6. Точечные оценки параметров.

Выведем приближенные формулы числовых характеристик случайной величины, математического ожидания и дисперсии.

Для математического ожидания случайной величины, для которой были зарегистрированы значения , принято брать значение

(1)

Число называется эмпирическим (выборочным) математическим ожиданием или средним по выборке.

Для дисперсии в качестве приближенного значения принято брать

(2)

Число называется эмпирической (выборочной) дисперсией.

Если приближенное значение естественно, то в равенствеудивляет множительвместо. Это будет ясно из дальнейших рассуждений. Эти приближенные равенства называются точечными оценками параметровирассматриваемой случайной. Наблюдаемые экспериментальные значения случайно величинысами также являются случайными. Эти случайные величины могут принимать те же значения, что ии также распределены. Поэтомуидля. Такой взгляд на получение из эксперимента значения как на случайной величины позволяют сформулировать требования к точечным оценкам. Точечные оценки параметров должны обладать тремя свойствами: несмещенностью, состоятельностью и эффективностью.

1. Несмещенность точечных оценок для математического ожидания и дисперсии означает, что (3)

(4)

2. Самостоятельность точечных оценок для математического ожидания и дисперсии означает, что для любого положительного выполнены равенства

(5)

(6)

Наглядное представление о состоятельности оценок для математического ожидания и дисперсии состоит в том, что формулы (1) и (2) позволяет подсчитать ис любой точностью и надежностью.

3.Эффективность точечных оценок для иозначает, чтоиминимальны.Это означает, что для любой другой точечной оценкиматематического ожидания и- дисперсии выполняется равенство:.

Пример.Контрольные обмеры диаметров болтов дали следующие результаты: 2,31; 2,28; 2,29; 2,28; 2,32; 2,28; 2,32; 2,29; 2,31; 2,32.

Найти точечные оценки для диаметра болта и его дисперсии в контролируемом процессе производства.

.

7. Доверительные интервалы.

1. Общее понятие

Точечные оценки параметров распределения являются первоначальными ориентировочными результатами обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой степенью точности они дают оцениваемый параметр. Если для большого числа наблюдений обычно бывает достаточной для практических выводов (в силу несмещенность, состоятельности, эффективности), то для выборок с малым объемом вопрос о точности оценок очень существенен.

Поставленная задача в математической статистике решаются так. Пусть - неизвестный параметр распределения. По сделанной выборке находят числаитак, чтобы выполнялось равенство:.

Числа иназываются доверительными границами, а интервалдоверительным интервалом для параметров. Числоназывается надежностью сделанной оценки.

За обычно принимается 0,95; 0,99; 0,999. Тогда практически достоверно, что. Поэтому числобудет давать нам значениес точностьюи практически достоверно.

Замечание. Числа инайдены по выборке, следовательно, сами – случайные величины. То есть интервалтоже случаен. Он может покрывать или не покрывать параметр. Именно в таком смысле понимают случайное событие, состоящее в том, что доверительный интервал покрывает число.

В силу центральной предельной теоремы наиболее часто встречаются нормально распределенные случайные величины. Поэтому будем находить доверительные интервалы для параметров нормального распределения – математического ожидания и дисперсии .