Методы оценки количества информации.

Как и для характеристик вещества, так и для характеристик информации имеются единицы измерения, что позволяет некоторой порции информации приписывать числа — количественные характеристики информации.

На сегодняшний день наиболее известны следующие способы измерения информации:

1. объемный,

2. энтропийный,

3. алгоритмический.

Объемный является самым простым и грубым способом измерения информации. Соответствующую количественную оценку информации естественно назвать объемом информации.

Объем информации в сообщении—- это количество символов ( разрядов) в сообщении.

Поскольку, например, одно и то же число может быть записано многими разными способами (с использованием разных алфавитов):

«двадцать один»

21

11001₂

XXI,

то этот способ соотносится с формой представления (записи) сообщения.

В различных системах счисления один разряд имеет различный вес и соответственно меняется единица измерения данных:

В двоичной системе счисления единица измерения - бит (знаки 0 и 1 ) Отметим, что создатели компьюте­ров отдают предпочтение именно двоичной системе счисления потому, что в техническом устройстве наиболее просто реализовать два противоположных физических состояния: некоторый физический элемент, имеющий два различных состояния: намагниченность в двух противоположных направлениях; прибор, пропускающий или нет электрический ток; конденсатор, заряженный или незаря­женный и т.п. В компьютере бит является наименьшей возможной единицей инфор­мации. Объем информации, записанной двоичными знаками в памяти компьютера или на внешнем носителе информации подсчитывается просто по количеству требуемых для такой записи двоичных символов. При этом, в частности, невозмож­но нецелое число битов (в отличие от вероятностного подхода).

Для удобства использования введены и более крупные, чем бит, единицы коли­чества информации: 1 байт = 8 битов

1Кбайт= 1024 байта

1024 килобайта - мегабайт (Мбайт)

1024 мегабайта - гигабайт (Гбайт).

В десятичной системе счисления единица измерения - дит (десятичный разряд)

Пример: Сообщение в двоичной системе 101111011₂=8 бит=1 байт

Сообщение в десятичной системе 275903 = 6 дит

Энтропийный подход к измерению информации принят в теории информации и кодирования. Этот способ измерения исходит из следующей модели. Получатель информации (сообщения) имеет определенные представления о возможных наступлениях некоторых событий. Эти представления в общем случае недостоверны и выражаются вероятностями, с которыми он ожидает то или иное событие. Общая мера неопределенности (энтропия) характеризуется некоторой математической зависимостью от совокупности этих вероятностей.

К.Шенноном было введено понятие энтропии - количественной меры информации, как меры неопределенности состояния объекта или некоторой ситуации с конечным числом исходов. В статистической теории основное внимание обращается на распределение вероятности появления отдельных событий и построение на его основе обобщенных характеристик, позволяющих оценить количество информации в одном событии либо в их совокупности.

Чтобы возник процесс передачи, должны иметь место источник информации и потребитель. Источник выдает сообщение, потребитель, принимая сообщение, получает при этом информацию о состоянии источника. В статической теории не изучается содержание информации. Предполагается, что до получения информации имела место некоторая неопределённость. С получением информации эта неопределенность снимается.

Таким образом, статистическая количественная мера информации – это мера снимаемой в процессе получения информации неопределенности системы. Количество информации зависит от закона распределения состояния системы.

Семантический подход базируется на ценности информации. Термин "семантика" исторически применялся в металогике и семиотике. В металогике под семантикой понимается совокупность правил соответствия между формальными выражениями и их интерпретацией (истолкованием). Под семиотикой понимают комплекс научных теорий, изучающих свойства знаковых систем, т.е. систем конкретных или абстрактных объектов, с каждым из которых сопоставлено некоторое значение. Примерами знаковых систем являются естественные языки и искусственные языки: алгоритмические языки, языки программирования, информационные языки и др. Обобщенно термин "знаковые языки" подразумевает любые устройства, рассматриваемые как "черные ящики". В информатике языки различного уровня занимают все большее место.

Семантическая теория оценивает содержательный аспект информации, семантический подход базируется на анализе её ценности. Ценность информации связывают со временем, поскольку с течением времени она стареет и ценность её, а следовательно и "количество" уменьшается.

Семантическийподход имеет особое значение при использовании информации для управления, т.к. количество информации тесно связано с эффективностью управления в системе.

Структурный подход рассматривает построение информационных массивов, что имеет особое значение при хранении информации. Универсальным средством как оперативного, так и долговременного хранения различной информации стали ЭВМ. Оценка количества информации с позиций структурного подхода оказывается исключительно плодотворной, так как за единицы информации принимаются некоторые "ранговые" структурные единицы: реквизиты – логически неделимые элементы документации, описывающие определенные свойства объекта (реквизиты – основания, определяющие числовые данные: вес, количество, стоимость, номер, год, реквизиты – признаки: фамилия, цвет, марка), записи, информационные массивы, комплексы информационных массивов, информационная база, банк данных.

Структурныйподход к оценке количества информации в настоящее время приобретает все большее значение, поскольку необходимо оценивать все возрастающее количество хранимой информации.

Таким образом, статистическая количественная характеристика информации – это мера снимаемой в процессе получения информации неопределенности системы. Количество информации зависит от закона распределения состояний системы.

В зависимости от вида перерабатываемой информации (вида сообщений) вычислительные машины и устройства делят на два основных класса: аналоговые (непрерывного действия) и цифровые (дискретные).

Аналоговые вычислительные машины (АВМ) оперируют с информацией, представленной в виде непрерывных изменений некоторых физических величин (ток, напряжение, угол поворота, скорость движения тела и т.п.). Используя тот факт, что многие явления в природе, обществе, технике математически описываются одними и теми же уравнениями, АВМ обычно предназначаются для решения определенного класса задач.

Объектом передачи и преобразования в цифровых вычислительных машинах (ЭВМ) являются дискретные сообщения, как уже отмечалось выше, формируемые из различных последовательностей элементов. Элементы (цифры, буквы, математические знаки, цвета сигнальных ламп и др.), из которых состоят дискретные сообщения, называются символами. Фиксируемый конечный набор символов составляет алфавит, а число символов в алфавите – объем алфавита.

Заложенные еще К. Шенноном принципы количественной оценки информации на основе функции энтропии, сохраняют свою значимость до настоящего времени и являются полезными при определении информативности символов и сообщений.

Количество информации в сообщении определяется тем, насколько уменьшится эта мера после получения сообщения.

Пример. Человек бросает монету и наблюдает, какой стороной она упадет. Обе стороны монеты равноправны, поэтому одинаково вероятно, что выпадет одна или другая сторона. Такой ситуации приписывается начальная неопределенность, характеризуемая двумя возможностями. После того, как монета упадет, достигается полная ясность и неопределенность исчезает.

