Алгебраические системы

СВОЙСТВО 26.5 . Для всякого элемента a подполя S поля F , отличного от нуля, обратный к нему элемент в S совпадает с a−1, т.е. с элементом, обратным к a в F .

Признаки подполя.

ТЕОРЕМА 26.1 (первый признак подполя).

Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой элемент, является подполем поля (F, +, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

a, b H	a + b H,	(1)
a H	− a H,	(2)
a, b H	ab H,	(3)
a H \ {0} a−1 H.		(4)

Доказательство.

Необходимость. Пусть H — подполе поля (F, +, ·), т.е. H само является полем относительно операций + и ·, определенных в F . Тогда H — подкольцо кольца (F, +, ·) и по первому признаку подкольца, H удовлетворяет условиям (1) — (3). Пусть a H и a =6 0. Из свойства 26.5 следует, что a−1 H. Значит, H удовлетворяет и условию (4).

Достаточность. Пусть H удовлетворяет условиям (1) — (4). Так как H

—непустое подмножество кольца F с операциями + и ·, удовлетворяющее условиям (1) — (3), по первому признаку подкольца H является подкольцом кольца (F, +, ·), т.е. (H, +, ·) — кольцо.

По свойству 23.3 и замечанию к нему (F \{0}, ·) — коммутативная группа с единичным элементом e, где e — единица поля F . Покажем, что H \{0}

—подгруппа группы (F \ {0}, ·). Применим первый признак подгруппы.

Так как H содержит ненулевой элемент, H \ {0} непустое подмножество в F \ {0}.

Пусть a и b H \{0}. Из условия (3) следует, что ab H, причем ab =6 0, так как в поле F нет делителей нуля. Следовательно, ab H \ {0}, так что H \ {0} удовлетворяет условию (1) первого признака подгруппы.

Пусть a H \ {0}. По условию (4) a−1 H. Ясно, что a−1 =6 0, иначе aa−1 = e = 0. Поэтому a−1 H \ {0}. Так как e — единичный элемент в группе (F \ {0}, ·), a−1 есть обратный элемент к элементу a в этой группе. Значит, H \ {0} удовлетворяет и условию (2) первого признака подгруппы.

81

Следовательно, H \ {0} — подгруппа коммутативной группы (F \ {0}, ·). Поэтому H \{0} — коммутативная группа. Значит, по свойству 23.3 кольцо (H, +, ·) является полем, т.е. H — подполе поля F .

На практике часто удобнее пользоваться следующим признаком.

ТЕОРЕМА 26.2 (второй признак подполя).

Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой элемент, является подполем поля (F, +, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

	a, b H a − b H,	a		(5)
	a H b H\{0}		H.	(6)
		b

Доказательство.

Необходимость. Пусть H — подполе поля (F, +, ·). Тогда H удовлетворяет условиям (1) — (4) теоремы 26.1.

Пусть a, b H. По условию (2) −b H. Так как a, b H из условия (1) следует, что a + (−b) H, т.е. a − b H.

Пусть a, b H и b =6 0. По условию (4) b−1 H. Так как a, b−1 H, по условию (3) ab−1 H, т.е. ab H. Значит, H удовлетворяет обоим условиям

(5) и (6).

Достаточность. Пусть H удовлетворяет условиям (5) и (6).

Так как H — непустое подмножество группы F с операцией +, удовлетворяющее условию (5), по второму признаку подгруппы H является подгруппой группы (F, +). Поэтому H удовлетворяет условиям (1) и (2) теоремы 26.1.

Пусть b H и b =6 0. Из условия (6) следует, что b H, т.е. e H, где b e

e — единица поля F . Так как e, b H по условию (6) b H, т.е. b−1 H.

Значит, H удовлетворяет условию (4) теоремы 26.1.

Пусть a, b H. Если b = 0, то ab = 0 и, следовательно, ab H, так

как H — подгруппа группы (F, +). Пусть b = 0, тогда b−1						H. Поэтому
	a	6	a
из условия (6), следует, что		H. Так как		= a(b−1)−1		= ab, имеем
	b−1		b−1

ab H. Cледовательно, H удовлетворяет и условию (3) теоремы 26.1. Таким образом, для подмножества H поля F выполнены все условия (1)

—(4) теоремы 26.1. Значит, H — подполе поля F . Рассмотрим некоторые примеры.

82

ПРИМЕР 26.1. Пусть (F, +, ·) — поле характеристики 0, e — едини-
ца поля F . Доказать, что множество H = ½	ke		| k, l Z, l 6= 0¾ является
	le
подполем поля F .

Отметим, что частные

ke

определены, так как e — элемент бесконечного

le

порядка в группе (F, +) и поэтому le 6= 0.

