Алгебраические системы

5. Группоиды многочленов с операцией сложения

(Z[x], +), (Q[x], +), (R[x], +), (C[x], +).

6. Группоиды биективных преобразований с операцией композиции

(BijM, ◦), (Sn, ·).

7.Группоиды преобразований евклидовых простраств с операцией композиции

(D, ◦), (T, ◦), (Ho, ◦), (Ro, ◦).

8. Группоиды функций с операцией сложения

(FX , +), (C[a,b], +), (D[a,b], +).

9. Группоид геометрических векторов (V3, +) с операцией сложения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.2. Группа (G, ) называется коммутативной (абелевой), если операция в G коммутативна.

Среди приведенных выше примеров групп, коммутативными являются все группы за исключением групп невырожденных матриц с операцией умножения при n > 2, группы (BijM, ◦), если M содержит более двух элементов, группы (Sn, ·) при n > 2, группы движений (D, ◦).

Учитывая, что многие часто встречающиеся группы являются группоидами с операцией умножения или с операцией сложения, приведем соответствующие определения в мультипликативной и аддитивной терминологии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1′. Группоид (G, ·) называется группой, если он удовлетворяет следующим условиям:

1. Операция · в G ассоциативна, т.е.

a, b, c G (a · b) · c = a · (b · c).

2.В группоиде G имеется единичный элемент e, т.е. элемент e, удовлетворяющий условию

a G a · e = e · a = a.

41

3.Для всякого a G в группоиде G имеется элемент a−1, обратный к элементу a, т.е. элемент a−1, удовлетворяющий условию

a · a−1 = a−1 · a = e.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1′′. Группоид (G, +) называется группой, если он удовлетворяет следующим условиям:

1. Операция + в G ассоциативна, т.е.

a, b, c G (a + b) + c = a + (b + c).

2.В группоиде G имеется нулевой элемент 0, т.е. элемент 0, удовлетворяющий условию

a G a + 0 = 0 + a = a.

3.Для всякого a G в группоиде G имеется элемент −a, противоположный элементу a, т.е. элемент −a, удовлетворяющий условию

a + (−a) = (−a) + a = 0.

ПРИМЕР 10.1. Доказать, что множество

G = {(a, b) | a, b C, b =6 0}

является группой относительно бинарной операции , определенной по правилу (a, b) (c, d) = (a + bc, bd).

Покажем,что — бинарная операция на множестве G. Пусть (a, b), (c, d) G. Тогда a + bc, bd C, причем bd 6= 0, так как b 6= 0, d 6= 0. Значит, (a + bc, bd) G.

Покажем, что группоид G удовлетворяет всем аксиомам группы. 1. Пусть (a, b), (c, d), (f, g) G. Тогда

((a, b) (c, d)) (f, g) = (a + bc, bd) (f, g) = (a + bc + bdf, bdg), (a, b) ((c, d) (f, g)) = (a, b) (c + df, dg) = (a + bc + bdf, bdg).

Значит,((a, b) (c, d)) (f, g) = (a, b) ((c, d) (f, g)), т.е. операция ассоциативна.

2. Покажем,что в группоиде G имеется нейтральный элемент. Пусть e = (x, y) — нейтральный элемент в группоиде G. Так как (0, 1) G, имеем

42

(0, 1) (x, y) = (0, 1), т.е. (0 + 1x, 1y) = (0, 1). Значит, (x, y) = (0, 1). Таким образом мы показали, что если e — нейтральный элемент в (G, ), то e = (0, 1).

Покажем, что (0, 1) — нейтральный элемент в G. Ясно, что (0, 1) G. Пусть (a, b) G. Тогда (a, b) (0, 1) = (a + b0, b1) = (a, b) и (0, 1) (a, b) = = (0 + 1a, 1b) = (a, b). Следовательно, e = (0, 1) — нейтральный элемент в группоиде (G, ).

3. Покажем, что для любого элемента (a, b) в группоиде G имеется симметричный ему элемент. Пусть (a, b) G и (x, y) — элемент в G, симметричный элементу (a, b). Тогда (a, b) (x, y) = (0, 1), т.е. (a + bx, by) = = (0, 1). Из последнего равенства следует, что a + bx = 0 и by = 1, откуда,

a

1

так как b 6= 0, x = −

и y =

. Таким образом, мы показали, что если (x, y)

b

b

— элемент, симметричный элементу

(a, b) G, то (x, y) = µ−

a

1

¶.