В теории информации получила использование количественная оценка, а именно — логарифм от описанной выше оценки по основанию 2:

, (6)

где т—число возможных равновероятных выборов ( m=2, H=1).

Пример: Полученная оценка имеет интересную интерпретацию. Она характеризует число двоичных вопросов, ответы на которые позволяют выбрать либо «да», либо «нет». Для выбора дамы пик такими вопросами будут:

1. Карта красной масти? Ответ «нет» 0.

2. Трефы? Ответ «нет» 0.

3. Одна из четырех старших? Ответ «да» 1.

4. Одна из двух старших? Ответ «нет» 0.

5. Дама? Ответ «да» 1.

Этот выбор можно описать последовательностью из пяти двоичных символов 00101 (0—нет, 1 —да).

Выводы:

1. Между вероятностным и объемным количеством информации соотношение не­однозначное. Далеко не всякий текст, записанный двоичными символами, допуска­ет измерение объема информации в кибернетическом смысле, но заведомо допуска­ет его в объемном.

2. Если некоторое сообщение допускает измеримость коли­чества информации в обоих смыслах, то они не обязательно совпадают, при этом кибернетическое количество информации не может быть больше объемного.

В алгоритмической теорииинформации предлагается алгоритмический метод оценки информации сообщении. Этот метод кратко можно охарактеризовать следующими рассуждениями.

Каждый согласится, что слово 0101...01 сложнее слова 00..0 , где 0 и 1 выбираются из эксперимента — бросания монет (где 0 — герб, 1 — решка).

Компьютерная программа, производящая слово из одних нулей крайне проста: печатать один и тот же символ. Для получения 0101...01 нужна чуть более сложная программа, печатающая символ, противоположный только что напечатанному.

Любому сообщению можно приписать количественную характеристику, отражающую сложность (размер) программы, которая позволяет её произвести.

Так как имеется много разных вычислительных машин и разных языков программирования , то для определённости используется некоторая вычислительная машина – например машина Тьюринга, а предполагаемая количественная характеристика - это число состояний машины Тьюринга , требующихся для воспроизведения некоторого сигнала (сообщения).

Инфopмaция может находиться в статичном или динамичном состояниях.

• Статичное со­стояние информации связано с ее более или менее длительным орга­низованным хранением, накоплением в информационных фондах и базах данных (БД). Под базой данных понимается вся необходимая для решения задач конкретной области совокупность данных, орга­низованная по определенным правилам, позволяющим обеспечить независимость данных от прикладных программ, удобство хранения, поиска, манипулирования данными, которые записаны на машинных носителях

• Динамичное состояние постоянное движение в виде потоков — при­суще информации, реализующей в человеко-машинных, автоматизиро­ванных системах функцию обмена сведениями с помощью знаковых

Различают следующие режимы взаимодействия пользователя с ЭВМ:

• Пакетный режимбыл наиболее распространен в практике цен­трализованного решения экономических задач, когда большой удель­ный вес занимали задачи отчетности о производственно-хозяйствен­ной деятельности экономических объектов разного уровня управ ления. В настоящее время пакетный режим реализуется применительно к электронной почте.

• Интерактивный режим предусматривает непосредственное взаимодействие пользователя с информационно-вычислительной сис­темой, может носить характер запроса, (как правило, регламентиро­ванного) или диалога с ЭВМ.

• Запросный режимнеобходим пользо­вателям для взаимодействия с системой через значительное число абонентских терминальных устройств, в том числе удаленных на зна­чительное расстояние от центра обработки. Такая необходимость обусловлена решением оперативных задач справочно-информационного характера, какими являются, например, задачи резервиро­вания билетов на транспорте, номеров в гостиничных комплексах, выдача справочных сведений и т.п.

• Диалоговый режимоткрывает пользователю возможность непо­средственно взаимодействовать с вычислительной системой в допус­тимом для него темпе работы, реализуя повторяющийся цикл выдачи задания, получения и анализа ответа. При этом ЭВМ сама может инициировать диалог, сообщая пользователю последовательность шагов (представление меню) для получения искомого результата.

Лекция 5. Экономическая информация: особенности, виды, структура

Каждая область человеческой деятельности связана со "сво­ей" информацией. Экономическая наука, экономическая деятель­ность общества оперируют информацией, которая называется эко­номической. Как категория экономическая информация, с одной стороны, соответствует общему понятию "информация", с дру­гой - неразрывно связана с экономикой и управлением народным хозяйством. Поэтому на экономическую информацию распрост­раняются различные толкования и свойства: присущие информа­ции вообще и в то же время отражающие ее характерные особен­ности и отличия, вытекающие из ее природы. Таким образом, эко­номическая информация представляет собой лишь одну из разновидностей информации, хотя и достаточно важную.

В общем случае под термином "экономическая информация" понимается информация, отражающая и обслуживающая процес­сы производства, распределения, обмена и потребления материальных благ. Более строго: экономическая информация - это объективизированное воплощение — с помощью знаков и сигналов — знаний о материальных, трудовых и стоимостных аспектах воспроизводи­мых в экономике процессов, устраняющих неопределенность в от­ношении исходов этих процессов.

Экономическая информация служит инструментом управле­ния и одновременно принадлежит к его элементам. Ее необходи­мо рассматривать как одну из разновидностей управленческой ин­формации, которая обеспечивает решение задач организацион­но-экономического управления народным хозяйством. Экономи­ческая информация представляет собой совокупность сведений (данных), отражающих состояние и определяющих направление развития народного хозяйства и его отдельных звеньев. В инфор­мационных процессах, осуществляемых в управлении, информа­ция играет роль предмета труда (исходная, "сырая" инфор­мация) и продукта труда (результатная, «обработанная» ин­формация). Говоря о понятии "экономическая информация" с кибернетических позиций, информационный процесс управления можно охарактеризовать как превращение сведений (исходных данных) в экономическую информацию, необходимую для при­нятия решений, направленных на обеспечение заданного состоя­ния народного хозяйства и его оптимального развития.

Экономическая информация неотделима от информационно­го процесса управления, осуществляемого в производственной и непроизводственной сферах, она используется во всех отраслях народного хозяйства и во всех органах общегосударственного управления.

