Алгебраические системы

также принадлежит K . Значит, для всякого элемента из K в группоиде K имеется обратный элемент. Таким образом (K , ·) есть группа.

Отметим некоторые частные случаи.

В кольце (Z, +, ·) группа обратимых элементов Z = {1, −1};

в кольце (R, +, ) группа обратимых элементов R = R						0	}	;
		·			\ {
в кольце (Rn	×	n, +,	·	) группа обратимых элементов R		= GL(n, R).
				n×n

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.5. Элементы a и b кольца K называются делителями нуля, если a =6 0 и b =6 0, но ab = 0.

В числовых кольцах делителей нуля нет, так как произведение двух чисел отличных от нуля, само отлично от нуля. Также нет делителей нуля и в кольцах многочленов, указанных в § 17, так как степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей и, значит, произведение многочленов отличных от нуля, само отлично от нуля. Однако в матричных кольцах, а также в кольцах функций делители нуля существуют.

			1	0			0	0	¶ отлич-
Например, в кольце Z2×2 матрицы A = µ 1				0	¶ и B = µ 0			1
ны от нулевой матрицы, но их произведение AB = µ						0	0
						0	0 ¶ .
Аналогично, в кольце FR функции				½
f (x) = ½	0,	если x < 0	и g(x) =		0,		если x > 0
	x,	если x > 0			x,		если x 6	0
не равны (тождественно!) нулю, но f (x)g(x)				≡ 0, так что f (x) и g(x) —
делители нуля в кольце (FR, +, ·).

71

ТЕОРЕМА 20.2. В кольце K без делителей нуля справедлив закон сокращения на общий множитель, отличный от нуля, т.е. для любых a, b, c K справедливы утверждения

ab = ac a =6 0 b = c, ba = ca a =6 0 b = c.

Докажем лишь одну из импликаций.

Пусть ab = ac и a 6= 0. Из равенства следует, что ab − ac = 0, так что по свойству 18.4 имеем a(b − c) = 0. Поэтому, учитывая, что в кольце K нет делителей нуля, получим b − c = 0, т.е. b = c.

§ 21. Гомоморфный образ кольца.

Пусть ϕ — гомоморфизм кольца (K, +, ·) в алгебру (B, , ).

Как отмечалось выше, (см. следствие из теоремы 9.1) гомоморфный образ ϕ(K) является алгеброй относительно операций и , определеных в

B.

Более того, имеет место

ТЕОРЕМА 21.1. Гомоморфный образ кольца (K, +, ·) при гомоморфизме ϕ кольца (K, +, ·) в алгебру (B, , ) является кольцом относительно операций , , определенных в B.

Доказательство. Так как ϕ — гомоморфизм коммутативной группы (K, +) в группоид (B, ), то по замечанию к теореме 16.1, (ϕ(K), ) является коммутативной группой. Кроме того, так как операция · в K ассоциативна и дистрибутивна относительно операции +, из теорем 7.2 и 9.2 следует, что операция в ϕ(K) ассоциативна и дистрибутивна относительно операции .

Значит, (ϕ(K), , ) есть кольцо.

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что если (K, +, ·) — коммутативное кольцо (кольцо с единицей e), то по теореме 7.2 (ϕ(K), , ) также коммутативное кольцо (кольцо с единицей ϕ(e)).

ПРИМЕР 21.1. Пусть Zm = {0, 1, . . . , m −1}, где m — фиксированное натуральное число, m > 1.

72

Определим на множестве Zm бинарные операции и следующим образом:

a b = r1 и a b = r2,

где r1, r2 — остатки от деления чисел a + b и ab на m.

Доказать, что (Zm, , ) — коммутативное кольцо с единицей. Аналогично примеру 16.1, рассмотрим отображение ϕ : Z → Zm задан-

ное правилом

ϕ(a) = r, где r — остаток от деления a на m.

Как было показано в примере 16.1, ϕ является сюръективным гомоморфизмом группы (Z, +) на группоид (Zm, ).

Покажем, что ϕ — гомоморфизм группоида (Z, ·) на группоид (Zm, ).

Пусть a, b Z, a = mq1 + r1, b = mq2 + r2, где r1, r2 — остатки от деления чисел a и b на m. Тогда ϕ(a) = r1, ϕ(b) = r2.

Имеем

ab = (mq1 + r1)(mq2 + r2) = m(mq1q2 + q1r2 + r1q2) + r1r2.

Поэтому ϕ(ab) = ϕ(r1r2), т.е. ϕ(ab) равно остатку от деления числа r1r2 на m.

С другой стороны ϕ(a) ϕ(b) = r1 r2. Значит, ϕ(a) ϕ(b) также равно остатку от деления числа r1r2 на m. Следовательно, ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b).

