Алгебраические системы

6.	G = ½µ	a	b		¶ | a, b, c C, | ac |= 1¾ , — умножение матриц;
		0	c
	H = ½µ	5k			b	¶ | k Z¾.
		0 5−k
	G = ½µ	0			a
7.		−a			b ¶ | a, b Z¾ , — сложение матриц;
			0		2a
	H = ½µ −2a 3b ¶ | a, b Z¾.
		a	0
8.	G = (Ã b			1	! | a, b Q, a 6= 0) , — умножение матриц;
				a
	H = ½µ	2−k			0	¶ | b Q, k Z¾.
			b 2k
9.	G = ½µ a		−b ¶			| a, b, c R¾ , — сложение матриц;

bc

½µ

0

¶

¾

H =

−

lg n 2k

| n N, k Z .

10.

G = Z,

a b = a + b + 5;

H = {2k + 1 | k Z}.

11.

G = Z,

a b = a + b + 3;

H = {5k + 2 | k Z}.

12.

G = {a + b√

| a, b Q, a2 + b2 6= 0} , — умножение чисел;

3

H = {a + b√

| a, b Z, a2 + b2 6= 0}.

3

13.

G = ½

k

| k Z, n, m N0¾ , — сложение чисел;

5n7m

H =

½5n7m | k.3, n, m N0¾.

k

14.

G = Q \ {0} ,

a b = −ab;

H =

½3n | k Z \ {0}, n N0¾.

k

15.

G = R \ {0} ,

ab

a b =

;

3

H = ©3k | k Zª.

91

16.

G = Q \ {0} ,

a b =

ab

;

10

17.

H = nk Z \ {0} | k . 10o.

a

G = Z ,

a b = a + (−1) b;

H = nk Z | k . 8o.

¢

ª

18.

©

¡

, — умножение чисел;

G =

r

cos π4 k + i sin π4 k

| r R+, k Z

19.

©

¯

ª

.

;

H = (2 + 2i)l

¯

l

Z

G = (Q

0 )

1,

1 ,

(a, b)

(c, d) = (ac, bd)

\ { } × {

− }

H = Q+ × {1}.

20.

G = ©(a, b) | a, b Q, a2 + b2 6= 0ª , (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc);

H= {(a, 0) | a Q \ {0}}.

21.G = {f (x) Z[x] | f (0) = 0}, — сложение многочленов;

H— множество всех многочленов из Z[x] с четными коэффициентами.

22.G = Z × Q+, (a, b) (c, d) = (a + c + 6, bd2 );

H= {(2a, 2) | a Z}.

23.G = Z × (Q \ {0}) , (a, b) (c, d) = (a + b − 1, bd);

H= {(k, l) | k, l — нечетные числа}.

24.G = {f (x) FR | f (x) = ax, где a Q \ {0}}, — композиция функций;

H— множество функций из G, вида f (x) = 2k x , где k Z.

25.G = {α C | n N, αn = 1}, — умножение чисел;

	H =		α		C		α6 = 1 .			,
26.	G =	©(a, b, c) R						3	¯ a + b + c = 0ª		— покомпонентное сложение;
		©				|			ª
									¯

H = {(a, 0, −a) | a R}.

27.G = Z , a b = (−1)ba + b;

n o

H = k Z | k . 5 .

28.G = Q \ {1}, a b = ab − a − b + 2;

H = N \ {1}.

29.G = {(x, y, z) R3 | x − 2y + z = 0}, — покомпонентное сложение;

H = {(x, y, z) G | x + y = 0}.

92

1. K = Z2,

30.G = {f (x) FR | 0 / E(f ) f (0) = 1}, — умножение функций; H — множество всех показательных функций.

IV. Доказать, что множество K является кольцом с операциями , . Проверить, является ли H подкольцом кольца K.

(a, b) (c, d) = (a + b, c + d),

(a, b) (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc);

H = {(a, b) Z2 | a . 3, b . 3}.

2.K = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac, ad + bc);

H = {(0, b) | b Z}.

3.K = Z2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac, bd);

H = {(3a, 2b) | a, b Z}.

4.K = R3, (a, b, c) (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w),

(a, b, c) (u, v, w) = (bu, bv, bw);

H = {(0, b, c) | b, c Z}.

5.K = R2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ad, bd);

H = {(a, 0) | a Q}.

6.K = R3, (a, b, c) (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w),

(a, b, c) (u, v, w) = (0, aw, 0);

H = {(a, b, a) | a, b Z}.

