можно вы­явить эту важную, но не всегда учитываемую законо­мерность). В данном отношении нет принципиальных различий между столь разными и далекими друг от друга науками, как психология и математика. Послед­няя тоже хотя бы в минимальной степени учитывает те качественные характеристики объекта, которые явля­ются необходимой исходной предпосылкой всех его ко­личественных характеристик.

Несколько огрубляя и нарочито заостряя рассматри­ваемую проблему, можно даже сказать, что всякое ис­следование проходит два основных этапа: 1) перво­начальный, преимущественно качественный анализ изучаемого явления, выделяющий такие качественные свойства, которые в силу своей специфики (а) допус­кают или, наоборот, (б) не допускают последующий количественный анализ; 2) в случае (а) разрабатыва­ется адекватный математический аппарат для все более глубокого количественного анализа уже выделенных вначале свойств; при всей важности этого анализа он является, однако, не самоцелью, а необходимым сред­ством дальнейшего углубления начатого на предыдущем этапе качественного анализа объектов; в случае (б) продолжается дальше (чисто) качественное исследо­вание, которое по мере своего развития приводит или не приводит к открытию таких свойств изучаемого яв­ления, которые объективно нуждаются также и в количественном анализе. Ни одна наука (в том числе и математика) не может «перескочить» через первый из двух этапов в процессе своего исторического развития.

133

Это очень общее соотношение качества и количества представляет собой единственно надежную основу для сопоставления таких разных и потому, казалось бы, во­обще несравнимых наук, как психология и математика. Обе они неизбежно проходят через первый из указанных этапов исследования и тем самым становятся сопоста­вимыми друг с другом, несмотря на действительно огромные различия между ними. Что касается второго этапа, то и здесь мы получаем исходную основу для анализа этих различий, а также и некоторого возмож­ного сходства между психологией и математикой.

Чтобы проиллюстрировать различие и взаимосвязь между этапами любого научного исследования, продол­жим наш анализ фундаментального качественного свойства мышления — неаддитивности, в котором от­четливо проявляется исходная зависимость количест­венного подхода от качественного. Понятие «неаддитив­ность» давно используется в разных науках для обо­значения и обобщения существенно важного положения: общий эффект совместо действующих причин не равен сумме эффектов порознь действующих причин.

Как мы видели, неаддитивность мышления означает, что нельзя суммировать стадии мыслительного процесса, рассматривая их в качестве неких относительно одно­родных и неизменных «единиц», поскольку каждая последующая стадия хотя бы в минимальной степени, но существенно отличается от предыдущей стадии. В ходе изучения познавательной деятельности общее понятие неаддитивности обогащается новым, дополни­тельным содержанием, специфичным прежде всего для психологии мышления. При этом кроме установления самого по себе весьма важного факта неаддитивности мышления здесь вскрываются ее специфические при­чины: непрерывное изменение и хотя бы минимальное развитие каждой стадии мыслительного процесса, осу­ществляющиеся с необходимостью в ходе анализа через синтез.

Итак, первичным и исходным является вывод о фун­даментальном, общем свойстве мышления — неаддитив­ности и ее специфических причинах. Это и есть первый этап в ее исследовании. На следующем, втором этапе необходимо углубить ее качественный анализ и, в ча­стности, выяснить, можно или нельзя усилить и про­должить последний с помощью адекватного ему мате-

134

матического аппарата. Мы уже отмечали, что аппарат теории вероятностей, основанной на теории множеств, не является подходящим для данного случая. Рассмот­рим теперь эту проблему в более общем виде — с уче­том некоторых исходных понятий теории множеств в целом.

Главное направление анализа состоит теперь в том, чтобы сопоставить друг с другом (1) взаимоотношения между непрерывно изменяющимися стадиями мысли­тельного процесса и (2) всеобщие взаимосвязи между элементами математического множества (а не только соотношения внутри большой совокупности случайных относительно однородных событий, изучаемые теорией вероятностей).

