- •Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса
- •5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия
- •5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, q и m
- •5.3. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m
- •5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •Запишем уравнения статики для отрезка балки длиной X, находящегося под действием постоянного изгибающего моментаMи нормальных напряжений σ. Нужно записать шесть уравнений статики
- •5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
- •Условия прочности
- •5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •5.7. Распределение касательных напряжений в балках различных профилей. Условие прочности
- •5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе. Полная проверка прочности
- •5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба
- •Нормальные напряжения:
- •5.10. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 6. Сдвиг
- •Напряжения и деформации при чистом сдвиге
- •6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
- •6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
- •Глава 7. Кручение прямого бруса
- •7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
- •7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
- •На поверхности стержня
- •7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость
- •7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации
- •7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения
- •Они определяются по формулам
- •7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
Условия прочности
, (5.22)
.
Все формулы настоящего и предыдущего параграфов получены для случая чистого изгиба прямого стержня Действие поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу: поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются, продольные волокна давят друг на друга и находятся, следовательно, не в линейном а в плоском напряжённом состоянии. Однако практика расчётов и многочисленные экспериментальные исследования показывают, что и при поперечном изгибе можно пользоваться формулами, выведенными для чистого изгиба, т.к. погрешность при этом получается весьма незначительной.
5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
При поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют Q и M, возникают не только нормальные напряжения σ, но и касательные напряжения τ.
Получим формулу для определения τ в самом простом случае поперечного изгиба – когда Q = const. Задача об определении напряжений, как правило, статически неопределима и требует рассмотрения геометрической и статической сторон (например, задача о нормальном напряжении при чистом изгибе – см.п.5.4.). Однако можно принять такие гипотезы о распределении напряжений, при которых задача станет статически определимой. Тогда необходимость в привлечении геометрических и физических уравнений отпадает и достаточно рассмотреть одну только статическую сторону задачи. Именно так и будет обстоять дело с выводом формулы для τ при изгибе.
Проведем вывод на примере балки прямоугольного поперечного сечения (рис.5.20,а), нагруженной силой в пролёте.
Введём некоторые предположения о характере распределения напряжений:
1) τ всюду параллельны Q;
2) во всех точках сечения на данном уровне (y = const) τ одинаковы, (т.е. постоянны по ширине и зависят только от расстояния точки до нейтральной линии);
3) σ определяется по формуле (5.18) для чистого изгиба.
Первые два предположения справедливы, если b < h.
Двумя близкими поперечными сечениями A1B1 и A2B2 выделим элемент балки длиной dx (рис.5.20,б). Как видно по эпюрам, в обоих сечениях Q одинакова, а М разный: в сечении A1B1: М = M(x), a в сечении A2B2: М = M(x) + dM.Таким образом, в этих сечениях действуют нормальные напряжения σ′ и σ′′ (рис.5.20,в), причём σ′′ > σ′.
Отсечём часть элемента балки, проведя горизонтальную плоскость m1-n2 на расстоянии y от нейтрального слоя. Выделенный таким образом элемент показан в поперечном сечении (рис.5.20,г) и в аксонометрии (рис.5.20,д). Нормальные напряжения, действующие по граням A1m1n1C1 и A2m2n2C2, определяются по формулам
, , (5.23)
где y1 – текущая координата в пределах этих граней, y ≤ y1 ≤ h/2.
а б в
г д
Рис.5.20
Равнодействующие этих напряжений, нормальные усилия N1 и N2:
, , |
(5.24) |
где F1 – площадь грани A1m1n1C1 (рис.5.20,г).
Ввиду того, что N2 > N1, равновесие рассматриваемого элемента возможно только в том случае, если по грани m1m2n2n1 будут действовать касательные напряжения τ′. Площадь этой грани бесконечно мала (длина dx), поэтому можно считать, что напряжения τ′ распределены равномерно и, следовательно, дают усилие
T = τ′bdx = τbdx. (5.25)
В формуле (5.25) τ′ = τ по закону парности касательных напряжений, τ – касательное напряжение в поперечном сечении, параллельное Q.
Запишем теперь уравнение равновесия параллелепипеда:
∑x = N2 – N1 – T = 0.
Подставляя N по формулам (5.24) и Т по формуле (5.25), получим
,
.
Учтём, что – статический момент отсечённой площади, заключенной между уровнем «y» и краем балки, и разделим это равенство на bdx
.
Учитывая, что по формуле (5.4) , находим окончательно
. (5.26)
Формула (5.26) носит имя автора – русского учёного Д.И.Журавского. Несмотря на то, что положенные в основу её вывода гипотезы справедливы только для узких прямоугольных сечений, ею можно пользоваться для любых сечений, в том числе и для сечений переменной ширины. Поперечная сила может быть переменной по длине балки.
Рис.5.21
Таким образом, для произвольного сечения (рис.5.21) формула Журавского записывается в следующем виде
, (5.27)
где Q(x) – абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения;
Jz – момент инерции этого сечения относительно нейтральной оси;
by – ширина сечения в том месте, где определяют τ;
SzOTC – абсолютная величина статического момента отсеченной части профиля относительно нейтральной оси (отсечение производится линией, параллельной нейтральной оси в том месте, где определяют τ).
SzOTC = F1 ∙ yц,т.