7.K = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − 2bd, ad + bc);

H = {(2a, 0) | a Z}.

8.K = Z2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac, ad);

H = {(0, b) | b — четное число}.

9.K = R2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + ad, bc + bd); H = {(a, b) | a, b Z, a.2, b.3}.

93

10. K = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (bc, bd);

H = {(a, b) Z2 | a . 5, b . 3}.

11.K = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac, bc);

H = {(a, b) | a — четное число, b Z}.

12.K = Q3, (a, b, c) (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w),

(a, b, c) (u, v, w) = (0, cu, 0);

H = {(0, b, c) | b, c Z}.

13.K = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc);

H = {(a, b) | a Z, b — четное число}.

14.K = R3, (a, b, c) (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w),

(a, b, c) (u, v, w) = (au, av + bw, cw);

H = {(a, b, 0) | a, b Z}.

15.K = R2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + bc, ad + bd);

H = {(2k a, b) | a, b Q, k Z}.

16.K = Z2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + 2bc, ad + 2bd);

H = {(a, b) Z2 | a . 2, b . 2}.

17.K = Z2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (3ac, 3bd);

H = {(a, b) Z2 | a . 5, b . 5}.

18.K = Z2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac, ad + bc);

H = {(a, 0) | a Z}.

19.K = R2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − 3bc, ad − 3bd);

H = {(0, b) | b Q}.

20.K = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (−ac5 , −bd5 );

94

H =	½µ5n ,		5lm ¶ | k, l Z и n, m N ¾.
		k
21. K = Z2,			(a, b) (c, d) = (a + c, b + d),
			(a, b) (c, d) = (ac − ad, bc − bd);

H = {(a, b) Z2 | a . 2, b . 3}.

22.K = Z2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (2ac − bd, 2ad + 2bc);

H = {(a, b) Z2 | b . 5}.

23.K = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (bd − ac, −ad − bc);

H = {(a, 0) | a Z}.

24.K = Z, a b = a + b − 2,

a b = ab − 2a − 2b + 6;

H = {a Z | a — четное число}.

25.K = R2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − bc, ad − bd);

H = {(a, 5kb) | a, b Q, k Z}.

26.K = Z, a b = a + b + 1,

a b = ab + a + b;

H = {a Z | a — нечетное число}.

27. K = Q2, (a, b) (c, d) =	(a + c, b + d),
(a, b) (c, d) =	µ 2 ,		2 ¶;
		ac	bd

H = {(2mk, 2nl) | k, l Z и m, n N }.

28.K = R3, (a, b, c) (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w),

(a, b, c) (u, v, w) = (au, bv, cu + bw);

H = {(0, 0, c) | c Z}.

29.K = Z2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (2ac − 3bd, 2ad + 2bc);

H = {(a, b) Z2 | a . 3}.

30.K = Q, a b = a + b + 2,

a b = ab + 2a + 2b + 2;

H = {4k + 2 | k Z}.

95

V. Доказать, что множество F является полем с операциями , . Проверить, будет ли H подполем поля F .

1.

F = Q,

— сложение чисел,

a b = 3ab;

H = {3k l | k, l Z}.

2.

F = Q,

— сложение чисел,

a b = −2ab;

H = ½2n | k Z, n N0

¾.

k

3. F = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + 11bd, ad + bc);

H = {(a, 0) | a Q}.

a b = √

4.

F = R,

— сложение чисел,

2

ab;

√

H = {c + d 2 | c, d Q}.

√

и — сложение и умножение чисел;

5.

F = {a + b √7 | a, b Q} ,

H = {a + b

7

| a, b Z}.

√

и — сложение и умножение чисел;

6.

F = {a + b √11 | a, b Q} ,

H = {a + b

11

| a Z, b — четное число}.

7.

F = {a + bi | a, b Q} ,

и — сложение и умножение чисел;

H = {a + bi | a Q, b Z}.

a

a

|

a

3

8.

F =

3

a

R ,

и

— сложение и умножение матриц;

a

a

a

3

a

H =

a

|

Q .

a

3

a

4a

9.

F = ½µ a

4a

¶ | a Q¾ , и — сложение и умножение матриц;

H = ½µ 2 k l 2 k+2l ¶

| k, l Z¾.

2 k l

2 k+2l

10.

