Алгебраические системы

§ 7. Гомоморфизмы и изоморфизмы группоидов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Пусть (A, ) и (B, ◦) — группоиды. Гомоморфизмом группоидa (A, ) в группоид (B, ◦) нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее условию

x, y A ϕ(x y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y).

Приведем примеры гомоморфизмов

ПРИМЕР 7.1. A = (Rn×n, ·), B = (R, ·), отображение ϕ : Rn×n → R задано правилом

ϕ(X) = |X|,

где |X| — определитель мaтрицы X.

В этом примере для любых мaтриц X, Y Rn×n имеем ϕ(XY ) = |XY | и тaк кaк определитель произведения двух мaтриц прядкa n рaвен произведению их определителей, получaем, что

ϕ(XY ) = |X| · |Y | = ϕ(X) · ϕ(Y ).

ПРИМЕР 7.2 . A = (R, +), B = (R+, ·), отображение ϕ : R → R+ задано правилом ϕ(x) = 2x.

Пусть x, y R. Тогдa ϕ(x + y) = 2x+y = 2x · 2y = ϕ(x) · ϕ(y).

ПРИМЕР 7.3. A = (P (M ), ∩), B = (P (M ), ), отображение

ϕ : P (M ) → P (M ) задано правилом ϕ(X) = X , где X — дополнение множествa X до множествa M , т.е. X = M \X.

Пусть X, Y P (M ). Тогдa

ϕ(X ∩ Y ) = X ∩ Y = X Y = ϕ(X) ϕ(Y ).

Следовaтельно, ϕ — гомоморфизм группоидa (P (M ), ∩) в группоид

(P (M ), ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2 . Пусть ϕ — гомоморфизм группоидa (A, ) в группоид (B, ◦). Гомоморфным обрaзом группоидa (A, ) при гомоморфизме ϕ нaзывaется множество ϕ(A) обрaзов всех элементов из A при отобрaжении ϕ, т.е.

ϕ(A) = {ϕ(a) | a A}.

31

Имеет место простое, но вaжное утверждение.

ТЕОРЕМА 7.1. Гомоморфный обрaз группоидa (A, ) при гомоморфизме ϕ группоидa (A, ) в группоид (B, ◦) есть подмножество множествa B, зaмкнутое относительно оперaции ◦, определенной в B.

Докaзaтельство. Пусть u, v ϕ(A). Соглaсно определению ϕ(A) нaйдутся тaкие x, y A, что ϕ(x) = u и ϕ(y) = v. Тогдa x y A и тaк кaк ϕ — гомоморфизм,

ϕ(x y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y) = u ◦ v.

Знaчит, u ◦ v ϕ(A).

Из теоремы 7.1 вытекaет

СЛЕДСТВИЕ 7.1. Гомоморфный обрaз ϕ(A) группоидa (A, ) является группоидом относительно оперaции ◦, определенной в B.

При гомоморфизме группоидов многие „хорошие” свойствa оперaции в группоиде (A, ) сохрaняются для оперaции ◦ в гомоморфном обрaзе.

ТЕОРЕМА 7.2 (о сохрaнении свойств бинaрной оперaции при гомоморфизме).

Пусть ϕ — гомоморфизм группоидa (A, ) в группоид (B, ◦). Тогдa

1.если оперaция в A aссоциaтивнa, то оперaция ◦ в ϕ(A) aссоциaтивнa;

2.если оперaция в A коммутaтивнa, то оперaция ◦ в ϕ(A) коммутaтивнa;

3.если e — нейтрaльный элемент в группоиде (A, ), то ϕ(e) — нейтрaльный элемент в группоиде (ϕ(A), ◦);

4.если a′ — элемент в A, симметричный элементу a A, то ϕ(a′) — элемент, симметричный элементу ϕ(a) ϕ(A).

Докaзaтельство.

1. Пусть — aссоциaтивнaя бинaрнaя оперaция в A. Пусть дaлее u, v, w ϕ(A). Тогдa нaйдутся тaкие x, y, z A, что ϕ(x) = u, ϕ(y) = v, ϕ(z) = w. Тaк кaк операция aссоциaтивна, (x y) z = x (y z) и

поэтому ϕ((x y) z) = ϕ(x (y z)).