Экономическая информация насчитывает много разновидно­стей (типов), которые выделяются на основе соответствующих классификационных критериев, например:

• по принадлежности к сфере материального производства и непроизводственной сфере, а внутри - по отраслям и подотраслям народного хозяйства в соответствии с принятой их группировкой;

• по стадиям воспроизводства и элементам производственного процесса. В силу этого выделяется информация, отражающая снаб­жение, производство, распределение и потребление, а также ма­териальные, трудовые и финансовые ресурсы;

• по временным стадиям управления. С этих позиций выделя­ются: прогнозная информация, плановая, учетная, информация для анализа хозяйственной деятельности, оперативного управле­ния, составления отчетности;

• по критериям соответствия отражаемым явлениям эконо­мическая информация делится на достоверную и недостоверную;

• по полноте отражения событий экономическая информация подразделяется на достаточную (полную), недостаточную и из­быточную. Для решения задач экономического управления не­обходима вполне конкретная по содержательности минимальная информация, т.е. достаточная. Избыточная информация содержит излишние данные, которые либо вообще не используются для ре­шения задач (составляют «информационный шум» с его разновид­ностью для компьютерных сетей - «электронным мусором», или «спэмом» (spam - анг.), либо выполняют контрольно-дублирую­щие функции;

• по стадии возникновения бывает исходная (первичная) и про­изводная (вторичная) информация. Исходная информация возникает в результате действия источников информации (министерства, ве­домства, предприятия и других организаций и подразделений), и по этим источникам исходная информация делится на планово-ди­рективную и учетно-отчетную. Планово-директивная информация перемещается ("спускается") вниз по уровням иерархии управле­ния, при этом она разукрупняется, детализируется, "расширяется". Учетно-отчетная информация, наоборот, перемещается вверх по уровням иерархии управления, причем по мере своего продвиже­ния эта информация укрупняется, агрегируется, "сжимается". Про­изводная информация возникает в результате обработки исходной и другой вторичной - либо только исходной, либо только вторич­ной. Среди производной информации различают промежуточную и окончательную (результатную) информацию;

• по стабильности во времени экономическая информация де­лится на постоянную (условно-постоянную) и переменную. При этом важно отметить, что период стабильности носит конкрет­ный характер для определенных задач управления. Как правило, он составляет один год, а для оценки уровня стабильности ин­формации используется коэффициент стабильности , рассчи­тываемый по формуле

, (7) -общее число информационных совокупностей;

- число информационных совокупностей, изменивших свои значения за рассматриваемый период (год).

Если > = 0,85, то информационную совокупность принято считать условно-постоянной, и в условиях автоматизированной обработки информации ее следует организовывать и хранить в виде самостоятельных массивов нормативно-справочной инфор­мации (НСИ) или файлов баз данных;

• по технологии решения экономических задач в системах уп­равления различают входную, промежуточную и выходную инфор­мацию.

Экономической информации свойственны некоторые особен­ности, вытекающие из ее сущности. Принципиальное значение для создания систем обработки экономической информации и фор­мирования информационных технологий имеют следующие ее свойства:

• преобладание алфавитно-цифровых знаков;

• необходимость оформления результатов обработки данных в форме, удобной для восприятия человеком;

• широкое распространение документов как носителей исход­ных данных и результатов их обработки;

• значительный объем переменных и постоянных (условно-по­стоянных) данных;

• дискретность, объясняющаяся тем, что экономическая ин­формация характеризует состояние объекта или процесса либо на определенный момент времени, либо за определенный интервал времени;

• организованность, вытекающая из того, что экономическая информация отражает результат интеллектуальной деятельности человека;

• неоднородность - в силу основного назначения информации: различать элементы и свойства отражаемых процессов;

• рассредоточенность источников и принципиальная невоз­можность концентрации и централизации процессов сбора дан­ных;

• сохраняемость (неиссякаемость) при ее использовании (по­треблении);

• возможность многократного использования одних и тех же данных, в том числе и одновременно разными потребителями;

• возможность сохранения переработанной информации у от­правителя;

• возможность длительного хранения с воспроизведением и обновлением;

• способность к преобразованию, агрегированию по опреде­ленным признакам, детализации (разукрупнению) и сжатию (ук­рупнению);

• определенная самостоятельность данных по отношению к своему носителю.

В условиях выполнения функций управления теми или иными объектами экономическая информация должна отвечать опреде­ленным требованиям. Наиболее существенные из них:

• быть достоверной, правдивой;

• быть своевременной, так как запоздалое поступление нуж­ной информации часто оказывается бесполезным;

• быть документальной: юридически подтвержденной в доку­ментах соответствующими подписями (визами) соответствующих должностных лиц;

• быть актуальной, нужной для подразделения и лиц, прини­мающих решения.

Важной характеристикой экономической информации явля­ется ее структура. Структура информации играет ту же роль, что и синтаксис любого языка. Говоря о структуре информации, различают два взаимосвязанных между собой аспекта:

• состав элементов, образующих структуру информации;

• взаимосвязь между элементами этой структуры.

Рассматривая с этих позиций структуру информации, выделяют простые и составные (сложные) единицы информации.

Составной единицей информации (СЕИ) называют единицу информации, состоящую из совокупности других единиц инфор­мации, ассоциативно связанных между собой, т.е. связанных по смыслу.

Единицу информации, входящую в СЕИ, называют составляющей единицей информации.

Простой, элементарной составляющей единицей экономичес­кой информации является реквизит. Реквизитам присущи два свойства, важных с точки зрения их обработки:

• отдельно взятый реквизит не может полностью характери­зовать экономический процесс или объект;

• отдельный реквизит может входить в состав различных эко­номических показателей.

Каждый реквизит характеризуется именем (наименованием), типом и значением.

В зависимости от характера отображаемого ими свойства рек­визиты делятся на реквизиты-признаки и реквизиты-основания.

Реквизиты-признаки отражают качественные свойства эконо­мического объекта, процесса или явления. Они могут быть выра­жены в алфавитном, цифровом или алфавитно-цифровом виде. Реквизиты-признаки служат для логической обработки составных единиц, т.е. для поиска, сортировки, группировки, выборки и т.д.

Реквизиты-основания характеризуют количественную сторо­ну процесса или объекта. Они чаще всего выражаются в цифро­вой форме. Над ними могут выполняться логические и арифмети­ческие операции.

Реквизиты можно расчленить и дальше - на символы и биты, но при этом теряется смысловое содержание реквизитов. Для ис­черпывающей характеристики экономического процесса, объек­та или явления необходима определенная совокупность реквизи­тов, описывающих качественные и количественные свойства ото­бражаемого объекта.

Совокупность реквизитов-признаков и реквизитов-оснований представляет собой сообщение об объекте. Каждое сообщение имеет определенную форму.

Основной структурной единицей, состоящей из определенной совокупности реквизитов, характеризующей какой-либо конкрет­ный объект, факт, процесс и т.п. с количественной и качественной стороны, является экономический показатель.

