На поверхности стержня

bb′ = dx tg γ₀ = dx γ₀, bb′ = rtg φ = rd φ,

dx γ₀ = rdφ, .

В произвольном месте (на расстоянии  от оси)

kk′ = dx · γ, kk′ = ρdφ, dx γ = ρdφ

. (7.4)

Величина dφ/dx является относительным (погонным) углом закручивания, имеет размерность см^-1 и обычно обозначается через θ. Учитывая это, формулу (7.4) можно переписать так:

γ = θρ. (7.5)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи: элемент испытывает чистый сдвиг и поэтому в соответствии с формулой (6. 8) получим

τ = Gθρ. (7.6)

Формула (7.6) показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию ρ точек от центра сечения. Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня при ρ = r. Нам пока неизвестен относительный угол закручивания θ. Для определения его необходимо рассмотреть статическую сторону задачи (рис. 7.5).

∑ M_x = 0: ;

;

- М_кр + GθJ_р = 0;

, (7.7)

где GJ_р – жёсткость стержня при кручении, J_р – полярный момент инерции.

Рис. 7.5

Зная выражение (7.7) относительного угла закручивания, можно написать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии ℓ:

.

Если в пределах участка длиною ℓ крутящий момент не изменяется, то

. (7.8)

Для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения надо в формулу (7.6) подставить выражение для  по формуле (7.7). Тогда

. (7.9)

График касательных напряжений в поперечном сечении представлен на рис.7.6,а. Максимальное напряжение у поверхности стержня будет

, (7.10)

где W_p – полярный момент сопротивления.

а б

Рис. 7.6

Из графика следует, что материал в окрестности центра стержня почти не работает (напряжения близки к нулю), поэтому его можно удалить. Получится трубчатое или кольцевое сечение (рис.7.6,б). Это сечение выгоднее круглого – при равной прочности имеет меньший вес.

Геометрические характеристики сплошного круглого сечения определяются по формулам (4.11) и (4.25)

, . (7.11)

Геометрические характеристики трубчатого сечения будут

, ,

(7.12)

где α – отношение внутреннего диаметра трубы к наружному,  = d_B/d_H.

В качестве примера решим задачу о соотношении площадей поперечного сечения равнопрочных трубчатого и сплошного валов, приняв α = 0,8. Прочность характеризуется моментом сопротивления, поэтому 0,2d³ = 0,2d³_H (1 – α⁴).

Выразим диаметр трубчатого вала через диаметр круглого

0,2d³ = 0,2d³_H (1 – (0,8)⁴) = 0,2d³_H ∙ 0,59

d_H = 1,195d

Теперь найдём площади поперечного сечения:

сплошной вал ;

трубчатый вал .

Таким образом мы получили, что трубчатый вал имеет на 20% больший диаметр, чем сплошной. При этом площадь поперечного сечения его на 50% меньше.

Поэтому валы, передающие большие крутящие моменты, делают трубчатыми. Например, валы гидротурбин, карданные валы транспортных машин. В случае небольших моментов затраты на изготовление трубчатого вала не окупаются экономией материала.

7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость

При проектировании валов можно рекомендовать следующий порядок расчёта на кручение.

По схеме вала определяются действующие на него скручивающие моменты по формуле (7.1) и строится эпюра крутящего момента M_кр. Пример такой эпюры приведён на рис. 7.2. Наибольший скручивающий момент М₃ (момент на “ведущем шкиве”) приложен в середине вала. Другой вариант эпюры крутящих моментов, когда “ведущий шкив” расположен на краю вала, - на рис. 7.7

Установив величину наибольшего крутящего момента, определим размеры его поперечного сечения из условий прочности и жёсткости.

Условие прочности вытекает из формулы (7.10)

, (7.13)

где τ – допускаемое напряжение при кручении (чистом сдвиге).

Рис. 7.7

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента сопротивления W_р и задавая из конструктивных соображений отношение , находим наружный диаметр вала

. (7.14)

Помимо расчёта на прочность, валы рассчитывают и на жёсткость, ограничивая углы закручивания на единицу длины (погонные углы закручивания).

Условие жёсткости вытекает из формулы (7.8)

, (7.16)

где [φ] – допускаемый угол закручивания в градусах на метр.

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента инерции J_p, принимая =1м=100 см и переводя [φ] из градусов/метр в радианы/метр, находим наружный диаметр вала из условия жёсткости

. (7.16)

Далее из двух значений d_н, найденных по формулам (7.14) и (7.16), выбираем большее и округляем его до ближайшего стандартного.