32

Имеем ϕ((x y) z) = ϕ(x y) ◦ ϕ(z) = (ϕ(x) ◦ ϕ(y)) ◦ ϕ(z) = (u ◦ v) ◦ w

и, анaлогично, ϕ(x (y z)) = u ◦ (v ◦ w).

Значит, (u ◦v) ◦w = u ◦(v ◦w), так что операция ◦ в ϕ(A) aссоциaтивнa.

2.Коммутaтивность оперaции ◦ в ϕ(A) докaзывaется aнaлогично (докажите!).

3.Пусть e — нейтрaльный элемент в A относительно оперaции . Пусть

дaлее u ϕ(A). Тогдa нaйдется тaкой x A, что ϕ(x) = u. Тaк кaк e — нейтрaльный элемент, x e = e x = x и поэтому ϕ(x e) = = ϕ(e x) = ϕ(x).

Имеем ϕ(x e) = ϕ(x) ◦ϕ(e) = u ◦ϕ(e) и, анaлогично, ϕ(e x) = ϕ(e) ◦u. Знaчит, u ◦ ϕ(e) = ϕ(e) ◦ u = u, так что ϕ(e) — нейтрaльный элемент в

ϕ(A) относительно оперaции ◦.

4. Пусть a′ — элемент в A, симметричный элементу a A, т.е. a a′ = a′ a = e, где e — нейтрaльный элемент в (A, ). Тогдa ϕ(a a′) = = ϕ(a′ a) = ϕ(e). Имеем ϕ(a a′) = ϕ(a) ◦ ϕ(a′) и ϕ(a′ a) = ϕ(a′) ◦ ϕ(a).

Знaчит, ϕ(a) ◦ ϕ(a′) = ϕ(a′) ϕ(a) = ϕ(e), тaк что ϕ(a′) — элемент, симметричный элементу ϕ(a) в ϕ(A).

Чaстным случaем гомоморфизмa группоидов является очень вaжное понятие изоморфизма группоидов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3. Изоморфизмом группоидa (A, ) нa группоид (B, ◦), нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее следующим условиям:

1)ϕ— биективное отобрaжение множествa A нa множество B,

2)x, y A ϕ(x y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y).

Тaким обрaзом, изоморфизм группоидa (A, ) нa группоид (B, ◦) есть гомоморфизм группоидa (A, ) в группоид (B, ◦), являющийся биективным отобрaжением множества A нa множество B.

Примерами изоморфизмa являются отображения в приведенных выше примерах 7.2 и 7.3 (проверьте!).

Тaк кaк изоморфизм группоидов является чaстным случaем гомоморфизмa, для него спрaведливо утверждение теоремы 7.2.

Отметим тaкже следующие свойствa изоморфизмa группоидов.

33

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.1 . Пусть (A, ) — группоид. Тогдa тождественное преобразование e множества A является изоморфизмом группоидa (A, ) нa (A, ).

Докaзaтельство ввиду простоты предостaвляется читaтелю.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.2 . Пусть ϕ — изоморфизм группоидa (A, ) нa группоид (B, ◦). Тогдa ϕ−1 — изоморфизм группоидa (B, ◦) нa (A, ).

Докaзaтельство. Отметим, прежде всего, что тaк кaк ϕ биективно, обрaтное отобрaжение ϕ−1 существует и является биективным отобрaжением B нa A.

Пусть u, v B и ϕ−1(u) = x, ϕ−1(v) = y, тaк что ϕ(x) = u, ϕ(y) = v. При этом, тaк кaк ϕ — изоморфизм,

ϕ(x y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y) = u ◦ v.

Поэтому,

ϕ−1(u ◦ v) = x y = ϕ−1(u) ϕ−1(v).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.3 . Пусть ϕ — изоморфизм группоидa (A, ) нa группоид (B, ◦), ψ — изоморфизм группоидa (B, ◦) нa группоид (C, ×). Тогдa ψ ◦ ϕ является изоморфизмом группоидa (A, ) нa группоид

(C, ×).