Существуют два определения этого понятия. В соответствии с первым, принятым в практике учета, статистики, планирования и т.п., под показателем понимается качественно определенная пере­менная величина, которой может быть поставлено в соответствие множество возможных количественных значений, а также алго­ритмы их вычисления по различным исходным данным.

Второе, принятое в теории и практике автоматизированной обработки данных, определяет показатель как высказывание, со­держащее количественную характеристику какого-либо свойства отображаемого объекта. Такое высказывание содержит единствен­ное количественное значение и определенный набор качествен­ных признаков, необходимых для его однозначной идентифи­кации.

Оба определения не противоречат друг другу, просто в пер­вом акцентируется внимание на то, как получен тот или иной по­казатель, а во втором - какие атрибуты показателя отражают его конкретное смысловое содержание.

Таким образом, экономический показатель как составная еди­ница информации включает один реквизит-основание и группу взаимосвязанных с ним и между собой по смыслу реквизитов-при­знаков. Показатель имеет название (наименование), раскрываю­щее его основной экономический смысл (что соответствует пер­вому определению понятия «показатель», так как позволяет со­поставить ему экономико-математическую модель расчета). Обычно в состав наименования показателя входят термины, обо­значающие измеряемый объект, т.е. что происходит с объектом (определяются наличие, мощность, выпуск, затраты, себестои­мость, потери, прибыль и т.п.), формальная характеристика, т.е. как он считается (сумма, объем, прирост, процент, разность, сред­няя и т.п.). Кроме того, показатель содержит дополнительные при­знаки, которые не выражают его основной экономический смысл, но уточняют конкретное количественное значение показателя. Со­став дополнительных признаков определяется в каждом конкрет­ном случае по-разному, но обычно к ним всегда относятся терми­ны, обозначающие время, к которому относится данный показа­тель (момент или период), единицу измерения (кг, т, шт., руб. и т.п.), вид данных по функциям управления (плановый, фактический, нормативный и т.п.), а также термины, указывающие на то, кто производит действие над измеряемым объектом, где он находит­ся, перемещается.

Дополнительные признаки позволяют конкретизировать эко­номико-математическую модель расчета показателя, характери­зуя его особенность для каждого конкретного случая.

Анализ структуры показателей имеет большое значение для их идентификации и классификации при организации хранения, поиска и интегрированной обработки данных, так как каждый структурный элемент показателя может рассматриваться как при­знак классификации множества показателей. Например, по при­знаку формальной характеристики различают абсолютные и от­носительные показатели, по признаку процесса различают показа­тели, характеризующие состояние и изменение измеряемого объекта, в числе последних можно выделить показатели, характеризующие процессы производства, распределения, обращения, потребления и т.п. По признаку объекта различаются показатели: населения и трудовых ресурсов, природных ресурсов, продукции, основных фондов, финансов и т.п.

Как минимальная смысловая единица экономической инфор­мации, характеризующая какой-либо объект, экономические по­казатели делятся на первичные и вторичные (производные, рас­четные).

Первичные показатели отражают результаты производствен­но-хозяйственной деятельности объекта управления, определяе­мые путем измерения, подсчета, взвешивания и т.п. (например, ко­личество готовой продукции, количество отработанного време­ни, количество бракованных изделий и т.п.). Они служат исходными данными для формирования различного рода вторич­ных показателей (например, стоимость готовой продукции, зара­ботная плата, потери от брака и т.п.).

Экономический показатель - основная единица экономичес­кой информации, так как он имеет экономический смысл, исклю­чение хотя бы одной его составляющей неизбежно влечет потерю смысла. Вместе с тем в целях организации обработки информа­ции и реализации функций управления показатели могут образо­вывать более сложные составные структурные единицы инфор­мации: документы, массивы, информационные потоки, информа­ционную базу.

Экономический документ представляет собой определенным образом организованную совокупность взаимосвязанных по смыс­лу экономических показателей. Экономический документ являет­ся основной и наиболее удобной формой представления инфор­мации с точки зрения управления, так как наряду с наглядностью представления информации, необходимой для решения задачи или являющейся результатом решения задачи, он содержит атрибу­ты, придающие ему юридический статус.

Наиболее распространенной формой представления экономи­ческих документов является табличная форма, которая в самом общем виде обычно включает общую, предметную и оформитель­скую части (смотри рис. 2).

Форма №120 Приемный акт №__________ Принято на склад № ________________ От поставщика ________________ По документам ________________ Дубликат № Вагон №											Общая часть
Номен­клатурный номер	Наименование предмета	Род единиц	По документам значилось			Фактически принято			Недо­стача	Излиш­ки	Пред­мет­ная часть
			размер	сорт	коли­чество, брутто нетто	процент годно­сти	раз­мер	коли­чество, брутто нетто
											Офор­митель­ская часть
Материалы принял: Сдал: Присутствовали:

Рисунок 2- Пример построения экономического документа табличной формы.

Общая часть содержит название документа и перечень общих по составу и значению реквизитов для всех показателей, представ­ленных в документе. Наличие общей части документа позволяет избежать дублирования информации при характеристике всех показателей, входящих в состав многострочного документа.

Предметная часть включает реквизиты, характеризующие особенности экономических показателей многострочного доку­мента.

Оформительская часть содержит атрибуты, как правило, не­посредственно не участвующие в процессах обработки информа­ции, однако они придают документу юридическую силу, так как включают подписи лиц, участвовавших в подготовке документа. Помимо табличной формы представления документов в прак­тике организационно-экономического управления могут исполь­зоваться также документы упрощенной табличной формы, в ко­торых наименования реквизитов приводятся не в шапке докумен­та, а в боковике, рядом с которым проставляются конкретные значения соответствующих реквизитов.

Наконец, экономические документы могут содержать как шап­ку, так и боковик. Документы такой формы широко используются при подготовке различной отчетности (статистической, финансо­вой, бухгалтерской, налоговой и т.п.). В качестве носителя инфор­мации для отображения содержимого документов наиболее рас­пространенными являются: бумажные, электронные (экранные) и магнитные носители.

Следует отметить, что в последнее время особое внимание уде­ляется электронным способам отображения содержимого доку­ментов, что позволяет значительно повысить эффективность сис­тем управления благодаря использованию качественно новых подходов к реализации информационных процессов.

При этом в самом общем виде электронные документы могут быть представлены либо как электронные копии (являющиеся факсимильным отображением информации реальных бумажных документов), либо как электронные формы (являющиеся компь­ютерной основой для решения задач управления, а в случае необ­ходимости - основой для получения соответствующих бумажных аналогов - «твердых копий»).

Представление документа в виде электронной (факсимильной) копии или электронной формы следует отличать от становящего­ся в последнее время все более популярным и актуальным поня­тия «электронный документ».

