- •Несобственные интегралы I и II рода
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.10. Кратные интегралы
- •Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- •Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла
- •Приложения двойных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Решение
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Ответы на тестовые задания
- •2.12. Ряды Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •Ответы на тестовые задания
- •Степенные ряды
- •Понятие степенного ряда
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- •Высшая математика
- •Общий курс
- •Пособие
- •По подготовке к тестированию для студентов заочной формы получения высшего образования экономических специальностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Приложения двойных интегралов
Площадь плоской фигуры (области D) рассчитывается по формуле
S =
Масса тонкой плоской пластинки, являющейся областью D и с плотностью μ = μ(x; y), определяется следующим образом:
m =
Объем цилиндрического тела, построенного на основании D, ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z = f(x; y) и стоящего на плоскости XOY, рассчитывается следующим образом:
v =
Пример 2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D ограничена линиями: y = x2, x = 2, y = 0 (рисунок 58).
Решение
Имеем
Пример 3. Изменить порядок интегрирования в интеграле
J =+
Решение
В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и пределов по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения x при фиксированном y. Поэтому область интегрирования D1 для первого интеграла можно задать неравенствами где ипредставляют собой дуги параболыy = x2 – 1, лежащие ниже оси Ox. Область интегрирования во втором интеграле имеет вид где кривые ипредставляют собой дуги параболыy = x2 – 1 и дугу окружности (x – 2)2 + y2 = 9, лежащие выше оси Ox.
Пусть D = D1U D2 (рисунок 58). Тогда каждая прямая x = const, x[–1; 2], пересекает множество D по отрезку с концами y = x2 – 1 и y = Следовательно, область D можно представить в виде
Значит,
Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.
Пример 4. Вычислить интеграл где область D ограничена линиями: y = ln x, y = + 2 и y = 0 (рисунок 59).
Решение
При каждом фиксированном значении y, y [0; 1], значение x меняется от x = ey до x = (2 – y)e. Поэтому
Интегрируя теперь функцию φ(y) по y в пределах от y = 0 до y = 1, получим
При вычислении интеграла используем форму интегрирования по частям. Имеем
=
Итак,
Рисунок 58 Рисунок 59
Тест 1. Связным на оси OX не является:
1) любое множество точек;
2) полуинтервал;
3) интервал;
4) вся ось OX;
5) отрезок.
Тест 2. Пусть фигура Ф – плоская область D = {(x; y): 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 7}. Тогда диаметром Ф является число:
1) 3;
2) 5;
3) 15;
4) ;
5) 8.
Тест 3. Пусть фигура Ф – плоская область D = {(x; y): 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 7}. Тогда мерой Ф является число:
1) 3;
2) 5;
3) 15;
4) ;
5) 8.
Тест 4. Интеграл по фигуре Ф существует, если на связной ограниченной фигуре Ф функция Ф(Р):
1) определена;
2) непрерывна;
3) имеет конечное число точек разрыва;
4) имеет только точки разрыва 1-го рода;
5) имеет бесконечное число точек разрыва.
Тест 5. Пусть фигура Ф – плоская область D = {(x; y): 1 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 7}. Тогда равен:
1) 4;
2) 20;
3) 5;
4) ;
5) 35.
Тест 6. Пусть фигура Ф – плоская область D = {(x; y): 1 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 7}. Тогда равен:
1) 40;
2) 20;
3) 50;
4) 80;
5) 35.
Тест 7. Пусть Ф − фигура, ограниченная линиями y = x3, у = 0, x = 3. Тогда ее площадь равна:
1) 20,25;
2) 21;
3) 19,5;
4) 22;
5) 20,5.