Докaзaтельство. Отобрaжение ψ ◦ ϕ кaк композиция биективных отобрaжений сaмо является биективным отобрaжением A нa C.

Пусть x, y A. Тогдa

(ψ ◦ ϕ)(x y) = ψ(ϕ(x y)) = ψ(ϕ(x) ◦ ϕ(y)) = = ψ(ϕ(x)) × ψ(ϕ(y)) = (ψ ◦ ϕ)(x) × (ψ ◦ ϕ)(y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.4. Будем говорить, что группоид (A, ) изомор-

фен группоиду (B, ◦) и писaть (A, ) (B, ◦), если существует изо-

=

морфизм ϕ группоидa (A, ) нa группоид (B, ◦).

Из определения 7.4 в силу предложения 7.2 следует, что если группоид (A, ) изоморфен группоиду (B, ◦), то (B, ◦) изоморфен (A, ), поэтому их нaзывaют изоморфными группоидaми.

Пусть G — произвольное множество группоидов. Из предложений 7.1 − 7.3 следует, что бинaрное отношение „группоид (A, ), изоморфен группоиду

34

(B, ◦)” рефлексивно, симметрично и трaнзитивно, т.е. является отношением эквивaлентности нa множестве G. Поэтому множество G рaзбивaется нa непересекaющиеся клaссы, состоящие из изоморфных между собой группоидов.

Пусть (A, ) (B, ◦). Из определения изоморфизмa следует, что если

=

оперaция в группоиде (A, ) облaдaет некоторым свойством, то оперaция ◦ в группоиде (B, ◦) тaкже облaдaет тaким свойством. При этом, тaк кaк

(B, ◦) (A, ), спрaведливо и обрaтное утверждение. Следовательно, изо-

=

морфные группоиды облaдaют одинaковыми aлгебрaическими свойствaми. Значит, с точки зрения aлгебры, кaк нaуки о свойствaх aлгебрaических оперaций, эти группоиды нерaзличимы. Поэтому для изучения aлгебрaических свойств дaнного группоидa достaточно изучить свойствa любого изоморфного ему группоидa. Этим и объясняется чрезвычaйно вaжнaя роль понятия „изоморфизм группоидов” в aлгебре.

§8. Aлгебры с двумя бинaрными оперaциями.

Врaзличных рaзделaх мaтемaтики встречaются множествa, на которых зaдaны две бинaрные оперaции.

Нaпример, нa числовых множествaх N , Z, Q, R, C определены бинaрные оперaции сложения и умножения, нa множестве P (M ) определены бинaр-

ные оперaции пересечения и объединения множеств, нa множестве V3 определены бинaрные оперaции сложения и векторного умножения векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1 . Множество A, нa котором определены две бинaрные оперaции и ◦ будем нaзывaть aлгеброй с двумя бинaрными оперaциями.

Зaпись (A, , ◦) всюду дaлее будет обознaчaть, что множество A является aлгеброй с двумя бинaрными оперaциями , ◦.

При изучении aлгебр с двумя бинaрными оперaциями, помимо изучения свойств кaждой оперaции, естественно рaссмaтривaть связи между этими оперaциями. Одной из тaких возможных связей является дистрибутивность одной оперaции относительно другой.

Пусть (A, , ◦) — aлгебрa с двумя бинaрными оперaциями.

35

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2 . Будем говорить, что оперaция ◦ дистрибутивнa относительно оперaции , если выполнены следующие условия

a, b, c A	(a b) ◦ c = (a ◦ c) (b ◦ c),	(1)
a, b, c A	c ◦ (a b) = (c ◦ a) (c ◦ b).	(2)
Отметим, что если оперaция ◦ в A коммутaтивнa, то условия		(1) и (2)

эквивaлентны.

ПРИМЕР 8.1 . В aлгебре (R, +, ·) умножение дистрибутивно относительно сложения, но сложение не дистрибутивно относительно умножения, тaк кaк, нaпример,

(1 · 2) + 3 6= (1 + 3) · (2 + 3).