,

b

b

a

1

Покажем, что µ−

,

¶ — элемент, симметричный элементу (a, b). Яс-

b

b

µ−b b ¶

µ−b b

¶ µ

b

b

¶

но, что

a

,

1

G. Имеем (a, b)

a

,

1

=

a + b

−a

, b

1

= (0, 1),

µ−b

, b ¶

(a, b) = µ−b

+ b a, b b¶

= (0, 1). Следовательно, µ−b

, b ¶ —

a

1

a

1

1

a

1

элемент, симметричный элементу (a, b) в группоиде (G, ). Таким образом, группоид (G, ) является группой.

§11. Простейшие свойства групп.

Вближайших параграфах мы будем использовать преимущественно мультипликативную терминологию. Вместо записи a · b будем применять обычно запись ab, опуская знак операции ·.

СВОЙСТВО 11.1 . Во всякой группе (G, · ) имеется единственный единичный элемент. Для любого элемента a группы G имеется единственный обратный к нему элемент a−1 G.

Это свойство следует из теорем 4.1 и 5.1.

СВОЙСТВО 11.2. Во всякой группе (G, · ) выполнен закон сокращения, т.е. для любых a, b, c G справедливы следующие утвержде-

43

ния:

ab = ac b = c, ba = ca b = c.

Доказательство. Пусть ab = ac. Умножив данное равенство слева на a−1, получим

a−1(ab) = a−1(ac),

откуда в силу ассоциативности операции · следует, что

(a−1a)b = (a−1a)c,

так что eb = ec и, значит, b = c.

Аналогично доказывается истинность второй импликации.

СВОЙСТВО 11.3 . Во всякой группе (G, · ) для любых элементов a, b G каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет в G единственное решение, а именно x = a−1b, y = ba−1.

Доказательство. Пусть a, b G. Тогда a(a−1b) = (aa−1)b = eb = b, так что a−1b — решение уравнения ax = b.

Единственность решения вытекает из закона сокращения.

В самом деле, если ax1 = b и ax2 = b, где x1, x2 G, то ax1 = ax2 и поэтому x1 = x2.

Аналогично рассматривается уравнение ya = b.

СВОЙСТВО 11.4. Группоид (G, · ) является группой тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям:

1)операция · в G ассоциативна;

2)для любых a, b G каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет решение в G.

Доказательство. Необходимость вытекает из определения группы и свойства 11.3.

Достаточность. Пусть группоид (G, · ) удовлетворяет условиям 1) и 2), указанным в формулировке. Покажем, что (G, · ) — группа.

44

1.Операция · ассоциативна по условию.

2.Покажем, что в G имеется единичный элемент относительно опера-

ции ·.

Пусть a — фиксированный элемент из G. Из условия 2) следует, что

уравнение ax = a имеет решение e1 G, так что ae1 = a.

Пусть b — произвольный элемент из G. Из условия 2) следует, что урав-

нение ya = b имеет решение y1 G, так что y1a = b.

Поэтому be1 = (y1a)e1 = y1(ae1) = y1a = b. Таким образом, мы показали, что

b G	be1 = b.	(1)
Аналогично доказывается, что в G имеется элемент e2		такой, что
b G	e2b = b.	(2)

Покажем, что e1 = e2. В самом деле, полагая в равенстве (1) b = e2, а в

равенстве (2) b = e1, получим, что e2e1 = e2 и e2e1 = e1, откуда e1 = e2. Обозначим e1 = e2 = e. Тогда из (1) и (2) вытекает, что

b G be = eb = b,

т.е. e — единичный элемент в G относительно операции · .

3. Пусть a G. Из условия 2) следует, что уравнения ax = e и ya = e

имеют в G решения a′1 и a′2, так что aa′1 = e и a′2a = e.

Покажем, что a′1 = a′2. Так как операция · ассоциативна, (a′2a)a′1 =

= a′2(aa′1), откуда ea′1 = a′2e, так что a′1 = a′2.

Обозначим a′1 = a′2 = a−1. Тогда aa−1 = a−1a = e, т.е. a−1 — элемент в G, обратный к a.

Таким образом, мы доказали, что (G, ·) удовлетворяет всем условиям из определения группы.

СВОЙСТВО 11.5. Для любых элементов a и b группы G

(ab)−1 = b−1a−1,

т.е. элемент, обратный к произведению двух элементов группы, равен произведению обратных элементов, взятых в обратном порядке.

