Замечание. Из

d n y y(n) (dx)n y(n)dxn

y(n)		d n y		d n y	.
		(dx)n		dxn

Параметрическое задание функции и её дифференцирование

Пусть заданы две функции
x = (t), y= (t)	(1)
одной независимой переменной t,

определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если x = (t) строго монотонна, то обратная функция t = F(x) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от

переменной х посредством переменной t, называемый параметром:

y= [F(x)].

Вэтом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью

уравнений (1). Предположим, что функции

(1) имеют производные, причем '(t) 0 на некотором промежутке. По теореме о производной обратной функции функция

F(x) имеет производную:		( x )		1	,
F				( t )

а по теореме о производной сложной функции функция y = [F(x)] имеет производную:

y '(x) = '[F(x)] F '(x).

y

( x

)

(

t

)

.

(

t

)

Найдём вторую производную:

y''(x) = (y'(x))'x =

)

( t

)

( t )

( t )

( t )

( t

( t )

[

( t

)]

2

( t

)

( t

)

x )

( t

)

( t )

( t ) .

y (

( t )

[

(

t )]

3

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке хо этого интервала имеет

наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке хо существует

производная, то она равна нулю, т.е. f '(xo)=0.

	Геометриче		ский	смысл
у	теоремы	Ферма

0

a

х

0

b

х

Геометрический смысл теоремы Ферма:

в точке (хо; f(xo)) касательная к графику функции f(x) || оси Ох.

Замечание

Теорема неверна, если функцию f(x) рассматривать на отрезке [a, b].

Например, функция f(x) = x на отрезке [0, 1] в точке х=0 принимает наименьшее, а

вточке х=1 - наибольшее значение, однако

вобеих точках производная в ноль не обращается ( f '(x) = x' = 1).

Теорема Ролля. Пусть на [a, b] определена функция f(x), причём: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) дифференцируема на (a, b);

3) f(a) = f(b). Тогда существует точка с (a, b), в которой f '(с)=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

у

касательн

.

f

( a

)

f

( b

)

0	а	с	b	x