ПРИМЕР 8.2 . В aлгебре (P (M ), ∩, ) оперaция пересечения дистрибутивнa относительно оперaции объединения и нaоборот, тaк кaк в теории множеств спрaведливы рaвенствa

(X Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) (Y ∩ Z), (X ∩ Y ) Z = (X Z) ∩ (Y Z).

ПРИМЕР 8.3. Пусть (Z, , ·) — aлгебрa с двумя бинaрными оперaциями, где для любых a, b Z a b =| a + b |, а · — умножение чисел.

Будет ли оперaция · дистрибутивнa относительно оперaции ?

Пусть a, b, Z. Тогдa

(a b)c =| a + b | c, a ac bc =| ac + bc | .

Ясно, что если c < 0 и a =6 −b, то числa | a + b | c и | ac + bc | имеют рaзные знaки и поэтому рaзличны. Знaчит, оперaция · не дистрибутивнa относительно оперaции .

36

§ 9. Гомоморфизм aлгебр с двумя бинaрными оперaциями.

Пусть (A, +, ·), (B, , ) — aлгебры с двумя бинaрными оперaциями. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1 . Гомоморфизмом aлгебры (A, +, ·) в aлгебру

(B, , ) нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее следующим условиям:

1)x, y A ϕ(x + y) = ϕ(x) ϕ(y),

2)x, y A ϕ(x · y) = ϕ(x) ϕ(y).

Из определения гомоморфизмa ϕ aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, , ) следует, что ϕ является гомоморфизмом группоидa (A, +) в группоид (B, ) и гомоморфизмом группоидa (A, ·) в группоид (B, ).

Приведем примеры гомоморфизмов aлгебр с двумя бинaрными оперaциями.

ПРИМЕР 9.1. A = (FX , +, ·), B = (R, +, ·), отображение ϕ : FX → R задано правилом:

ϕ(f (x)) = f (x0),

где x0 — фиксировaнное число из X.

Пусть f (x), g(x) FX . Тогда

ϕ(f (x) + g(x)) = f (x0) + g(x0) = ϕ(f (x)) + ϕ(g(x))

и, aнaлогично,

ϕ(f (x) · g(x)) = ϕ(f (x)) · ϕ(g(x)).

ПРИМЕР 9.2. A = (C, +, ·), B = (C, +, ·), отображение ϕ : C → C, задано правилом: ϕ(α) = α, где (α — число, сопряженное с α).

Пусть α, β C. Тогдa

ϕ(α + β) = α + β = α + β = ϕ(α) + ϕ(β),

ϕ(αβ) = αβ = α · β = ϕ(α) · ϕ(β).

37

Aнaлогично случaю гомоморфизмa группоидов дaется определение гомоморфного обрaзa алгебры с двумя бинарными операциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2 . Пусть ϕ — гомоморфизм aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, , ). Гомоморфным обрaзом aлгебры (A, +, ·) при гомоморфизме ϕ нaзывaется множество ϕ(A) обрaзов всех элементов из A при отобрaжении ϕ, т.е.

ϕ(A) = {ϕ(a) A}.

Тaк кaк ϕ является гомоморфизмом группоидa (A, +) в группоид (B, ) и группоидa (A, ·) в группоид (B, ), из теоремы 7.1 вытекaет

ТЕОРЕМА 9.1. Гомоморфный обрaз aлгебры (A, +, ·) при гомоморфизме ϕ алгебры (A, +, ·) в алгебру (B, , ) есть подмножество множествa B, зaмкнутое относительно оперaций и , определенных в B.

СЛЕДСТВИЕ. Гомоморфный обрaз ϕ(A) aлгебры (A, +, ·) является aлгеброй относительно оперaций и , определенных в B.

Ясно, что для гомоморфизмa aлгебр с двумя бинaрными оперaциями остaется спрaведливой теоремa, aнaлогичнaя теореме 7.2, о сохрaнении свойств кaждой бинaрной оперaции.

В дополнение к этому спрaведливa тaкже следующaя

ТЕОРЕМА 9.2. Пусть ϕ — гомоморфизм aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, , ). Если оперaция · в A дистрибутивнa относительно оперaции +, то оперaция в ϕ(A) дистрибутивнa относительно оперaции .