. Кроме того,

Применим второй признак подполя. Ясно, что

H F

e

e =

H

и, следовательно, H содержит ненулевой элемент.

e

k1e

k2e

Пусть a, b H и a =

, b =

. Применяя свойства 24.9, 18.8 и

l1e

l2e

теорему 12.2 получим

a

b =

k1e

k2e

=

k1e · l2e − l1e · k2e

=

k1l2ee − l1k2ee

=

−

l1e

− l2e

l1el2e

l1l2ee

=

k1l2e − l1k2e

=

k1l2e + (−l1k2)e

=

(k1l2 − l1k2)e

H.

l1l2e

l1l2e

l1l2e

Пусть b 6= 0, тогда k2e 6= 0 и, значит, k2 6= 0. По свойству 24.5 имеем

k1e

a

=

l1e

=

k1e · l2e

=

k1l2e

H.

k2e

b

l1e · k2e

l1k2e

l2e

Следовательно, H удовлетворяет обоим условиям (5) и (6) второго признака подполя.

Признаки подполя полезно использовать в задачах, в которых требуется выяснить является ли данное числовое множество H полем относительно операций сложения и умножения.

ПРИМЕР 26.2 . Доказать, что множество H = {a + bi |	a, b Q}
является полем относительно операции сложения и умножения	чисел.

Ясно, что H подмножество множества C, содержащее ненулевые элементы.

Применим теорему 26.2. Пусть α, β H, α = a + bi, β = c + di, где a, b, c, d Q. Тогда

α − β = (a − c) + (b − d)i H

83

	и если β = 0,	α	=	a + bi		=	(a + bi)(c − di)	=	ac + bd
		β		c + di			c2 + d2		c2 + d2
	6

Поэтому по теореме 26.2 H — подполе поля (C, +, поле.

bc − ad

+ c2 + d2 i H.

·), т.е. (H, +, ·) —

Взаключение этого параграфа обратим внимание читателя на то, что признаки подгруппы (подкольца, подполя) могут применяться при решении задач, в которых требуется выяснить, является ли данное множество H группой с операцией (кольцом, полем c операциями +, ·). Для этого достаточно найти такое множество M , содержащее H, что (M, ) является группой ((M, +, ·) является кольцом, полем). В этом случае решение задачи сводится к применению признаков подгруппы (подкольца, подполя) к подмножеству H. Таким способом были решены примеры 15.4, 15.5, 19.3, 26.2.

Если же такое множество M не удается найти, то задача решается с использованием определения группы (кольца, поля) как было сделано в примерах 10.1, 17.1, 22.1.

Всвязи с вышесказанным, отметим случай числового множества H. Так как (C \ {0}, ·), (C, +) являются абелевыми группами, а (C, +, ·) — поле, применяя признаки подгруппы, подкольца, подполя, получим следующие утверждения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 26.1. Непустое подмножество H множества C \ {0} является группой относительно операции умножения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию

a, b H	a	H.
	b

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 26.2 . Непустое подмножество H множества C является группой относительно операции сложения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию

a, b H a − b H.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 26.3 . Непустое подмножество H множества C является кольцом относительно операций сложения и умножения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

a, b H	a − b H,
a, b H	ab H.

84

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 26.4. Подмножество H множества C, содержащее число, не равное нулю, является полем относительно операций сложения и умножения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

	a, b H a − b H,	a
	a H b H\{0}		H.
		b

§ 27. Гомоморфный образ поля.

Пусть ϕ — гомоморфизм поля (F, +, ·) в алгебру (B, , ). Так как (F, +, ·) — кольцо, по теореме 21.1, гомоморфный образ ϕ(F ) является кольцом относительно операций , , определенных в алгебре B.

При этом имеет место следующая

ТЕОРЕМА 27.1 . Гомоморфный образ поля (F, +, ·) при гомоморфизме ϕ поля (F, +, ·) в алгебру (B, , ) либо изоморфен полю (F, +, ·), либо есть нулевое кольцо.

Доказательство. Обозначим ϕ(0) = O, где 0 — нулевой элемент поля F . Ясно, что O — нулевой элемент кольца (ϕ(F ), , ).

Рассмотрим возможные случаи.

1)Пусть ϕ — инъективное отображение. Тогда, так как, очевидно, ϕ является сюръективным отображением F на ϕ(F ), ϕ есть биективное отображение F на ϕ(F ) и поэтому (ϕ(F ), , ) изоморфно полю (F, +, ·).

