- •Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса
- •5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия
- •5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, q и m
- •5.3. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m
- •5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •Запишем уравнения статики для отрезка балки длиной X, находящегося под действием постоянного изгибающего моментаMи нормальных напряжений σ. Нужно записать шесть уравнений статики
- •5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
- •Условия прочности
- •5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •5.7. Распределение касательных напряжений в балках различных профилей. Условие прочности
- •5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе. Полная проверка прочности
- •5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба
- •Нормальные напряжения:
- •5.10. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 6. Сдвиг
- •Напряжения и деформации при чистом сдвиге
- •6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
- •6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
- •Глава 7. Кручение прямого бруса
- •7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
- •7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
- •На поверхности стержня
- •7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость
- •7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации
- •7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения
- •Они определяются по формулам
- •7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
Они определяются по формулам
WK = ahb2, (7.21)
JK = βhb3, (7.22)
где h – длинная сторона прямоугольного сечения;
b – короткая его сторона;
и - коэффициенты, зависящие от отношения h/b, приводятся в справочниках.
Распределение касательных напряжений в прямоугольном сечении показано на рис.7.13,б. Наибольшие напряжения, определяемые по формуле (7.19), возникают у поверхности посередине длинных сторон (в точках B и D).
Напряжения, возникающие у поверхности сечения посередине коротких сторон, (в точках A и С) меньше, они определяются по формуле
τ = γ ∙ τmax. (7.23)
В углах и в центре напряжения равны нулю.
7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
В технике широко применяются пружины различных типов. Наибольшее распространение имеют цилиндрические винтовые пружины растяжения – сжатия с малым шагом, то есть с малым углом наклона проволоки (рис. 7.14,а).
Обозначим:
D = 2R– средний диаметр пружины;
d = 2r – диаметр проволоки;
n – число рабочих витков;
λ – осадка пружины.
Пусть пружина подвергается растяжению центрально приложенной силой Р.
Чтобы установить расчётные формулы для напряжений, разрежем её мысленно на две части по любому витку плоскостью, перпендикулярной оси витка. Удаляя нижнюю часть пружины, рассмотрим условие равновесия оставшейся (верхней) её части (рис. 7.14,в). Угол наклона витка не превышает 8 – 10, т.к. пружина с малым шагом. Поэтому можно считать cos 1 и sin 0 и пренебречь нормальной силой N и изгибающим моментом; поперечная сила Q = P (рис. 7.14,б). Очевидно, влияние отброшенной части на рассматриваемую может быть учтено приложением к месту разреза витка поперечной силы
Q = P
и крутящего момента
Mкр = PR.
Рис. 7.14
Таким образом, в сечении пружины имеется две группы касательных напряжений (рис.7.14,г):
1) напряжения от среза, равномерно распределённые по сечению
; (7.24)
2) напряжения от кручения, максимальное значение которых
. (7.25)
Как видно из картины распределения напряжений, в точке сечения витка на внутреннем радиусе (в точке А) касательные напряжения τ′ и τ′′ совпадают по направлению. Поэтому максимальные напряжения в пружине
,
или
. (7.26)
В большинстве случаев расчёта пружины (проволока относительно тонкая) и скобка в формуле (7.26) становится равной единице. Тогда условие прочности пружины будет
. (7.27)
Напряжения от среза следует учитывать при расчёте “толстых” пружин, таких, например, как применяемых в подвеске железнодорожных вагонов.
Пружины должны сочетать прочность с большой деформативностью, поэтому они изготовляются из высокопрочных материалов с обязательной термообработкой. Величина [τ] зависит не только от материала, но и от диаметра проволоки: чем он меньше, тем [τ] больше. Так, для закалённой пружинной стали [] = 35 – 50 кН/см2 (d = 12 – 6 мм); для хромоникелевых сталей [] = 70 кН/см2 (d = 12 – 6 мм).
Для определения осадки пружины λ (взаимного перемещения её торцов вдоль оси) воспользуемся энергетическим методом. Сила Р совершает работу на перемещении λ. Так как зависимость между ними линейная, эта работа будет равна
A = ½ Pλ.
В пружине, работающей на кручение, накапливается энергия деформации, которую можно найти по формуле (7.18). При этом Mкр = PR, = 2Rn – длина пружинной проволоки, JP = d4/32 = r4/2. Получим
.
Приравняв работу внешней силы и потенциальную энергию упругой деформации, получим формулу для λ:
,
. (7.28)
В заключение отметим, что кроме рассмотренных цилиндрических пружин постоянного сечения с пологим наклоном витка, существует целый ряд других конструкций: конические, призматические, фасонные (параболические, двойные, конические, бочкообразные). При этом шаг пружины может быть как постоянным, так и переменным, а сечение витка не только круглой, но и прямоугольной формы. Характеристика таких пружин, как правило, нелинейная, а методы расчёта довольно сложны, и здесь не рассматриваются.