Электронный документ- сведения, представленные в форме, воспринимаемой электронными средствами обработки, хранения и передачи информации, которые имеют необходимые атрибуты для их однозначной идентификации и которые могут быть преоб­разованы в форму, пригодную для восприятия человеком.

Одним из наиболее важных и неотъемлемых атрибутов элект­ронного документа (в отличие от электронной копии или элект­ронной формы) является электронная цифровая подпись (или просто электронная подпись). Цель электронной цифровой под­писи - удостоверение подлинности сведений, отображенных на материальных носителях информации или передаваемых средства­ми связи, и установление ее принадлежности к конкретному лицу. "Электронная цифровая подпись представляет собой опреде­ленную последовательность символов, имеющую неизменяемое соотношение с каждым символом определенного объема сведений электронного документа и предназначенную для подтверждения целостности и неизменности этого объема сведений, а также тож­дественности его содержания волеизъявлению заверившего его лица.

Выработка электронной подписи осуществляется сертифици­рованными средствами электронной подписи, обеспечивающими такое ее формирование, при котором любое изменение в заверен­ном электронной цифровой подписью документе нарушает его целостность и приводит к необходимости выработки новой элек­тронной подписи.

В целях упрощения организации процессов обработки, пере­дачи и хранения информации, содержащейся в документах, она может объединяться в виде информационных массивов (файлов -для машинных носителей).

Информационный массив с позиции логической структуры представляет собой набор данных (документов) одной формы (од­ного названия) со всеми их значениями либо сочетание таких на­боров данных, относящихся к одной задаче. Во втором случае массив называется укрупненным. Сущность массива выражается через логический смысл и естественную целостность его структу­ры. Массивы могут объединяться в более крупные структурные единицы. Самой крупной является информационная база, а самой простой формой объединения - информационный поток.

Информационный поток - это совокупность информационных массивов, в том числе документов, относительно конкретной уп­равленческой деятельности, имеющая динамический характер.

Информационная база - вся совокупность информации реаль­ного экономического объекта.

Рассмотренные структурные единицы экономической инфор­мации отражают их логическое построение без учета особеннос­тей представления данных на технических носителях. При орга­низации автоматизированной обработки экономической инфор­мации понятие структуры данных связывается с представлением их на различных носителях, и таким образом соответствующие структурные единицы выделяются в зависимости от особеннос­тей того или иного носителя и способов фиксации данных на нем. Это составляет основу физического подхода к рассмотрению струк­тур информации.

При размещении информации на бланках документов можно выделить следующие структурные единицы: позицию, запись (документо-строка), строку, графу, зону документа, документ, пачку документов. Для электронной формы представления документа выделяются те же структурные единицы, только вместо понятия "пачки документов" используется понятие: "лист" или "страница".

Для магнитных лент выделяются: бит, байт, запись, дорожка, зона, том.

Для магнитных дисков выделяются: бит, байт, блок, сектор, дорожка, цилиндр, том, пакет.

Массив представляет, с одной стороны, физическую единицу обработки информации, с другой - отражает содержательный ас­пект информации, используемой в управлении. Последнее позво­ляет классифицировать информационные массивы следующим образом:

• постоянные (условно-постоянные) и переменные;

• основные и вспомогательные;

• входные, промежуточные (внутренние), выходные (резуль­татные);

• текущие (рабочие) и служебные.

Постоянные массивы, как правило, содержат нормативно-спра­вочную информацию (НСИ) длительного хранения и многократ­ного использования; переменные массивы - исходную и промежу­точную информацию, отражающую текущее состояние объекта управления.

Основные массивы предназначаются для хранения информации в процессе обработки данных и решения задач управления; вспо­могательные массивы являются производными от основных мас­сивов путем логической обработки последних в целях обеспече­ния более рационального процесса решения задачи.

Промежуточные массивы носят служебный характер и отли­чаются от других тем, что содержат результаты предыдущих рас­четов, полученных при решении задач и используемых в качестве исходных данных при решении последующих задач.

Входные и выходные массивы определяют характер их отноше­ния к рассматриваемым информационным процессам обработки данных, что имеет принципиально важное значение при оценке объемно-временных характеристик различных вариантов инфор­мационных технологий.

Текущие (рабочие) массивы содержат информацию о состоя­нии управляемого объекта или процесса на данный момент вре­мени. Они могут формироваться на основе нескольких входных массивов.

Служебные массивы (различного рода справочники, катало­ги, нормативные документы и т.д.) хранят информацию, непос­редственно не связанную с объектом управления, но необходи­мую для реализации процессов решения задач управления.

Данные, включаемые в информационные массивы, делятся на неоднородные и однородные. Однородные массивы содержат од­ноименные записи одинаковой структуры, неоднородные - разно­типные записи с различной структурой.

Совокупности массивов составляют структурные единицы более высоких рангов: системные наборы, библиотеки массивов.

Особое место в организации процессов обработки данных за­нимают так называемые динамические структуры данных: очере­ди и стеки. В любое время очередь или стек (магазин) содержит упорядоченное множество информационных элементов. Если эле­мент добавляется, то он становится в конец упорядоченного мно­жества.

Доступ к элементам или их исключение из множества возмож­но только в начале упорядоченного множества, определяющего очередь. Элемент, находящийся в очереди первым, является един­ственно доступным, и он должен быть исключен или обработан первым. В стеке - в противоположность очереди - обработка и исключение элементов множества осуществляются в порядке, про­тивоположном порядку записи элементов в стек, т.е. доступным в любой момент времени является элемент, находящийся в конце упорядоченного множества.

Лекция 6. Системы счисления

Системы счисления - это системы, созданные человеком (искусственные системы) . Существуют естественные системы, созданные природой. К естественным системам относятся галактики, солнечная система.

Разновидности искусственных систем.

• Материальные: автомобили, самолёты, дома, города.

• Общественные: различные объединения людей.

• Информационные: национальные языки, компьютерная сеть Internet, системы счисления и т.д.

Каждая искусственная система создаётся с определённой целью. Целью создания системы счисления является выработка наиболее простого способа записи чисел (к примеру, если бы у нас на каждой руке было четыре пальца, то, вероятнее всего, наша система счисления была бы не десятичной, а восьмеричной). Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество.

Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

• простоту оперирования числами;

Для записи чисел применяются и применялись издавна придуманные людьми специальные значки, называемые цифрами. Например, известны римские и арабские цифры.

С помощью римских цифр. Такая форма записи чисел применяется только в специфических случаях, например, в часах, датах, при нумерации. С помощью римских цифр неудобно записывать большие числа и при выполнении вычислений возникают серьезные проблемы.

