- •Раздел 1. Матрицы и определители
- •Раздел 2. Системы линейных уравнений
- •Раздел 3. Векторы и линейные пространства. Линейные операторы.
- •Раздел 4. Координатный метод. Прямая и плоскость.
- •Раздел 5. Кривые второго порядка. Квадратичные формы.
- •Раздел 6. Алгебраические структуры
- •4.2. Комплекты дидактических материалов к проведению занятий Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- •Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица
- •Решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение матричных уравнений
- •Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли .
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис
- •Скалярное произведение векторов, его вычисление, свойства и применения
- •Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения
- •Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения
- •Уравнения плоскости в. Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнения прямой в. Взаимное положение прямых, прямой и плоскости
- •Решение задач, связанных с различными уравнениями прямой и взаимным расположением прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •4.4. 4.5.
Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица
1. Найти матрицу, заданную условием:
1.1. , если,.
1.2. , если ,.
1.3. , если.
2. Найти значение матричного многочлена , если:
2.1. ,.
2.2. ,.
3. Проверить перестановочность матриц:
3.1. ,.
3.2. ,.
4. Найти произведение и. Существуют ли матрицы?
4.1. .4.2. .4.3. .
5. Привести матрицы к ступенчатому виду:
5.1. .5.2. .
5.3. .
6. Найти матрицу, обратную данной:
6.1. .6.2. . 6.3. .
7. Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований:
7.1. .7.2. 7.3. .
7.4. .7.5. .
Дополнительные задания
Д-1. Найти произведения и:
Д-1.1. ,,.
Д-1.2., ,.
Д-2. Найти матрицы и:
Д-2.1. ...
Д-2.2. ...
Д-3. Найти матрицу :
Д-3.1. .Д-3.2. .Д-3.3. .
Д-4. Найти , если.
Д-5. Найти матрицы, перестановочные с матрицей , если:
Д-5.1. .Д-5.2. .Д-5.3. .
Д-6. Найти матрицу, обратную данной, с помощью присоединенной матрицы или методом элементарных преобразований:
Д-6.1. .Д-6.2. .Д-6.3. .
Д-6.4. .Д-6.5. .Д-6.6.
Д-7. Вычислить матрицу , где,
, .
Д-8. Вычислить матрицу , где,,.
Д-9. Вычислить , если.
Д-10. Найти , если,.
Д-11. При каких значениях l матрица не имеет обратной?
Д-11.1.. Д-11.2. .Д-11.3..
Итоговый самоконтроль
С-1. Следует ли из возможности сложения матриц возможность их перемножить и наоборот?
С-2. Можно ли умножить и в любом ли случае:
а) матрицу-столбец на матрицу ;
б) матрицу на матрицу-столбец;
в) матрицу-строку на матрицу ;
г) матрицу на матрицу-строку;
д) матрицу-строку на матрицу-столбец;
е) матрицу-столбец на матрицу-строку.
С-3. Можно ли найти квадрат матрицы, имеющей размеры ?
С-4. Каковы размеры матрицы , если известно, что?
С-5. Можно ли утверждать, что ?
С-6. Можно ли при умножении прямоугольных матриц получить квадратную матрицу?
С-7. Можно ли утверждать, что ?
С-8. Верно ли утверждение ?
С-9. Верно ли утверждение: матрица, у которой пропорциональны соответственные элементы всех строк, эквивалентна нулевой?
С-10. Назовите наименьший размер матрицы.
С-11. Изменится ли произведение матриц при транспонировании одной из них?
С-12. Верно ли утверждение, что ?
С-13. Какие размеры имеет матрица, обратная матрице размера ?
С-14. Как изменится матрица , если в матрицепоменять местами две строки (столбца)?
С-15. Изменится ли матрица , если матрицуумножить на число?
С-16. Как изменится матрица , если столбец или строку матрицыумножить на число?
С-17. Является ли верным равенство:
а) ;б) ;
в) ;г).
С-18. Каким общим свойством обладают матрицы и?
Решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение матричных уравнений
1. Решить матричным способом СЛУ:
1.1. .1.2. ;
1.3. .1.4. ;
1.5. .1.6. .
2. Решить матричное уравнение:
2.1. .2.2. ;
2.3. . 2.4. .
2.5. .
2.6. .
3. Найти все матрицы, удовлетворяющие уравнению:
3.1. .3.2. .
3.3. .3.4. .
3.5. .
Дополнительные задания
Д-1. Решить СЛУ матричным способом:
Д-1.1. .Д-1.2. .
Д-1.3. .Д-1.4. .
Д-1.5. .Д-1.6..
Д-2. Решить матричное уравнение:
Д-2.1. .
Д-2.2. .
Д-2.3. .
Д-2.4. .
Д-2.5. .
Д-3. Решить матричное уравнение:
.
Д-4. Решить матричное уравнение:
Д-4.1. .Д-4.2. .
Д-4.3. .
Итоговый самоконтроль
С-1. Может ли матричное уравнение иметь:
а) одно решение;
б) ни одного решения;
в) два решения.
Ответ поясните.
С-2. Может ли уравнение иметь ненулевое решение?
С-3. Изменится ли решение СЛУ, если в основной матрице системы поменять местами две строки (два столбца)?
С-4. Верно ли, что:
а) если , то;
б) если , то;
в) если , то.
С-5. матричная форма записи системы линейных уравнений. Какое из выражений,,является решением системы?
С-6. Решить матричные уравнения:
а) ;б) .
С-7. Можно ли говорить о сходстве решения СЛУ матричным способом и по формулам Крамера?
С-8. Решить матричное уравнение:
а) б)