7.2 Методические указания к теме 1

7.2.1 Основные теоретические положения начертательной геометрии, применяемые при выполнении задач № 1и 2.

1. Система плоскостей проекций П₁, П₂, П₃(рис.4)

П₁– горизонтальная плоскость проекций

П₂– фронтальная плоскость проекций

П₃– профильная плоскость проекций

(П_1┴П_2┴П₃)

OX,OY,OZ– оси проекций (линии пересечения плоскостей проекций).

Рисунок 4

2. Точка в системе 2_х и 3_хплоскостей проекций.

Расположение точки "А" в пространстве:

А^I - горизонтальная проекция точки "А",

А^II- фронтальная проекция точки "А",

А^III - профильная проекция точки "А", т.е. проекция точки "А" на плоскости проекций П₁, П₂, П₃ - А А^I _┴ П₁; А А^II _┴ П₂; А А^III _┴ П₃

Проекции точки на плоскостях проекций есть точки пересечения лучей проведенных из заданной точки перпендикулярно плоскостям проекций.

3. Система прямоугольных координат.

Координаты точки определяют ее положение в системе плоскостей пространства, т.е. определяют расстояние ее до плоскостей П₁, П₂, П₃ .

Записываются координаты в определенном порядке.

Например, координаты точки А(x; y; z), где

X– расстояние точки до плоскости П₁– на первом месте;

Y– расстояние точки до плоскости П₂– на втором месте;

Z– расстояние точки до плоскости П₃– на третьем месте.

Рисунок 5

Зная координаты точки можно построить ее чертеж и, наоборот, имея чертеж (эпюр) можно определить ее координаты, т.е. расстояние ее до плоскости проекций.

4. Четверти пространства.

Две плоскости делят пространство на 4 части – четверти. (см. рис.6)

Рисунок 6

Точки в различных четвертях пространства.

Рисунок 7

Следует помнить что:

• Горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда расположены на прямой линии связи перпендикулярной оси ОХ.

• Фронтальная и профильная проекции точки всегда расположены на прямой линии связи перпендикулярной оси ОZ.

• Одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве. Построение проекций отрезка прямой линии сводится к построению проекций ее 2_хточек.

5.Различные положения точки в пространстве

На рис.8 представлены различные положения точки в пространстве.

Рисунок 8

Если имеется 3 измерения точки, то такая точка называется точкой общего положения и в этом случае все 3 проекции точки удалены от осей (см. рис.9)

Рисунок 9

Если точка имеет два измерения, то она принадлежит какой-либо плоскости проекций и в этом случае одна проекция совпадает с самой точкой, а две другие лежат на осях (см.рис. 10).

Рисунок 10

Если точка имеет одно измерение, то она принадлежит какой-либо оси проекций, две проекции ее совпадают с самой точкой, а третья проекция находится в начале координат (см.рис.11).

Рисунок 11

6. Определение истинной величины отрезка прямой линии и углов наклона ее к плоскостям проекций.

Рассмотрим чертеж (рис. 12).

Дана плоскость П₁ и прямая АВ.

α- угол наклона АВ к плоскости П₁.

Из точки А проводим прямую А1 параллельно плоскости П₁.

В треугольнике АВ1 –

А1 – параллельна пл. П₁ (катет)

В1 – перпендикулярна плоскости П₁ (2^ой катет)

АВ – гипотенуза.

Рисунок 12 Угол В1А – прямой

Построив истинную величину треугольника АВ1 определим истинную величину гипотенузы АВ и угол α. Для построения треугольника АВ1 необходимо определить величину катетов А1 и В1.

Катет А1=А^IВ^I – как проекция параллельной прямой на плоскости П₁.

Катет В1=ВВ^I-AA^I(ΔΖ) как разность расстояний концов отрезка до плоскости П₁.

Угол наклона прямой к плоскости определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

7. Следы прямой.

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Прямая может иметь один, два и три следа.

Из чертежа (рис.13) видно, что прямая АВ пересекла плоскость П₂в точке N и плоскость П₁в точке М.

N– фронтальный след прямой АВ.

М–горизонтальный след прямой АВ.

М^I – горизонтальная проекция горизонтального следа.

М^II – фронтальная проекция горизонтального следа.

N^I – горизонтальная проекция

фронтального следа.

N^II – фронтальная проекция фронтального следа.

Рисунок 13