Таким образом, ϕ — гомоморфизм алгебры (Z, +, ·) на алгебру (Zm, , ). Следовательно, так как (Z, +, ·) есть коммутативное кольцо с единицей 1, по теореме 21.1 и замечанию к ней, (Zm, , ) — коммутативное кольцо с единицей ϕ(1) = 1.

§ 22. Понятие поля. Примеры полей.

Очень важным частным случаем кольца является поле.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22.1. Полем называется коммутативное кольцо с единицей e =6 0, в котором всякий элемент, отличный от нуля имеет обратный.

Классическими	примерами	числовых
полей являются поля (Q, +,	·), (R, +, ·), (C, +,	·). Отметим, что кольцо

73

(Z, +, ·) не является полем, так как числа, модуль которых больше единицы, не имеют обратных элементов в этом кольце. Кольца Q[x], R[x], C[x] также не являются полями, так как всякий многочлен степени большей нуля не имеет обратного элемента в этих кольцах.

ПРИМЕР 22.1 . Доказать, что множество R является полем относительно бинарных операций , , определенных по следующим правилам:

a b = a + b, a b = πab.

Ясно, что , бинарные операции на множестве R. Покажем, что (R, , ) является полем.

1.Очевидно, что (R, ) — абелева группа.

2.Покажем, что операция в R ассоциативна. Пусть a, b, c R. Тогда

(a b) c = πab c = π2abc,

a(b c) = a (πbc) = π2abc.

3.Докажем, что операция дистрибутивна относительно операции . Пусть a, b, c R. Отметим, что операция в R коммутативна (проверь-

те!).

В силу коммутативности операции достаточно доказать, что

(a b) c = (a c) (b c). Имеем

(a b) c = (a + b) c = π(a + b)c = πac + πbc = = a c + b c = (a c) (b c).

Таким образом, мы доказали, что (R, , ) — коммутативное кольцо. 4. Покажем, что в кольце R имеется единичный элемент.

Пусть e — единичный элемент в R и a R, a 6= 0. Тогда a e = a, т.е.

πae = a. Так как a 6= 0, из последнего равенства следует, что e =

1

.

π

1

Покажем, что

является единичным элементом в кольце (R, , ).

π

Ясно, что

1

1

1

R. Пусть a R, тогда a

= πa

= a.

π

π

π

5. Покажем, что для всякого a R, где a 6= 0, в кольце R имеется обрат-

ный элемент. Пусть a R и x — элемент в R, обратный к a. Тогда a x =

1

,

π

т.е. πax =

1

. Из последнего равенства следует, что x =

1

.

π

π2a

74

Ясно, что	1	R и a	1		= πa	1	=	1	. Значит,	1	есть элемент в
	π2a		π2a			π2a		π		π2a
кольце R, обратный к a.

Таким образом, (R, , ) является полем.

§ 23. Простейшие свойства полей.

СВОЙСТВО 23.1. Во всяком поле F справедлив закон сокращения на общий множитель, отличный от нуля, т.е.

a, b, c F (ab = ac a 6= 0 b = c).

Доказательство. Если a =6 0, то в поле F имеется элемент a−1, обратный к a. Поэтому, умножив равенство ab = ac на a−1, получим eb = ec, где e — единица поля F . Значит, b = c.

СВОЙСТВО 23.2. Во всяком поле F нет делителей нуля.

Доказательство. Пусть a, b F и ab = 0. Если a 6= 0, то сокращая равенство ab = a0 на a 6= 0, получим b = 0. Таким образом, если произведение двух элементов из F равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Значит, в F нет делителей нуля.

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что если в кольце K (даже коммутативном) нет делителей нуля, то это не означает, что K — поле.

Например, как отмечалось выше, кольцо (Z, +, ·) не является полем, хотя оно не содержит делителей нуля.

СВОЙСТВО 23.3. Кольцо (K, +, ·) является полем тогда и только тогда, когда множество K \{0} есть коммутативная группа относительно операции умножения.

Доказательство. Необходимость.

1. Пусть (K, +, ·) — поле с единицей e. Покажем, что (K \ {0}, ·) — коммутативная группа.

Пусть a, b K \ {0}. По свойству 23.2 ab 6= 0 и, значит, ab K \ {0}. Следовательно, умножение является бинарной операцией на множестве K \ {0}. Эта операция ассоциативна, так как ассоциативно умножение в K. По

75

определению поля e 6= 0. Значит, e K \{0} и поэтому является единичным элементом в K \ {0}. Далее, если a K \ {0}, то по определению поля, в K имеется элемент a−1, удовлетворяющий условию aa−1 = a−1a = e. При этом a−1 =6 0, так как иначе e = 0. Значит, всякий элемент a K \{0} имеет обратный к нему элемент a−1 K \ {0}.

