- •Раздел 1. Матрицы и определители
- •Раздел 2. Системы линейных уравнений
- •Раздел 3. Векторы и линейные пространства. Линейные операторы.
- •Раздел 4. Координатный метод. Прямая и плоскость.
- •Раздел 5. Кривые второго порядка. Квадратичные формы.
- •Раздел 6. Алгебраические структуры
- •4.2. Комплекты дидактических материалов к проведению занятий Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- •Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица
- •Решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение матричных уравнений
- •Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли .
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис
- •Скалярное произведение векторов, его вычисление, свойства и применения
- •Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения
- •Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения
- •Уравнения плоскости в. Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнения прямой в. Взаимное положение прямых, прямой и плоскости
- •Решение задач, связанных с различными уравнениями прямой и взаимным расположением прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •4.4. 4.5.
Раздел 4. Координатный метод. Прямая и плоскость.
Лекция 11. Координатный метод
Аффинная система координат на плоскости и в пространстве.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве.
Полярная система координат на плоскости.
Параметрическое задание кривых.
Лекция 12. Прямая линия на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой в отрезках.
Нормальное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой.
Взаимное положение двух прямых на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Лекция 13. Плоскость и прямая в трехмерном пространстве.
1.Уравнения плоскости в трехмерном пространстве.
2.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
3.Уравнения прямой в трехмерном пространстве: канонические, параметрические, общие.
4. Угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве, условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Лекция 14. Взаимное положение прямой и плоскости в трехмерном пространстве.
1.Угол между прямой и плоскостью в трехмерном пространстве. Условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
2.Точка пересечения прямой и плоскости.
3. Расстояние от точки до плоскости.
Раздел 5. Кривые второго порядка. Квадратичные формы.
Лекция 15. Кривые второго порядка.
Общее уравнение кривой второго порядка.
Канонические уравнения кривых 2-го порядка.
Уравнения некоторых плоских кривых и трехмерных поверхностей.
Тела вращения.
Лекция 16. Квадратичные формы
Квадратичные формы, матрица квадратичной формы.
Канонический вид канонической формы.
Геометрический смысл приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Положительно определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Раздел 6. Алгебраические структуры
Лекция 17. Множества и операции над ними.
Понятие множества. Круги Эйлера.
Операции над множествами. Основные законы операций над множествами.
Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества.
Множество действительных чисел и его основные подмножества.
Окрестность точки, элементы топологии.
Лекция 18. Алгебраические структуры
Понятие математической структуры.
Основные алгебраические структуры: группы и полугруппы, кольца и поля.
4.2. Комплекты дидактических материалов к проведению занятий Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
1. Вычислить определители 2-го порядка:
1.1. .1.2. .1.3. .
1.4. .1.5. .
2. Вычислить определители 3-го порядка по правилу Саррюса и разложением по элементам строки или столбца:
2.1. .2.2. .2.3. .
2.4. .2.5. .
3. Вычислить определители, используя их свойства:
3.1. .3.2. .
3.3. .3.4. .
4. Решить уравнения:
4.1. .4.2. .4.3. .
5. Решить неравенства:
5.1. .5.2. .
6. Решить СЛУ по формулам Крамера:
6.1. .6.2. .
6.3. . 6.4. .
6.5. .6.6.
7. При каких значениях параметров система имеет единственное решение?
7.1. .7.2. . 7.3 . .
8. При каких значениях параметров система несовместна?
8.1. .8.2 . .8.3 . .
Дополнительные задания
Д-1. Вычислить определители:
Д-1.1. .Д-1.2. .Д-1.3. .
Д-1.4. .Д-1.5. .Д-1.6. .
Д-1.7. .Д-1.8. .
Д-1.9. .
Д-2. Решить уравнения:
Д-2.1. .Д-2.2. . Д-2.3. .
Д-2.4. . Д-2.5. .
Д-3. Доказать равенство:
Д-3.1. .
Д-3.2. .
Д-4. Найти решение СЛУ, используя формулы Крамера:
Д-4.1. .Д-4.2 . .
Д-5. Найти коэффициенты многочлена , удовлетворяющие условиям,,.
Итоговый самоконтроль
С-1. Чему равен определитель треугольной матрицы?
С-2. Что известно о произведении определителей матриц и определителе их произведения?
С-3. Можно ли утверждать, что определитель суммы матриц равен сумме их определителей? Если да, приведите примеры.
С-4. Что можно сказать об определителях матрицы и транспонированной матрицы?
С-5. Что произойдет с определителем, все элементы какой-либо строки (столбца) которого умножат на одно и то же число l:
а) отличное от нуля? б) равное нулю?
С-6. Не вычисляя определителя , доказать, что онделится нацело на числа 2, 3, 4, 6. Делится ли он еще на какие-нибудь числа?
С-7. Могут ли быть равными определители разных порядков? Ответ поясните.
С-8. Докажите равенство определителей
и ,
не вычисляя их.
С-9. Может ли определитель 2-го порядка быть больше определителя 3-го порядка?
С-10. Как изменится определитель, если к каждой строке, кроме первой, прибавить первую строку?
С-11. Как изменится определитель, если ко всем строкам (в т. ч. и к первой) прибавить первую строку?
С-12. Как изменится определитель, если его первый столбец разделить на 2?
С-13. Как изменится определитель, если первую строку умножить на 2 и прибавить к ней вторую строку?
С-14. Как изменится определитель, если из каждого столбца, кроме последнего, вычесть последний столбец?
С-15. Изменится ли определитель, если из каждого столбца, в т. ч. и из последнего, вычесть последний столбец?
С-16. Изменится ли определитель, если один из равных столбцов заменить столбцом из нулей?
С-17. Могут ли различные методы решения линейных систем дать различные ответы?
С-18. Изменится ли решение системы, если два уравнения поменять местами?