Одной из исходных, элементарных и потому не всег­да осознаваемых предпосылок математического понятия множества является понятие или даже представление о некоторых простейших качественных изначальных свойствах тех элементов, которые образуют множество как единое целое. На первый взгляд такие свойства могут показаться слишком очевидными и, следователь­но, не заслуживающими внимания. Однако, как мы попытаемся показать, это совсем не так, поскольку именно здесь начинает обнаруживаться взаимосвязь между качественными и количественными характери­стиками, существенная для любой науки, в том числе и для математики.

Первичное и исходное понятие математического мно­жества «становится отчеливым лишь в предположении, что элементы данного множества можно рассматривать как отдельные предметы»¹. Эту изначальную четкую отделенность и рядоположность элементов в математике часто иллюстрируют на простейших примерах такого типа: множество стульев в комнате, множество нату­ральных чисел и т. д. И наоборот, по мнению некоторых математиков, нельзя в математическом смысле говорить о множестве добродетелей (самолюбие — добродетель или порок?), о множестве идей и воспоминаний², о мно­жестве капель воды в стакане и т. д., поскольку в дан­ных случаях столь четкая отделенность, рядополож­ность элементов явно отсутствуют.

135

Теперь становится очевидным, что подобная отделенность как одно из важнейших исходных свойств эле­ментов математического множества является дизъюнк­тивной в том, в частности, исключающем смысле слова¹, о котором уже подробно говорилось в преды­дущей главе. Например, в элементарном курсе геомет­рии все треугольники подразделяются на три типа: остро-, тупо- и прямоугольные, так что между ними существует отношение взаимоисключения (один и тот же треугольник не может принадлежать сразу к двум или трем типам). В тех же случаях, где не удается осуществить такое взаимоисключающее деление или расчленение, изначальная дизъюнктивность отсутству­ет. Напомним, к примеру, что, когда психологическая наука различает мыслительные и эмоциональные процессы, она не устанавливает этим никакого дизъ­юнктивного деления, поскольку всякий конкретный психический акт представляет собой органическое, не­разрывное единство познавательных и аффективных (эмоционально-волевых) аспектов.

Изначальная дизъюнктивность (или недизъюнктивность), является прежде всего качественным свойством. Именно оно, будучи основным и исходным, определяет объективную возможность всех количественных характе­ристик. Если качественная специфика данного процесса, предмета и т. д. такова, что он объективно представляет собой единство подобных отдельных, рядоположных элементов, то тем самым сразу же — хотя бы в прин­ципе — намечаются и его количественные свойства, допускающие объективную возможность количествен­ного анализа на основе теории множеств. И наоборот, если исследуемый процесс в силу своей специфической, качественной определенности исключает дизъюнктив­ность, то эта его качественная характеристика совсем иначе определяет его возможные количественные свой­ства, что и составляет главную трудность на пути теоретико-множественной математизации исследования данного процесса.

Мышление как реальный, живой процесс в силу своих исходных качественных особенностей, и прежде всего в силу своей изначальной целостности, не явля-

136

ется дизъюнктивным в указанном выше смысле. Раз­личные его стадии настолько органически взаимосвя­заны, что их нельзя рассматривать как дизъюнктивно отдельные друг от друга элементы множества, лишен­ные генетических связей. Стадии такого процесса не­прерывно как бы проникают друг в друга, сливаются, генетически переходят одна в другую и т. д.

Теперь ясно, что неаддитивность мышления представ­ляет собой наиболее показательный случай недизъюнктивности², поскольку непрерывная изменчивость развивающихся стадий мыслительного процесса необходимо делает предельно динамичными и потому как бы «раз­мытыми» границы между этапами такого процесса (это не означает, однако, что указанные границы исчезают). Следовательно, конкретные, специфические и самые существенные свойства неаддитивности мышления в их наиболее общей форме могут быть раскрыты лишь ис­ходя из недизъюнктивности мыслительного процесса.