Итак, (K \ {0}, ·) — группа, причем операция · в K \ {0} коммутативна, так как коммутативно умножение в K.

Следовательно, (K \ {0}, ·) — коммутативная группа.

2. Обратно, пусть (K \ {0}, ·) — коммутативная группа с единицей e. Покажем, что кольцо (K, +, ·) является полем.

Пусть a, b K. Если a 6= 0 и b 6= 0, то a, b K \ {0} и, так как группа (K \ {0}, ·) — коммутативна, ab = ba. Если же a = 0 или b = 0, то ab = 0 и ba = 0, так что снова ab = ba.

Таким образом, (K, +, ·) — коммутативное кольцо.

Покажем,что e — единица кольца K. Так как e — единица группы (K \ {0}, ·), ae = a для всякого a K \ {0}. К тому же, 0e = 0. Значит, e — единица кольца K.

Из условия e K \ {0} следует, что e =6 0.

Пусть a K и a 6= 0. Тогда a K \ {0} и поэтому элемент a имеет в группе (K \ {0}, ·) обратный элемент a−1. Ясно, что a−1 K и является обратным к элементу a в кольце (K, +, ·).

Таким образом, мы доказали, что кольцо (K, +, ·) является полем.

ЗАМЕЧАНИЕ. Как следует из доказательства свойства 23.3, единица поля (K, +, ·) совпадает с единицей группы (K \ {0}, ·).

СВОЙСТВО 23.4 . Конечное ненулевое коммутативное кольцо (K, +, ·) без делителей нуля является полем.

Доказательство. Согласно свойству 23.3, достаточно доказать, что (K \ {0}, ·) — коммутативная группа.

Отметим, что так как кольцо (K, +, ·) не содержит делителей нуля, произведение ненулевых элементов из K отлично от нуля. Следовательно, умножение является бинарной операцией на множестве K \ {0}. Эта операция коммутативна и ассоциативна, так как коммутативна и ассоциативна операция умножения в K.

Покажем, что для любых элементов a, b K \ {0} уравнения ax = b и ya = b разрешимы в K \ {0}.

В силу коммутативности умножения достаточно рассмотреть уравнение ax = b, где a и b — произвольные фиксированные элементы из K \ {0}.

76

Рассмотрим отображение ϕ : K \ {0} → K \ {0}, заданное следующим правилом:

x K \ {0} ϕ(x) = ax

(ϕ является отображением, так как в K нет делителей нуля). Покажем, что ϕ инъективно.

Пусть x, y K \ {0} и ϕ(x) = ϕ(y), т.е. ax = ay. Тогда, учитывая, что (K, +, ·) — кольцо без делителей нуля, по теореме 20.2, получим x = y.

Так как ϕ — инъективное отображение конечного множества K \ {0} в себя, оно сюръективно. Поэтому найдется такой элемент x K \ {0}, что

ϕ(x) = b, т.е. ax = b.

Мы показали, что уравнение ax = b разрешимо в K \{0}. Следовательно, по свойству 11.4, (K \ {0}, ·) — коммутативная группа.

Значит, (K, +, ·) — поле в силу свойства 23.3.

§ 24. Частное элементов поля.

Пусть (F, +, ·) — поле.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24.1. Частным элементов a и b поля F , где b =6 0, называется такой элемент c F , что a = bc.

Частное элементов a и b обозначается через ab , так что a = b · ab .

Отметим, что если элемент a F также отличен от нуля, то частное элементов a и b поля F совпадает с частным этих элементов, рассматриваемых как элементы коммутативной группы (F \{0}, ·). Поэтому для любых ненулевых элементов a, b, c, d F справедливы все свойства 14.1— 14.8. Легко проверить, что эти свойства остаются справедливыми для любых частных элементов поля.

Таким образом, справедливы следующие утверждения.

СВОЙСТВО 24.1. Для любых элементов a и b поля F , где b 6= 0, су- a

ществует единственное частное b , причем ab = ab−1.

СВОЙСТВО 24.2. a F \ {0}	a	= e и a F	a	= a.
	a		e

77

СВОЙСТВО 24.3.

a, c F

b, d F \ {0}

a

=

c

ad = bc.

b

d

СВОЙСТВО 24.4.

a c

ac

a, c F

b, d F \ {0}

=

.

b

d

bd

a

ad

СВОЙСТВО 24.5.

a F

b, c, d F \ {0}

b

=

.

c

bc

d

СВОЙСТВО 24.6.

ac

a

a F

b, c F \ {0}

=

.

bc

b

a

a

СВОЙСТВО 24.7.

a F

b, c F \ {0}

b

=

.

c

bc

СВОЙСТВО 24.8.

b

ab

a, b F

c F \ {0}

a

=

.

c

c

Отметим дополнительно также следующее

СВОЙСТВО 24.9.

a, c

F

b, d

F

0

a

c

=

ad ± bc

.

b

± d

\ { }

bd

Докажем это свойство лишь для суммы. В самом деле, из равенства

(

a

+

c

)bd =

a

bd +

c

bd = (

a

b)d + (

c

d)b = ad + bc,

b

d

b

d

b

d

по определению частного элементов поля, получим, что

a

+

c

=

ad + bc

.

b

d

bd

§ 25. Характеристика поля.

