- •Несобственные интегралы I и II рода
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.10. Кратные интегралы
- •Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- •Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла
- •Приложения двойных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Решение
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Ответы на тестовые задания
- •2.12. Ряды Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •Ответы на тестовые задания
- •Степенные ряды
- •Понятие степенного ряда
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- •Высшая математика
- •Общий курс
- •Пособие
- •По подготовке к тестированию для студентов заочной формы получения высшего образования экономических специальностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Дифференциальные уравнения первого порядка
1) Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида y = f(x; y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
(2)
или
(3)
Алгоритм решения:
1) в уравнении производнуюу представляем в виде отношения дифференциалов
2) обе части уравнения умножаем на dx;
3) разделяем переменные: с помощью арифметических операций надо получить при dy функцию, зависящую только от переменной y, при dx – функцию, зависящую только от переменной x; в результате получается уравнение вида
4) интегрируя, находим общий интеграл уравнения
Пример 5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение
Представим уравнение в виде (2): sin x:
1) учитывая, что получаем:
2) обе части уравнения умножаем на dx:
3) разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим
на выражение , получаем:
4) переносим все в одну часть равенства и интегрируем:
Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид
Тест 8. Дифференциальным уравнением c разделяющимися переменными является уравнение вида:
1)
2)
3) где функцияf(x; y) – однородная степени ноль;
4)
5)
Тест 9. Дифференциальным уравнением c разделяющимися переменными является уравнение вида:
1)
2)
3)
4)
5)
2) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка y = f(x; y) является однородным, если функция f(x; y) – однородная степени ноль по переменным x и у, т. е. обладает свойством: f(tx; ty) = f(x; y), для произвольного числа t 0.
Пример 6. Проверить, является ли однородной функция
f(x; y)
Решение
Функция является однородной функцией степени ноль, так как f(tx;ty) f(x;y).
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = u x. Этой подстановкой мы вводим новую функцию u(x), оставляя независимую переменную прежней.
Пример 7. Проинтегрировать уравнение .
Решение
Приведем уравнение к виду y = f(x; y), разделив обе части уравнения на x
(4)
Правая часть уравнения (4) является однородной функцией нулевой степени (см. пример 6), поэтому данное уравнение является однородным. Для его решения применим подстановку y = ux, тогда Подставив два последних выражения в уравнение (4), получим
или
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
Решаем его, используя ранее рассмотренный алгоритм
Интегрируем
Подставив найдем общий интеграл:
Тест 10. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 11. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
1) f(x) g (y);
2) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная степени ноль;
3)
4)
5) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная.
Тест 12. Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка может быть найдено в виде:
1) y = u v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
2) y = u × x, где – некоторая неизвестная функция;
3) y = u + v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
4) y = u + x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция.
3) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
(5)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если g(x) = 0, то уравнение
(6)
называется линейным однородным.
Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными. Если в линейном уравнении g(x)0, то оно называется линейным неоднородным.
Решение уравнения (5) может быть найдено в виде y=u×v, гдеv=v(x) – некоторое решение уравненияu=u(x) – решение уравнения
Пример 8. Решить дифференциальное уравнение
Решение
Решение этого линейного неоднородного уравнения будем искать в виде y=uv, где и и v – функции от х.
Подставив y и в исходное уравнение, получим
Группируя и вынося общий множитель за скобки, получим
(7)
Подбираем функцию v=v(x) так, чтобы
Имеем: – уравнение с разделяющимися переменными. Решаемего по ранее разобранному алгоритму и находим частное решение
Полученное значение vподставим в уравнение (7) и будем иметь
Откуда
Общее решение исходного уравнения следующее:
или
Тест 13.Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
1) f(x) g (y);
2) y + p(x) y = q(x) yn;
3) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная;
4)
5)
Тест 14.Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 15. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка может быть найдено в виде:
1) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3) y = u + v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
4) y = u + x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция.
4) Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называют нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка вида
Решение уравнения Бернулли может быть найдено в виде y=uv, гдеu=u(x) иv=v(x).
Тест 16. Уравнением Бернулли является уравнение вида:
1) f(x) g (y);
2) y + p(x) y = q(x) yn;
3) y = f(x; y), где функция f(x; y) – однородная;
4)
5)
Тест 17.Уравнением Бернулли является уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 18.Решение уравнения Бернуллиможет быть найдено в виде:
1) y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;
3) y = u + v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;
4) y = u + x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция.