Теорема Лагранжа. Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) дифференцируема на (a, b). Тогда существует точка с (a, b) такая, что справедлива формула

f

(

b

)

f

(

a

)

f

(

c

).

b

a

Геометрический смысл теоремы.

	f ( b )			f ( a )
Величина					является
	b		a

угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M1(a; f(a)) и M2(b; f(b)) графика функции y=f(x). f '(с) - угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (с; f(с)). Из теоремы Лагранжа следует, что с такая, что касательная к графику в точке (с; f(с)) || секущей М1М2.

	y
f	(	b	)			М	2
f	(	c	)
f	(	a	)
			М		1
			0	а	с	b	x

Замечание.

Равенство

f(b) - f(a) = f '(с)(b - a), a<c<b, называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.