F = ½µ

3a

a

¶ | a R¾ , и — сложение и умножение матриц;

3a

a

H = ½µ

3a

a ¶

| a = c + d√2, где c, d Q¾.

3a

a

96

17. F = Q2,

11. F = R2,

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − 13bd, ad + bc);

H = {(a, 0) | a R}.

12.

F = ½µ −a

−a

¶ | a Q¾ , и — сложение и умножение мат-

5a

5a

риц;

−a

¶

| a = 5n , k Z, n N0¾.

H = ½µ −a

5a

5a

k

ia

ia

¶ | a R¾ , и — сложение и умножение матриц;

13.

F = ½µ a

a

H = ½µ a a

¶ | a Q¾.

ia

ia

14.

F = R2,

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − 5bd, ad + bc);

H = {(a, b) | a — нечетное число, b — четное число}.

15.

F = ½µ

a

b

¶ | a, b R¾ , и — сложение и умножение матриц;

−b

a

H = ½µ

a

0

16.

0 a ¶ | a Q¾.

,

и

— сложение и умножение матриц;

F =

a

−b

¶ |

a, b

Q

½µ b

a

¾

H = ½µ

2k

0

¶ | k Z¾.

0 2k

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc);

H = {(a, b) | a, b Z}.

18.F = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − 3bd, ad + bc);

H = {(a, b) | a, b — четные числа}.

19.F = Q2, (a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + 7bd, ad + bc); H = {(a, b) | a, b Z, a . 3, b . 3}.

97

20. F = Q2,

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − 11bd, ad + bc);

H = {(a, b) | a, b Z, a . 5, b . 5}.

a

2b

21.

F = ½µ b

−a

¶ | a, b R¾ , и — сложение и умножение мат-

риц;

a

2a

H = ½µ a

−a

¶ | a R¾.

22.

F =

a

−b

¶

a, b

R

,

и

— сложение и умножение мат-

риц; ½µ

3b

a

|

a

¾

H =

a

−a

Q .

½µ

3a

a

¶

|

¾

23.

F = ½µ

a

b

¶ | a, b Q¾ , и — сложение и умножение матриц;

5b

a

H = ½µ

a

2k

¶ | a Q, k Z¾.

5 · 2k

a

a

7b

¶ | a, b Q¾ , и — сложение и умножение матриц;

24.

F = ½µ b

a

a

7b

¶ | a, b Z¾.

H = ½µ b a

25.

F = ½µ

a

b

¶ | a, b R¾ , и — сложение и умножение мат-

−11b

a

риц;

H = ½µ

a

b

¶ | a — нечетное число, b — четное число¾.

−11b

a

26.

F = R2,

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac − 2bd, ad + bc);

H = {(a, b) | a, b Q}.

27.

F =

a

−ia

¶

|

a

R

¾

,

и

— сложение и умножение матриц;

½µ a

−ia

H =

a

−ia

¶

|

a

Z .

½µ a

−ia

¾

98

28. F = Q2,

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (ac + 3bd, ad + bc);

H = {(a, 0) | a Z, }.

29. F = C,

— сложение чисел,

a b = iab;

H = {c + di | c, d Q}.

a

a

|

30. F =

2

2

a

a

a

Q ,

и

— сложение и умножение матриц;

a

a

Z .

H =

a

a

|

a = 4 l, где k, l

k

2

2

99

Список литературы

[1]Алгебра и теория чисел. ч.III. Учебное пособие для студентовзаочников пед. ин-тов под редакцией Виленкина Н.Я., М.: Просвещение, 1965.

[2]Калужнин Н.Я. Алгебра и теория чисел, М.: Наука, 1973.

[3]Кострикин А.И. Введение в алгебру, М.: Физматгиз, 1984.

[4]Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел, М.: Высшая школа, 1979.

[5]Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел, М.: Просвещение, 1993.

[6]Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука, 1968.

[7]Курош А.Г. Лекции по общей алгебре, М.: Физматгиз, 1962.

[8]Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. ч.1, М.: Просвещение, 1974.

[9]Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. ч.2, М.: Просвещение, 1978.

[10]Мурзинова Г.С. Элементы теории колец в задачах. Метод. разработка. УрГПУ, Екатеринбург, 1996.

[11]Мурзинова Г.С. Контрольные задания по теме «Алгебраические системы»Метод. разработка. УрГПУ, Екатеринбург, 2000.

[12]Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру, М.: Мир, 1979.

[13]Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов, Минск, Высшая школа, 1982.

100