2)Пусть ϕ не является инъективным отображением. Тогда найдутся такие элементы a, b F , что a 6= b, но ϕ(a) = ϕ(b). Имеем

ϕ(a−b) = ϕ(a+(−b)) = ϕ(a) ϕ(−b) = ϕ(a) (−ϕ(b)) = ϕ(a) (−ϕ(a)) = O.

Обозначим a − b = c. Тогда c 6= 0 и ϕ(c) = 0. Пусть e — единица поля F . Имеем

ϕ(e) = ϕ(cc−1) = ϕ(c) ϕ(c−1) = O ϕ(c−1) = O.

Поэтому для всякого элемента f F

ϕ(f ) = ϕ(ef ) = ϕ(e) ϕ(f ) = O ϕ(f ) = O.

85

Таким образом, в рассматриваемом случае ϕ(F ) = {O} есть нулевое кольцо.

Применим теорему 27.1 для доказательства следующего утверждения.

ТЕОРЕМА 27.2. Всякое поле F характеристики 0 содержит подполе, изоморфное полю Q рациональных чисел.

Доказательство. Пусть e — единица поля F . Рассмотрим отображение ϕ : Q → F , заданное правилом:

ϕ µ l ¶

= le ,

k

ke

где k, l Z и l 6= 0.

Отметим, что отображение ϕ определено корректно. В самом деле,

пусть

k1

=

k2

. Тогда k1l2

= l1k2

и, значит, k1l2e

= l1k2e. Поэтому

l

l

2

1

k1e

k2e

k1e · l2e = l1e · k2e, откуда в силу свойства 24.3 следует, что

=

.

l1e

l2e

Покажем, что ϕ — гомоморфизм. Имеем

= l1e

+ l2e = ϕ µ l1 ¶

µ l2 ¶ .

ϕ

µ l1

+ l2

¶ = ϕ µ

l1l2

¶ =

l1l2e

+ ϕ

k1

k2

k1l2 + l1k2

(k1l2 + l1k2)e

k1e

k2e

k1

k2

Аналогично,

µ l1l2 ¶

= l1l2e

= l1e · l2e = ϕ µ l1 ¶ · ϕ

µ l2 ¶ .

ϕ

µ l1

· l2

¶ = ϕ

k1

k2

k1k2

k1k2e k1e k2e

k1

k2

Так как гомоморфный образ ϕ(F ), очевидно, отличен от нуля, по теореме 27.1 ϕ(F ) есть подполе поля F , изоморфное полю Q.

ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что ϕ(F ) есть подполе поля F , рассмотренное в примере 26.1. Таким образом, теорема 26.2 дает другой способ решения этого примера.

86

Глaвa III. Задания для самостоятельной работы

I. Доказать, что

не является бинарной операцией на множе-

стве A.

1.

A = N,

a b =| a2 − b2 + 3 |.

2.

A = R \ {1}, a b = a + b + ab.

3.

A = C \ {−1},

a b = a2 + b2.

4.

A = R2 \ ½µ

3 , √2¶¾ ,

(a, b) (c, d) = (ac, bd).

1

5.

a

c

b

c

A = Q,

=

+

,

где a, b, c, d Z.

b

d

a

d

2π

6.

A = R \ {0},

a b = sin

.

1 + a2 + b2

7.

A = R \ {3}, a b = a − b + 2ab.

8.

A = Q+, a b = |a2 − b2 + 24 |.

9.

A = R \ {1}, a b =

1

.

(a − 1)2+ | b |

10.

A = ½µ

4b

a ¶ | a, b R, a2 + b2 6= 0¾ , — умножение матриц.

a

b

11.

A = C \ {−4},

a b = (a − b)2.

12.A = C \ {i}, a b = ab + a + b.

13.A = R2 \ {(0, 0)}, (a, b) (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc).

14.	A = C \ {−8i},				a b = a3 + b3.
15.	A = ½µ b	a	¶	| a, b R, a2 + b2 6= 0¾ , — умножение матриц.
	a	3b
16.	A = R2 \ {(9, 3)},				(a, b) (c, d) = (ac + 9bd, ad + bc).
17.	A = R \ {2},			a b = log2 (3 + a2 + b2).
					π
18.	A = nx C \ {0} | arg x =						o , — умножение чисел.
						4

87

19. A = N \ {1}, a b = p, где p — наименьшее простое число, удовлетворяющее условию a < p < a + b.

20.	A = ½µ	2b	a ¶	| a, b R, a2 + b2		6= 0¾		, — умножение матриц.
		a	b
21.				√			.
	A = R,		a b =		1 + cos a + cos b

22.A = N \{1}, a b = p, где p — наибольшее простое число, удовлетворяющее условию a 6 p 6 a + b + 1.

23.