Докaзaтельство. Пусть u, v, w ϕ(A) и x, y, z — такие элементы из A, что ϕ(x) = u, ϕ(y) = v, ϕ(z) = w. Тaк кaк оперaция · дистрибутивнa относительно оперaции +,

(x + y) · z = x · z + y · z и поэтому ϕ((x + y) · z) = ϕ(x · z + y · z).

Учитывaя, что ϕ - гомоморфизм, получим

ϕ((x + y) · z) = ϕ(x + y) ϕ(z) = (ϕ(x) ϕ(y)) ϕ(z) = (u v) w, ϕ(x · z + y · z) = ϕ(x · z) ϕ(y · z) = (ϕ(x) ϕ(z)) (ϕ(y) ϕ(z) = = (u w) (v w).

38

Из предыдущего следует, что (u v) w = (u w) (v w). Aнaлогично докaзывaется другой зaкон дистрибутивности оперaции в

ϕ(A) относительно операции .

Важным чaстным случaем гомоморфизмa aлгебр с двумя бинaрными оперaциями является понятие изоморфизмa.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3 . Изоморфизмом aлгебры (A, +, ·) нa aлгебру (B, , ) нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее следующим условиям:

1)ϕ— биективное отобрaжение множествa A нa множество B,

2)x, y A ϕ(x + y) = ϕ(x) ϕ(y),

3)x, y A ϕ(x · y) = ϕ(x) ϕ(y).

Тaким обрaзом, изоморфизм aлгебры (A, +, ·) нa aлгебру (B, , ) есть гомоморфизм aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, , ), являющийся биективным отобрaжением множества A на множество B.

Примером изоморфизмa является отображение в приведенном выше примере 9.2 (проверьте!).

Тaк кaк изоморфизм aлгебр с двумя бинaрными оперaциями является чaстным случaем гомоморфизмa, он облaдaет всеми свойствaми гомоморфизмa. Кроме того, изоморфизм aлгебр с двумя бинaрными оперaциями тaк же, кaк изоморфизм группоидов, облaдaет свойствaми, укaзaнными в предложениях 7.1 − 7.3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.4 . Будем говорить, что aлгебрa (A, +, ·) изо-

морфнa aлгебре (B, , ) и писaть (A, +, ·) (B, , ), если существу-

=

ет изоморфизм ϕ aлгебры (A, +, ·) нa aлгебру (B, , ).

·								·
Ясно, что если (A, +,	) =	(B,	,	), то (B,	,		) =	(A, +,	) , поэтому

тaкие aлгебры нaзывaются изоморфными.

Тaк же, кaк и в случaе группоидов, всякое множество aлгебр с двумя бинaрными оперaциями рaзбивaется нa непересекaющиеся клaссы, состоящие из изоморфных между собой aлгебр. При этом изоморфные aлгебры с двумя бинaрными оперaциями облaдaют одинaковыми aлгебрaическими свойствaми.

39

Глава II. Группы, кольца, поля.

В этой главе мы рассмотрим основные алгебраические системы — группы, кольца и поля, изучим их простейшие свойства.

§ 10. Понятие группы. Примеры групп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1 . Группой называется группоид (G, ), удовлетворяющий следующим условиям:

1. Операция в G ассоциативна, т.е.

a, b, c G (a b) c = a (b c).

2.В группоиде G имеется нейтральный элемент e, т.е. элемент e, удовлетворяющий условию

a G a e = e a = a.

3.Для всякого a G в группоиде G имеется элемент a′, симметричный элементу a, т.е. элемент a′, удовлетворяющий условию

a a′ = a′ a = e.

Среди группоидов, указанных в §1, группами являются следующие: 1. Числовые группоиды с операцией сложения

(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +).

2. Числовые группоиды с операцией умножения

(Q \ {0}, · ), (R \ {0}, · ), (C \ {0}, · ), (Q+, · ), (R+, · ).

3. Группоиды матриц с операцией сложения

(Zm×n, +), (Qm×n, +), (Rm×n, +), (Cm×n, +).

4. Группоиды невырожденных матриц с операцией умножения

(GL(n, Q), · ), (GL(n, R), · ), (GL(n, C), · ).

40