С помощью арабских цифр (0, ……….9). Такая форма записи сложилась в Индии, а в Европе она стала известной благодаря арабским математикам. Особый вклад в популяризацию современной формы записи чисел сделал арабский математик аль-Хорезми, который сформулировал правила четырех арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) над многозначными числами.

Существует множество систем счислений (двоичные, десятичные, восьмеричные, шестнадцатеричные и т.д.).

Таблица 1- Основания систем счисления.

q	Название	Цифры
2	двоичная	0, 1
3	троичная	0, 1, 2
8	восьмеричная	0,..., 7
16	шестнадцатеричная	0,...,9,A, ..., F

Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.

Если основание системы превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствует знак «A», цифре 11 - знак «B» и т.д.

Способ записи чисел называют нумерацией или системой счисления.

Система счисления - это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Следует различать понятия «вид цифры» и «значение цифры».

Системы счисления в зависимости от способа изображения чисел делятся на позиционные и непозиционные.

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число, называются позиционными.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от местонахождения этой цифры в записи числа, называются непозиционными.

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757, 7 -первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Пример. Позиционная система счисления - арабская десятичная система, в которой основание Р= 10 , для изображения чисел используются 10 цифр .

Рассмотрим три числа: 298, 829, 982.

Эти числа различны, хотя в их записи используются одни и те же цифры. 2,8,9. И в каждом числе цифра несет определенный вес в зависимости от того , где она стоит.

В первом числе 2-это сотни.

Во втором - 2 это десятки.

В третьем - 2 это единицы.

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Пример. Непозиционная система счисления –римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов ( XIV, XXII).

Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.

Базиспозиционной системы счисления - это последовательность чисел, каждое из которых задаёт значение цифры «по месту» или вес каждого разряда.

Пример базисов традиционных систем:

Десятичная: 10, 10,,10,….,

Двоичная:

В более общем виде для позиционных систем счисления базис можно записать в виде последовательных членов геометрической прогрессии:

…

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием системы.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:

• двоичная- {0,1};

• десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,...,9};

• шестнадцатеричная - {0,1,2, ...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10,В-число 11, ...,F-число 15;

• восьмеричная (от слова восьмерик) - {0,1,2,3,1,5, б, 7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 2⁴ и 8 = 2³. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.

Как было сказано ранее, в компьютере в двоичном виде может храниться числовая, текстовая, графическая и звуковая информация.

Все числовые данные хранятся в машине в двоичном виде, т.е. в виде последовательности нулей и единиц, однако формы хранения целых и действительных чисел различны.

Целые числа хранятся в форме с фиксированной запятой, действительные числа хранятся в форме с плавающей запятой.

Отметим, что необходимость различного представления целых и действительных чисел вызвана тем, что скорость выполнения арифметических операций над числами с плавающей запятой существенно ниже скорости выполнения этих же операций над числами с фиксированной запятой. Существует большой класс задач, в которых не используются действительные числа. Например, задачи экономического характера, при решении которых данными служат количество деталей, акций, сотрудников и т.д., работают только с целыми числами.

Для решения математических и физических задач, в которых невозможно обойтись только целыми числами, используется представление в форме с плавающей запятой.

Более того, в современных персональных компьютерах процессоры выполняют операции только над целыми числами в форме с фиксированной запятой.

Десятичная система счисления

Основание данной системы равно 10:

Распишем натуральное число 1578 по следующей схеме:

1 5 7 8

четыре тысячи + пятьсот + семьдесят + восемь

1*1000 + 5*100 + 7*10 + 8

1578 =

В каждом слагаемом присутствует в качестве множителя степень с основанием 10. Число 10 принято за основание используемой человеком системы счисления. Другими словами, обычно для работы с числами мы используем десятичную систему счисления.

Основание данной системы равно 2:

Десятичная система счисления неудобна для использования в электронных машинах. Техническая реализация устройств для операций с десятичными числами является громоздкой и неудобной . В современной вычислительной технике информация кодируется с помощью последовательности сигналов вида : включено или выключено., высокое напряжение или низкое.

Отключено - 0 или низкое напряжение- 0

Включено - 1 или высокое напряжение- 1

Определение. Система счисления с основание Р= 2 , в котором используются всего 2 цифры (0 и 1) , называется двоичная система счисления или бинарная.

Такое кодирование называется двоичным кодирование, а цифры 0 и 1 называются битами.

В ЭВМ каждому символу соответствует последовательность из 8 нулей и единиц, называемая байтом. 1 байт = 8 битов.

Всего существует 256 разных последовательностей из 8 нулей и единиц, это позволяет закодировать 256 различных символов. 2 = 256.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Общение с компьютером на языке двоичных чисел слишком неудобно. Длинные десятичные числа при переводе в двоичную систему записываются в виде длинных записей (сотни и тысячи нулей и единиц), что делает неудобным работу с такими записями. Мало того, что на эту работу уйдет много времени, но гораздо больше придется потратить на поиск и исправление неизбежных ошибок.

Для облегчения работы с двоичными числами стали использовать в качестве вспомогательного средства систему счисления с основанием 16. Для записи шестнадцатеричных чисел необходимо 16 цифр.Первые десять цифр – это арабские цифры, а остальные шесть цифр – это первые буквы латинского алфавита.

Электронной машине удобно работать с числами, записанными с помощью только двух цифр, т.е. в двоичной системе счисления. Но чтобы человек, работающий с десятичной системой, и компьютер, работающий с двоичной, “понимали” друг друга, необходимо уметь переводить десятичную запись в двоичную и наоборот.

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел.

Таблица 2 – Представление чисел в разны хсистемах счисления.

10-я	2-я	8-я	16-я	10-я	2-я	8-я	16-я
0	0	0	0	10	1010	12	A
1	1	1	1	11	1011	13	B
2	10	2	2	12	1100	11	C
3	11	3	3	13	1101	15	D
1	100	1	1	11	1110	16	E
5	101	5	5	15	1111	17	F
6	110	6	6	16	10000	20	10
7	111	7	7	17	10001	21	11
8	1000	10	8	18	10010	22	12
9	1001	11	9	19	10011	23	13

Рассмотрим основные алгоритмы преобразование целых чисел из десятичной системы счисления в другую (отличную от десятичной ).

Алгоритм 1. Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счис­ления в двоичную.

1) делим исходное число а на 2 нацело в десятичной системе и записываем в качестве нового значения деся­тичного числа а целую часть результата от деления;

2) остаток от деления (это будет 0 или 1) приписываем слева к полученным ранее цифрам в двоичной записи числа а (первая полученная цифра соответствует младшему разряду и ее мы просто записываем);

3) выполняем (1) и (2) до тех пор, пока число а не станет равным 0.

