- •Несобственные интегралы I и II рода
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.10. Кратные интегралы
- •Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- •Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла
- •Приложения двойных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Решение
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Ответы на тестовые задания
- •2.12. Ряды Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •Ответы на тестовые задания
- •Степенные ряды
- •Понятие степенного ряда
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- •Высшая математика
- •Общий курс
- •Пособие
- •По подготовке к тестированию для студентов заочной формы получения высшего образования экономических специальностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Рядом Тейлора, расположенным по степеням (x – x0), для функции f(x) называется степенной ряд
(13)
где …,… – производные функцииf(x) в точке
При x = 0 ряд Тейлора, расположенный по степеням х, имеет вид
. (14)
Формула (14) представляет частный случай формулы Тейлора (13). Формула (14) называется формулой Маклорена.
Пример 18. Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 2).
Решение
Найдем значения функции f(x) и ее последовательных производных …,приx0 = 2:
1) значение функции f(x0) при x0 = 2: f(x0) = f(2)
2) производную первого порядка: ее значение приx0 = 2:
3) производную второго порядка: ее значение приx0 = 2:
4) производную третьего порядка: ее значение при x0 = 2:
Тогда производная п-го порядка будет равна: а ее значение приx0 = 2:
Подставив x0 = 2, а также найденные значения функции f(x) и производных f (x0), …,f (n)(x0) при x0 = 2 в формулу (13), получим
Пример 19. Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степенямх (т. е. составить ряд Маклорена).
Решение
Найдем значения функции f(x) и ее последовательных производных …,приx0 = 0:
1) значение функции приx0 = 0:
2) производную первого порядка: ее значение приx0 = 0:
3) производную второго порядка: ее значение приx0 = 0:
4) производную третьего порядка: , ее значение приx0 = 0:
Тогда производная п-го порядка будет равна: а ее значение приx0 = 0:
Подставив найденные значения функции f(x) и производных …,приx0 = 0 в формулу (14), получим
.
Пример 20. Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5).
Решение
У функции f(x) нет ряда Тейлора, расположенного по степеням (x – 5), так как функция f(x) в точкеx = 5 не определена.
Тест 28. Для функции f(x) ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5), имеет вид:
1) ;
2) у данной функции нет ряда, расположенного по степеням (x – 5);
3) ;
4) .
Тест 29. Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора:
1) при x = 1;
2) при x = –1;
3) при x = 0;
4) при x = 5;
5) при x = 2.
Ответы на тестовые задания
Номер теста |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
Правильный ответ |
5 |
4 |
2 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
2 |
1 |
Номер теста |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
Правильный ответ |
2 |
4 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2 |
3 |
Список рекомендуемой литературы
Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М. : Наука, 1989. – 656 с.
Марков, Л. Н. Высшая математика. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии : учеб. пособие для вузов / Л. Н. Марков, Г. П. Размыслович. – Минск : Амалфея, 1999. – 208 с.
Минюк, С. А. Высшая математика : учеб. пособие для вузов / С. А. Минюк, Е. А. Ровба. – Гродно : ГрГУ, 2000. – 394 с.
Шипачев, В. С. Высшая математика : учеб. / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. – М. : Высш. шк., 1990. – 479 с.
Яблонский, А. И. Высшая математика. Общий курс : учеб. / А. И. Яблонский [и др.] ; под общ. ред. С. А. Самаля. – 2-е изд., перераб. – Минск : Выш. шк., 2000. – 351 с.