В самом деле, (ab)(b−1a−1) = a(bb−1)a−1 = aea−1 = aa−1 = e и, аналогично, (b−1a−1)(ab) = e, так что по определению (ab)−1 = b−1a−1.

Свойство 11.5 обобщается на произведение n сомножителей, где n > 2, а именно справедливо следующее

45

СВОЙСТВО 11.6. Для любых элементов a1, a2, . . . , an группы G

(a1a2 . . . an)−1 = a−n 1a−n−1 1 . . . a−1 1.

Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство свойства 11.5.

Из свойства 11.6, полагая a1 = a2 = . . . = an = a, получим следующее СЛЕДСТВИЕ. Для любого элемента a группы G имеет место равенство

(an)−1 = (a−1)n.

ЗАДАНИЕ. Сформулируйте свойства 11.1—11.6, а также следствие из свойства 11.6 в аддитивной терминологии.

§ 12. Степень элемента группы с целым показателем.

Пусть (G, ·) — группа, a — произвольный элемент из G. Напомним,

что для всякого n N an = a · a . . . · a .
|		{z		} n
n сомножителей

Положим, по определению, a0 = e, a−n = (an)−1

Из последнего равенства вытекает, что a− есть элемент, обратный к элементу an. Учитывая следствие из свойства 11.6, имеем

a−n = (an)−1 = (a−1)n.

Таким образом, мы определили ak для всякого целого числа k. Отметим, что если e — единица группы G, то ek = e, для всякого k Z. ТЕОРЕМА 12.1 . Пусть (G, ·) — группа, a G. Тогда для любых

целых чисел k, l имеют место равенства

ak al = ak+l,	(1)
(ak )l = akl.	(2)

Доказательство. Каждое из чисел k и l может быть либо натуральным числом, либо целым отрицательным числом, либо нулем. Рассмотрим возможние случаи, где m и n — произвольные натуральные числа.

46

Докажем равенство (1). 1) k, l N .

ak al = a · a . . . · a

a · a . . . · a

= a · a . . . · a

= ak+l.

|

{z

}

|

{z

}

+|

{z

}

k сомножителей l сомножителей

k

l

сомножителей

2) k = −m, l = −n.

ak al = a−ma−n = (a−1)m(a−1)n = (a−1)m+n = a−(m+n) = ak+l.

3) k = m, l = −n. а) m > n.

ak al = ama−n = am−nana−n = am−nan(an)−1 = am−n = ak+l.

б) m = n.

ak al = ama−m = am(am)−1 = e = a0 = ak+l.

в) m < n.

ak al = ama−n = am(a−1)n = am(a−1)m(a−1)n−m = a−(n−m) = am−n = ak+l.

Аналогично рассматривается случай k = −m, l = n.

4) k = 0. Тогда akal = a0al = eal

= al = ak+l.

Аналогично рассматривается случай l = 0.

Докажем равенство (2).

1)

k, l N .

(ak )l = a · a . . . · a

. . . a · a . . . · a = akl.

|

{z

}

|

{z

}

k сомножителей

k сомножителей

2)

k = m, l = n.

|

{z

}

kl сомножителей

−

(ak )l = (am)−n = ((am)n)−1 = a−mn = akl.

3)

k = −m, l = n.

(ak )l = (a−m)n = ((a−1)m)n = (a−1)mn = a−mn = akl.

47

4) k = −m, l = −n.

(ak )l = (a−m)−n = ((a−m)n)−1 = (a−mn)−1 = amn = akl.

5)k = 0. (ak )l = (a0)l = el = e = a0 = akl.

6)l = 0. (ak )l = (ak )0 = e = a0 = akl.

Приведем соответствующие определения и утверждения в аддитивной терминологии

Пусть (G, +) — группа, a G.

Напомним, что для всякого n N na = a + a + . . . + a.

|		{z		}
	n слагаемых

Положим по определению 0a = 0, (−n)a = −(na). Учитывая следствие из свойства 11.6, имеем (−n)a = −(na) = n(−a).

Таким образом, мы определили ka для всякого k Z.

ТЕОРЕМА 12.2. Пусть (G, +) — группа, a G. Тогда для любых целых чисел k и l имеют место равенства

ka + la = (k + l)a, k(la) = (kl)a.

§ 13. Порядок элемента группы.

Пусть (G, ·) — группа с единичным элементом e.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1. Элемент a группы G называется элементом конечного порядка, если an = e для некоторого n N .

При этом наименьшее n N для которого выполняется условие an = e, называется порядком элемента a.