A = N,

a b =| a2 − b2 + 5 |.

a

c

b

d

24.

A = Q,

=

+

.

b

d

a + b

c + d

25.

1

.

A = R,

a b =

lg(a2 + b2)

26.A = Q \ {2}, a b = 2a − b − 3ab.

27.A = R2 \ {(1, 2)}, (a, b) (c, d) = (ac + bd, ad + bc).

						4π
28.	A = R \ {1},		a b = cos				.
					13	+ a2 + b2
29.	A = ½µ b	a ¶	9
			| a, b R, a2 + b2 6= 0¾ , — умножение матриц.
	a	b
30.	A = N \ {1},		a b = p, где p — наименьшее простое число, удо-
	влетворяющее условию a + b < p < a + 2b.

II. Доказать, что — бинарная операция на множестве A и выяс-

нить, какими свойствами она обладает.

1.	A = {(a, b)		| a, b Q},	(a, b) (c, d) = (2ac, 3bd).
2.	A = {(a, b) | a, b Q},			(a, b) (c, d) = (1, 5bd).
3.	A = ½µ	2a	2a ¶ | a R¾ , — умножение матриц.
		a	a
4.	A = {2k + 1 | k Z},			a b = a + b + 9.
5.	A = {f (x) Z[x] | f (0) {−1, 1}}, — умножение многочленов.

88

	a	0
6.	A = ½µ 0	b ¶ | a, b N ¾ , — умножение матриц.
7.	A = {x R \ {0} | |x| 6 1}, — умножение чисел.
8.	A = {(a, b) | a, b Q}, (a, b) (c, d) = (| ac |, | bd |).
9.	A = R,	a b =| ab |.
10.	A = {f (x) FR | f (1) = 1}, — умножение функций.
	a + bi		0
11.	A = ½µ	0	a − bi ¶ | a, b R¾ , — умножение матриц.
12.	A = FR, — умножение функций.
13.	A = Q \ {−1},		a b = a + b + ab.
14.	A = Q,	a b = 2ab.
15.	A = {(a, b) R2 | a2 − b2 = 0}, (a, b) (c, d) = (ac, bd).

16.A = {f (x) Z[x] | f (0) — нечетное число}— умножение многочленов.

17.A — множество всех симметричных бинарных отношений на множе-

	стве M = {1, 2, 3, 4} , — пересечение бинарных отношений.
	a	0
18.	A = ½µ b	a ¶ | a, b R¾ , — умножение матриц.
19.	A = {(3a, a) | a Q},		(3a, a) (3b, b) = (12ab, 4ab).
20.	A = {x R \ {0} | | x |> 1}, — умножение чисел.
	1	0	— умножение матриц.
21.	A = ½µ 0	a ¶ | a R¾ ,

22. A = Z2,

½µ

23. A =

		(a, b) (c, d) = (ad + bc, bd).
a	b	¶ | a, b, c R¾ , — умножение матриц.
0	c

24.	A = {(a, b) | a, b Q}, (a, b) (c, d) = (a + c, 5bd).
25.	A = N {0}, a b = |a − b|.

89

26.	A = ½µ	a	b	¶ | a, b R¾ , — умножение матриц.
		−b	a

27.A — множество всех рефлексивных бинарных отношений на множестве M = {1, 2, 3, 4} , — объединение бинарных отношений.

28.A = {f (x) FR | | f (1) |6 1}, — умножение функций.

29.A = P (M ) , где M 6= , — пересечение множеств.

30. A = {a + b√		¯	a, b Z}, — умножение чисел.
	2
		¯

III. Доказать, что множество G является группой с операцией . Проверить, является ли H подгруппой группы (G, ).

1.G =

H =

2.G =

H =

3.G =

½µ	0		c ¶ | a, c R \ {0}, b R¾ , — умножение матриц;
½µ	a		b		¶ | k Z¾.
	0		1
½µ	2k		0
	0		0	¶ | α C, | α |= 1¾ ,				— умножение матриц;
½µ	α		0		¶ | k Z¾.
	0		0
(Ã	ik		0				)
	0		a ! |			6
	1		b
	a				a, b	Q, a = 0	,		— умножение матриц;

H =

4.G =

H =

5.G =

H =

½µ	0	1	¶ | b Q¾.
	1	b
½µ b		c ¶ | a, b, c Q, a 6= 0, c 6= 0¾ , — умножение матриц;
	a	0		¶		| k, l Z¾.
½µ b 3l
	3k		0		¶ | a1, a2, a3, a4 Z¾ , — сложение матриц;
½µ a3		5a4
	a1		a2			¶ | a1, a2, a3, a4 Z¾.
½µ 3a3			5a4
	2a1		3a2

90