7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость

При проектировании валов можно рекомендовать следующий порядок расчёта на кручение.

По схеме вала определяются действующие на него скручивающие моменты по формуле (7.1) и строится эпюра крутящего момента M_кр. Пример такой эпюры приведён на рис. 7.2. Наибольший скручивающий момент М₃(момент на “ведущем шкиве”) приложен в середине вала. Другой вариант эпюры крутящих моментов, когда “ведущий шкив” расположен на краю вала, - на рис. 7.7

Установив величину наибольшего крутящего момента, определим размеры его поперечного сечения из условий прочности и жёсткости.

Условие прочности вытекает из формулы (7.10)

, (7.13)

где τ– допускаемое напряжение при кручении (чистом сдвиге).

Рис. 7.7

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента сопротивления W_р и задавая из конструктивных соображений отношение , находим наружный диаметр вала

. (7.14)

Помимо расчёта на прочность, валы рассчитывают и на жёсткость, ограничивая углы закручивания на единицу длины (погонные углы закручивания).

Условие жёсткости вытекает из формулы (7.7)

, (7.15)

где [θ] – допускаемый погонный угол закручивания в градусах на метр.

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента инерции J_p, принимая =1м=100 см и переводя [θ] из градусов/метр в радианы/метр, находим наружный диаметр вала из условия жёсткости

. (7.16)

Далее из двух значений d_н, найденных по формулам (7.14) и (7.16), выбираем большее и округляем его до ближайшего стандартного.

7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации

Характер разрушения зависит от напряжённого состояния и механических свойств материала.

Из анализа формулы (7.9) видно, что касательные напряжения в плоскости поперечного сечения распределены неравномерно и достигают максимума на периферии его (рис.7.6). В элементе материала, мысленно выделенном из наружных слоёв стержня сечениями, параллельными и перпендикулярными к образующим, по граням будут действовать только касательные напряжения (рис.7.8) – имеет место чистый сдвиг. Наибольшие нормальные напряжения действуют по главным площадкам, которые, как известно, наклонены под углом 45^ к площадкам чистого сдвига (при кручении – под углом 45^ к оси вала).

Рис. 7.8.

Таким образом, при кручении круглых стержней опасными могут стать как касательные напряжения, возникающие в поперечных и в продольных сечениях вала, так

инормальные напряжения, возникающие в площадках под углом 45^ к первым. В связи с этим характер разрушения будет зависеть от способности материала сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений.

Стальные валы (пластичный материал) разрушается путём среза по плоскости поперечного сечения, т.к. прочность стали на растяжение высока (рис. 7.9,а). При этом ввиду больших пластических деформаций к моменту разрушения концевые сечения поворачиваются друг относительно друга на несколько полных оборотов.

Хрупкий материал (чугун, пластмасса) плохо сопротивляется растягивающим напряжениям и поэтому трещины разрушения пройдут по линиям, нормальным к направлению главных растягивающих напряжений, т.е. по винтовым линиям, касательные к которым образуют угол 45^ с осью стержня (рис. 7.9,б).

Рис. 7.9.

Анизотропный материал – древесина имеет низкую прочность на скалывание вдоль волокон и поэтому разрушается от касательных напряжений, действующих вдоль оси стержня, - появляются продольные трещины (рис. 7.9,в)

Как отмечалось в п. 2.8, любое упругое тело при деформации накапливает энергию, причём энергия эта равна работе внешнего усилия на соответствующей деформации. При кручении работу совершает крутящий момент М_крна угле закручивания. Пока деформация упругая, зависимость между ними линейная (рис.7.10) и работа А равна площади треугольника с катетами, равными конечному значению крутящего момента и соответствующему значению угла закручивания (по аналогии с графиком на рис.2.28 и формулой (2.36):

. (7.17)

Рис.7.10.

Подставив в (7.17) выражение для  (7.8), получим формулу для потенциальной энергии упругой деформации при кручении

. (7.18)