Примеры реализации Алгоритма 1.

Пример1. Переведем число из десятичной системы в 2 – ичную систему.

356₁₀ → х {0;1}

356	2
-3	178	2
15	-16	89	2
-14	18	-8	44	2
16	-18	9	-4	22	2
-16	0	- 8	4	-2	11	2
0		1	- 4	2	-10	5	2
			0	- 2	1	- 4	2	2
				0		1	-2	1
							0

Ответ. 356₁₀ = 101100100₂

Пример 2. Переведем число из десятичной системы в 2 – ичную систему.

₁₅₁₁₀ → х {0;1}

151	2
150	75	2
1	74	37	2
	1	36	18	2
		1	18	9	2
			0	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Ответ 151_{10 =} 10010111₂

Алгоритм 2. Аналогичным образом производится перевод чисел из десятичной системы счисления в любую Р-ичную

Примеры перевода чисел из десятичной системы в любую Р-ичную.

356₁₀Х₁₆

356	16
352	22	16
4	16	1
	6

356₁₀=164₁₆

57₁₀→Х₇

57 56	7
	8 7	7
1		1
1

57₁₀=111₇

726₁₀=Х₁₆

725	16
5	45	16
	13	2

726₁₀ =2D5₍₁₆₎

Алгоритм 3. Алгоритм перевода целых чисел из Р-ичной системы счисле­ния в десятичную:

1) каждая цифра числа в Р-ичной системы счисления переводится в число в десятичной системе;

2) полученные числа нумеруются справа налево, начи­ная с нуля (номера соответствуют степеням Р в многочлене;

3) десятичное число, соответствующее каждой Р-ичной цифре, умножается на P^k, где k — номер этого числа, и результаты складываются, причем все эти арифметические действия проводятся в десятичной системе.

Примеры реализации алгоритма.

596	16
592	37	16
4	32	2
	5

Алгоритм 4. Перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

При переводе двоичной записи в шестнадцатеричную пользуются таблицей 2.

Пример 1: Записать число 11101101001110₂ в шестнадцатеричной системе счисления.

Решение: Разобьем справа налево данное двоичное число на группы по четыре цифры, приписав впереди, если нужно, незначащие нули. Затем используя таблицу (2), заменим на соответствующие шестнадцатеричные цифры.

Ответ: 11 1011 0100 1110 = 3B1E₁₆

Пример 2: Записать число 13C9A ₁₆ в двоичной системе счисления.

Решение: Используя таблицу , заменим каждую цифру данного шестнадцатеричного числа соответствующими наборами двоичных цифр.

Ответ: 13C9A₁₆= 0001 0011 1100 1001 1010₂= 1 0011 1100 1001 1010₂

Алгоритм 5. Алгоритм получения дополнительного кода. Перевод отрицательного числа.

Для получения дополнительного k-разрядного кода от­рицательного числа необходимо:

1) модуль числа представить прямым кодом в k двоич­ных разрядах;

2) значения всех бит инвертировать (все нули заменя­ются на единицы, а единицы на нули), таким обра­зом получается k-разрядный обратный код исходно­го числа;

3) к полученному обратному коду, трактуемому как k-разрядное неотрицательное двоичное число, при­бавить единицу.

Пример. Перевести отрицательное число в 2-ую систему исчисления.

97	2
67	48	2
1	48	24	2
	0	24	12	2
		0	12	6	2
			0	6	3	2
				0	2	1
					1

1100001-Прямой код числа

0011110-Обратный код числа

0011110

+1

0011111– Дополнительный код числа

Пример. Найти прямые, обратные и дополнительные коды чисел: -5310.

53	2
4	26	2
13	26	13	2
12	0	12	6		2
1		1	6 0		3	2
					2 1	1

110112– прямой код числа.

001002– обратный код числа.

00100

+

1

(00)1012– дополнительный код числа.

Алгоритм 6. Алгоритм перевода правильной конечной десятичной дроби в Р-ичную систему счисления:

1) умножим исходное число на Р (основание новой сис­темы счисления), целая часть полученного произве­дения является первой цифрой после запятой в иско­мом числе (целая часть может быть как равна нулю, так и быть больше девяти, но она всегда меньше чем Р, это позволяет записать ее в виде ровно одной цифры Р-ичной системы счисления);

2) дробную часть произведения снова умножим на Р, целую часть полученного числа заменяем на цифру в Р-ичной системе и приписываем ее справа к резуль­тату;

3) выполняем пункт (2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю, или не выде­лится период (дробная часть окажется равной уже получавшейся ранее дробной части произведения).

Пример. Перевести дробь в 2-ую систему исчисления и назад.

а)

30	2
30	15	2
0	14	7		2
	1	6		3		2
		1		2		1
				1
0,4692			0
0,9382			1
0,8762			1
0,7522			1
0,5042			1
0,0082			0

11110,011110

б)

576	2
576	288			2
0	288			144	2
	0			144	72	2
				0	72	36	2
					0	36	18	2
						0	18	9	2
							0	8	4	2
								1	4	2	2
									0	2	1
										0
0,3752		0
0,752		1
0,52		1

1001000000,011

Рассмотрим правила двоичной арифметики через нижеприведённые примеры.

	1	1	1	1	0	1
+			0	1	0	1
1	0	0	0	0	1	0

а)

	0	1	0	1	1	0	0	1	1
+				1	1	1	1	1	0
	0	1	1	1	1	0	0	0	1

б)

	0	1	1	1	1	0	0	0	1
-						1	0	1	1
	0	1	1	1	0	0	1	1	0

в)

			1	0	1	1	1
		*			1	1	1
		+	1	0	1	1	1
	+	1	0	1	1	1
	1	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0	1

г)

1	0	1	1	0	1	11
-	1	1				1	1	1	,	1	0	1
	1	0	1
	-	1	1
		1	0	0
		-	1	1
				1	1	0
			-		1	1
					1	1	0
					-	1	1
						1	1

Сложение

Таблица сложения в двоичной системе предельна проста, Так как 1 + 1 = 10, то при сложении столбиком в данном разряде остается 0, а 1 переносится в следующий разряд.

Вычитание

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак.

Умножение

Операция умножения выполняется с использованием умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением содержимого на очередную цифру множителя. Из приведенных примеров видно, что в двоичной сие теме операция умножения сводится к сдвигам множимого и сложению промежуточных результатов.

Деление

Операция деления выполняется по правилам, подобным правилам выполнения деления в десятичной системе счисления. При делении столбиком приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания. Но в двоичной системе промежуточные умножения сводятся к умножению делителя или на 0 или на 1, поэтому наиболее сложной остается лишь операция вычитания, которую надо научиться делать безошибочно.