Порядок элемента a обозначается через ord(a) или | a |.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.2. Элемент a группы G называется элементом бесконечного порядка, если an =6 e для всякого n N .

При этом пишут ord(a) = ∞.

Из приведенных определений следует, что любой элемент группы G либо имеет конечный порядок, либо является элементом бесконечного порядка.

Для элементов бесконечного порядка справедливо следующее утверждение

48

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 13.1. Элемент a группы G является элементом бесконечного порядка тогда и только тогда, когда он удовлетворя-

ет условию
k, l Z (k 6= l ak 6= al).	(1)

Доказательство. Пусть a — элемент бесконечного порядка и k, l — различные целые числа. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что k > l. Предположим, что ak = al. Умножив это равенство на a−l, получим ak−l = a0 = e, где k − l N . Полученное противоречие означает, что ak =6 al.

Обратно, если элемент a удовлетворяет условию (1), то an =6 a0 для вякого n N , так что по определению a является элементом бесконечного порядка.

Приведем некоторые примеры.

Во всякой группе единичный элемент e является элементом конечного порядка, причем ord(e) = 1;

в группе (R \ {0}, ·) число −1 является элементом конечного порядка, причем ord(−1) = 2; остальные числа в этой группе, отличные от 1, являются элементами бесконечного порядка;

		µ	1	2	3	¶
в группе	(S3	, ·) элемент	2	3	1		имеет порядок, равный 3;
		, ·) элемент µ	1	2	3	4	5
в группе	(S5		2π	3	1	5	4 ¶ имеет порядок, равный 6;
в группе	(Ro, ◦) элемент		Ro4	имеет порядок, равный 8, Ro1 — элемент

бесконечного порядка (проверьте!).

Отметим некоторые свойства элементов конечного и бесконечного порядка.

СВОЙСТВО 13.1. Для всякого элемента a группы G элементы a и a−1 либо оба являются элементами одного и того же конечного порядка, либо оба являются элементами бесконечного порядка.

Доказательство.

1.Пусть a — элемент конечного порядка n. Тогда (a−1)n = (an)−1 = e−1 = e, так что a−1 — элемент конечного порядка. При этом если (a−1)m = e для некоторого m N , где m < n, то am = ((a−1)m)−1 = e−1 = e, что противоречит условию ord(a) = n. Значит, ord(a−1) = n.

2.Пусть a — элемент бесконечного порядка. Если a−1 — элемент конечного порядка, то a = (a−1)−1 также имеет конечный порядок, что противоречит условию. Значит a−1 — элемент бесконечного порядка.

49

СВОЙСТВО 13.2 . В любой конечной группе (G, ·) все элементы являются элементами конечного порядка.

Доказательство. Пусть множество G состоит из n элементов и a G. Тогда среди n + 1 элементов a, a2, . . . , an+1 найдутся два равных, т.е. существуют i, j {1, . . . , n + 1} такие, что ai = aj и i 6= j. Поэтому по предложению 13.1 a не является элементом бесконечного порядка, т.е. a

— элемент конечного порядка.

СВОЙСТВО 13.3. Пусть ord(a) = n. Тогда для любого целого числа k ak = ar, где r — остаток от деления числа k на n.

Доказательство. Пусть k = nq + r, где q, r Z и 0 6 r < n.

Тогда ak = anq+r = anq ar = (an)q ar = eq ar = ar.

СВОЙСТВО 13.4. Пусть ord(a) = n. Тогда для любого k Z

.

ak = e k . n.

.

Доказательство.

1. Пусть ak = e. Тогда, по свойству 13.3, ar = e, где r — остаток от деления числа k на n. Если r =6 0, то r N и так как ar = e, r < n, получим противоречие с тем, что ord(a) = n. Значит r = 0, т.е. k . n.

2. Обратно, пусть k . n. Тогда ak = a0 = e.

СВОЙСТВО 13.5. Пусть

ak

ord(a) = n. Тогда для любых k, l Z

.

= al k − l . n.

.

Доказательство. Легко видеть, что ak = al ak−l = e. В самом деле, если ak = al, то умножив это равенство почленно на a−l, получим ak−l = e; обратно, если ak−l = e, то умножив это равенство на al, получим ak = al.

По свойству 13.4 ak−l = e k − l . n. Из предыдущего следует, что ak = al k − l . n.

СВОЙСТВО 13.6. Пусть ord(a) = n. Тогда для любого k Z

ord(ak ) =	n
		.
	(n, k)

50