7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации

Характер разрушения зависит от напряжённого состояния и механических свойств материала.

Из анализа формулы (7.9) видно, что касательные напряжения в плоскости поперечного сечения распределены неравномерно и достигают максимума на периферии его (рис.7.6). В элементе материала, мысленно выделенном из наружных слоёв стержня сечениями, параллельными и перпендикулярными к образующим, по граням будут действовать только касательные напряжения (рис.7.8) – имеет место чистый сдвиг. Наибольшие нормальные напряжения действуют по главным площадкам, которые, как известно, наклонены под углом 45^ к площадкам чистого сдвига (при кручении – под углом 45^ к оси вала).

Рис. 7.8.

Таким образом, при кручении круглых стержней опасными могут стать как касательные напряжения, возникающие в поперечных и в продольных сечениях вала, так

инормальные напряжения, возникающие в площадках под углом 45^ к первым. В связи с этим характер разрушения будет зависеть от способности материала сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений.

Стальные валы (пластичный материал) разрушается путём среза по плоскости поперечного сечения, т.к. прочность стали на растяжение высока (рис. 7.9,а). При этом ввиду больших пластических деформаций к моменту разрушения концевые сечения поворачиваются друг относительно друга на несколько полных оборотов.

Хрупкий материал (чугун, пластмасса) плохо сопротивляется растягивающим напряжениям и поэтому трещины разрушения пройдут по линиям, нормальным к направлению главных растягивающих напряжений, т.е. по винтовым линиям, касательные к которым образуют угол 45^ с осью стержня (рис. 7.9,б).

Рис. 7.9.

Как отмечалось в п. 2.8, любое упругое тело при деформации накапливает энергию, причём энергия эта равна работе внешнего усилия на соответствующей деформации. При кручении работу совершает крутящий момент М_кр на угле закручивания . Пока деформация упругая, зависимость между ними линейная (рис.7.10) и работа А равна площади треугольника с катетами, равными конечному значению крутящего момента и соответствующему значению угла закручивания (по аналогии с графиком на рис.2.28 и формулой (2.36):

. (7.17)

Рис.7.10.

Подставив в (7.17) выражение для  (7.8), получим формулу для потенциальной энергии упругой деформации при кручении

. (7.18)

7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения

В инженерной практике часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное (иногда треугольное, эллиптическое и другое) сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, т.к. после деформации поперечные сечения таких брусьев искривляются (депланируют).

Если депланация сечений происходит без препятствий, кручение называется свободным. При наличии связей, препятствующих свободной депланации отдельных сечений, кручение называется стеснённым. При стеснённом кручении в поперечных сечениях бруса возникают, кроме касательных, нормальные напряжения. В дальнейшем рассматривается только свободное кручение.

Точные расчёты стержней прямоугольного сечения получены методами теории упругости, которые довольно сложны и громоздки и поэтому в курсе сопротивления материалов не излагаются. Однако окончательные результаты приводятся в виде формул, аналогичных формулам расчёта на кручение круглого стержня.

а б

Рис. 7.13

Так, для прямоугольного стержня (рис.7.13) наибольшее касательное напряжение и угол закручивания определяются по формулам

, (7.19)

. (7.20)

Здесь J_K и W_K – геометрические характеристики, заменяющие J_P и W_P:

J_K – момент инерции при кручении;

W_K – момент сопротивления при кручении.