Итоги по теме: Системы счисления.

• Для того, чтобы знать истинный язык процессора, необходимо знать двоичную систему счисления, которую он использует.

• Из-за того, что запись числа в двоичной системе счисления очень длинна, используется шестнадцатеричная система , которая отличается от двоичной тем, что для записи того же числа в ней надо в 1 раза меньше цифр.

• Шестнадцатеричная система и двоичная , по сути дела, близнецы- братья , и в отличие от десятичной системы перевод чисел из одной в другую производится чрезвычайно просто- с использованием таблицы.

• Шестнадцатеричные числа необходимо рассматривать лишь как удобный для человека вариант “сворачивания ” реально существующих в компьютере двоичных чисел.

Лекция 7. Логические основы информатики

«Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, что­бы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).

Математика является наукой, в которой все утвер­ждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мыш­ления. Изучение законов человеческого мышления яв­ляется предметом логики.

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г. до н.э.)- Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формаль­ной или Аристотелевой логикой. Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристо­телевой логики и потребовало дальнейшего ее развития.

Простейшие закономерности выводов открывались человечеством эмпи­рическим путем в ходе общественного производства (например, простей­шие соотношения арифметики и геометрии). Открытие более сложных законов связано с результатами науки формальной логики. Первое круп­ное обобщение формальной логики принадлежит Аристотелю. В фор­мальной логике с самого начала применялись (в единичных случаях) математические методы, но развитие логики не успевало за применением таких методов по сравнению с другими областями математики. Поэтому формальная логика отстала от потребностей науки (в первую очередь от требований математики); отставание оказалось особенно очевидным в новую эру.

Главными недостатками формальной логики являлись сле­дующие.

1. Она не сумела привести законы выводов к небольшому количеству надежных логических законов; поэтому подтвердила правильность не­которых выводов на основе экспериментов, которые позже были опро­вергнуты примерами, доказывающими обратное.

2. Она была неспособна анализировать значительную часть выводов, применяемых в повседневной и научной жизни; доказать правильность или неправильность таких выводов. (Например, не могла доказать, что из правильности предложения «Каждая трапеция является четырех­угольником» вытекает правильность предложения «Кто рисует трапецию, тот рисует четырехугольник).

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе была высказаны немецким ма­тематиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому ученому Д. Булю (1815-1864). Он создал ал­гебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символи­ческих обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обо­значений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки - математической логики.

Применение математики к логике позволило пред­ставить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, и это, ко­нечно, расширило область логических исследований. К концу XIX столетия актуальное значение для мате­матики приобрели вопросы обоснования ее основных по­нятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию мате­матической логики. В этом отношении показательны работы немецкого математика Г. Фреге (1848-1925) и итальянского математика Д. Пеано (1858-1932), кото­рые применили математическую логику для обоснова­ния арифметики и теории множеств.

Особенности математического мышления объясняют­ся особенностями математических абстракций и много­образием их взаимосвязей. Они отражаются в логичес­кой систематизации математики, в доказательстве ма­тематических теорем. Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматичес­кого метода в построении различных математических те­орий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т. д.

В аксиоматическом построении математической тео­рии предварительно выбирается некоторая система неоп­ределяемых понятий и отношения между ними. Эти по­нятия и отношения называются основными. Далее без доказательства принимаются основные положения рас­сматриваемой теории - аксиомы. Все дальнейшее содер­жание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории бы­ло предпринято Евклидом в построении геометрии.

Изложение этой теории в «Началах» Евклида не без­упречно. Евклид здесь пытается дать определение исход­ных понятий (точки, прямой, плоскости). В доказатель­стве теорем используются нигде явно не сформулирован­ные положения, которые считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая логическая строгость, хотя истинность всех положений теории не вызывает сомнений.

Отметим, что такой подход к аксиоматическому пос­троению теории оставался единственным до XIX века. Большую роль в изменении такого подхода сыграли ра­боты Н. И. Лобачевского (1792-1856).

Лобачевский впервые в явном виде высказал убежде­ние в невозможности доказательства пятого постулата Ев­клида и подкрепил это убеждение созданием новой геомет­рии. Позже немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем фактически была доказана и невозможность доказатель­ства пятого постулата Евклида.

Так возникли и были решены в работах Н. И. Лоба­чевского и Ф. Клейна впервые в истории математики про­блемы невозможности доказательства и непротиворечи­вости в аксиоматической теории.

Непротиворечивость аксиоматической теории явля­ется одним из основных требований, предъявляемых к системе аксиом данной теории. Она означает, что из дан­ной системы аксиом нельзя логическим путем вывести два противоречащих друг другу утверждения.

Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий можно осуществить различными методами. Одним из них является метод моделирования или интерпретаций. Здесь в качестве основных понятий и отношений выбира­ются элементы некоторого множества и отношения между ними, а затем проверяется, будут ли выполняться для выб­ранных понятий и отношений аксиомы данной теории, то есть строится модель для данной теории. Так, аналитичес­кая геометрия является арифметической интерпретацией геометрии Евклида. Ясно, что метод моделирования сво­дит вопрос о непротиворечивости одной теории к проблеме непротиворечивости другой теории.

Большинство интерпретаций для математических теорий (и, в частности, для арифметики) строится на базе теории множеств, в связи с этим важно доказать непротиворечивость теории множеств.

Однако в конце XIX века в теории множеств были обнаружены противоречия (парадоксы теории мно­жеств). Ярким примером такого парадокса является парадокс Б. Рассела. Разобьем все мыслимые множества на два класса. Назовем множество «нормальным», если оно не содержит себя в качестве своего элемента и «не­нормальным» в противном случае. Например, множе­ство всех книг - «нормальное» множество, а множе­ство всех мыслимых вещей - «ненормальное» множе­ство.

Основным (неопределяемым) понятием математичес­кой логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повество­вательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логически­ми значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний.

1) Новгород стоит на Волхове.

2) Париж - столица Англии.

3) Карась не рыба.

4) Число 6 делится на 2 и на 3.

5) Если юноша окончил среднюю школу, то он полу­чает аттестат зрелости.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2) и 3) ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спорт­смены!» не является высказыванием.

Высказывания бывают простыми и сложными. Высказывание, представляющее собой одно утверж­дение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если ..., то ...», «тогда и только тогда», принято называть слож­ными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась — рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элемен­тарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если ., то ...». Ана­логично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических свя­зок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматривают­ся только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истин­ным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, .,., а, Ь, с, ...; истинное значение высказывания - бук­вой и или цифрой 1, а ложное значение - буквой л или цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1, а если а ложно, то а = 0.