Пусть (F, +, ·) — поле с единицей e. Элемент e группы (F, +) может быть элементом конечного или бесконечного порядка.

Рассмотрим эти возможности отдельно.

ТЕОРЕМА 25.1 . Если порядок единицы e поля F в группе (F, +) конечен, то он является простым числом p, причем в этом случае все ненулевые элементы поля F имеют конечный порядок p в группе

(F, +).

78

Доказательство. 1. Пусть ord(e) = n. Предположим, что n не является простым числом. Тогда n = kl, где k, l N и 1 < k, l < n. Поэтому ke и le

— ненулевые элементы из F . Учитывая свойство 18.8, имеем

(ke)(le) = (kl)ee = (kl)e = ne = 0.

Значит, ke и le — делители нуля в поле F , что противоречит свойству 23.2.

Следовательно, n = p, где p — простое число.

2. Пусть ord(e) = p. Покажем, что ord(a) = p для всякого ненулевого элемента a F .

В самом деле, pa = p(ea) = (pe)a = 0a = 0. Значит, ord(a) 6 p. Пусть ord(a) = m < p. Тогда me = m(aa−1) = (ma)a−1 = 0a−1 = 0.

Получили противоречие с тем, что ord(e) = p. Значит, ord(a) > p, откуда, учитывая неравенство ord(a) 6 p, заключаем, что ord(a) = p.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25.1. Поле F , единица которого имеет конечный порядок p в группе (F, +), называется полем характеристики p.

Примером поля характеристики p является поле Zp классов вычетов целых чисел по модулю простого числа p, которое будет рассмотрено в курсе теории чисел 1.

ТЕОРЕМА 25.2. Если единица e поля F является элементом бесконечного порядка в группе (F, +), то все ненулевые элементы поля F имеют бесконечный порядок в группе (F, +).

Доказательство. Пусть ord(e) = ∞ и a — ненулевой элемент из F . Предположим, что a имеет конечный порядок n в группе (F, +). Тогда ne = n(aa−1) = (na)a−1 = 0a−1 = 0. Полученное противоречие доказывает, что ord(a) = ∞.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25.2. Поле F единица, которого имеет бесконечный порядок в группе (F, +), называется полем характеристики 0.

Примером поля характеристики 0 является любое числовое поле.

1Впрочем, такое поле можно определить, исходя из примера 21.1, положив в нем m = p. В самом деле, как было показано в этом примере, (Zp, , ) является коммутативным кольцом. Ясно, что это кольцо ненулевое. Кроме того, если a, b Zp и a =6 0, b =6 0, то ab не делится на p, так что остаток r от деления ab на p не равен нулю, т.е. a b =6 0. Поэтому (Zp, , ) — конечное ненулевое коммутативное кольцо без делителей нуля и по свойству 23.4 является полем.

79

§ 26. Подполе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26.1. Подполем поля (F, +, ·) называется подмножество S множества F , которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в F , и само является полем относительно этих операций.

Приведем некоторые примеры подполей. Q — подполе поля (R, +, ·);

R — подполе поля (C, +, ·);

{a + b√p | a, b Q, p — простое число} — подполе поля (R, +, ·).

Во всяком поле (F, +, ·) само множество F является, очевидно, подполем поля (F, +, ·).

Простейшие свойства подполей.

Из определения подполя поля (F, +, ·) следует, что оно является подкольцом кольца (F, +, ·).

Поэтому справедливы следующие утверждения.

СВОЙСТВО 26.1. Нулевой элемент подполя S поля F совпадает с нулевым элементом поля F .

ЗАМЕЧАНИЕ. Ввиду этого свойства фраза „ ненулевой элемент a подполя S ” означает, что a S и a =6 0, где 0 — нулевой элемент поля F .

СВОЙСТВО 26.2 . Для всякого элемента a подполя S поля F противоположный ему элемент в S совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в F .

СВОЙСТВО 26.3. Для любых элементов a и b подполя S поля F их разность в S совпадает с a − b т.е. с разностью этих элементов в F .

СВОЙСТВО 26.4. Единица подполя S поля F совпадает с единицей e поля F .

Доказательство. Пусть e1 — единица подполя S. Тогда e1e1 = e1e. Поэтому, так как e1 =6 0, по свойству 23.1 получим e1 = e.

Из свойства 26.4 следует

80