1. Билет №1

2. Классическое определение вероятности

3. Введем ряд простых определений.

Испытание – это ситуация с более чем одним возможным исходом.

Исход – это результат наблюдения или измерения.

Единичный (отдельный) исход называется элементарным событием.

Набор всех элементарных событий некоторого испытания называется множеством элементарных событий.

Событие определим как подмножество множества элементарных событий.

Достоверное событие – это событие, которое при выполнении определенного комплекса условий обязательно произойдёт.

Невозможное событие – это событие, которое при выполнении определенного комплекса условий никогда не произойдёт.

Случайное событие – это событие, которое при выполнении определенного комплекса условий, может как произойти так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность.

Будем случайные события обозначать прописными латинскими буквами A, B, C…; достоверное событие обозначим , невозможное – .

Два события A и B называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Суммой двух событий A и B называется третье событие C = A + B, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо оба одновременно. Это определение равносильно другому определению: суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, В – выпадение чисел кратных 3, тогда С – выпадение чисел 2, 3, 4, 6.

Произведением двух событий A и B называется третье событие C = AB, которое происходит тогда, когда происходит и событие A, и событие B.

Событие называется противоположным событию A, если оно не совместно с A и вместе (в сумме) образуют достоверное событие, т.е. +А = .

Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, – выпадение нечетных чисел.

Классическое определение вероятности основывается на равновозможности любого из конечного числа исходов и на предположении, что события составные, т.е. состоят из одного или большего числа элементарных событий (исходов).

В общем случае, когда имеется n равновозможных исходов ₁, ₂…_n, вероятность наступления любого события A, состоящего из m исходов _i1, _i2…_im, определяется как отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события A, к общему числу:

P(A)=m/n. (1)

Так, при бросании игральной кости событие А – выпадение четных чисел, состоит из трех исходов – ₂, ₄, ₆. Поэтому P(A) = 3/6 =1/2.

Событие ^', включающее все исходы называется полным. Тогда по формуле (1)

P(^') = n/n = 1,

т.е. полное событие является достоверным, так как оно обязательно произойдет, следовательно  = ^' и P() = 1, т.е. вероятность достоверного события равна 1.

Если события рассматривать как подмножества множества событий, то введенные в лекции 2 отношения между событиями можно интерпретировать как отношения между множествами:

– несовместные события – это такие события (подмножества), которые не содержат общих элементов;

– сумме и произведению событий соответствуют объединение и пересечение

A + B = A  B, AB = A  B;

– противоположное событие к А – это дополнение подмножества А, ;

– запись А  В означает, что в В содержатся все элементарные события из А и могут содержаться элементарные события, не входящие в А. Если A  В и В  А, то А = В.

Теорема 1 (сложения вероятностей). Если два составных события А = _i1, _i2… _im и В = _i1, _i2… _iк являются несовместными, то

P(A + B) = P(A  B) = P(A) + P(B) (1)

Доказательство. Так как события A и B несовместны, событие A + B состоит из m + k элементов. При этом все множество элементарных событий состоит из n элементов. Тогда по классическому определению вероятности

P(A + B) = (m + k)/n = m/n + k/n = P(A) + P(B).

Событие , противоположное событию А, можем определить как подмножество, в которое входят все элементарные события, не входящие в А, т.е. А  =  и А  = . Тогда из теоремы сложения вероятностей вытекает, что Р() = Р(А) + Р() = 1, следовательно,

Р() = 1– Р(А) (2)

Из (2) следует, что вероятность невозможного события, являющегося противоположным к достоверному событию ( =  + ,    =), равна 0, так как

Р() = 1 – Р() = 0.

Теорема 2 (сложения вероятностей совместных событий). Если два составных события являются совместными, то вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A + B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – Р(АВ).

Доказательство. Нетрудно видеть, что А + В можно представить в виде суммы трех несовместных событий (рис.1): А + В = А+В + АВ.

Тогда по теореме 1 имеем

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) + Р(АВ) (3)

Учитывая, что

А = А + АВ, Р(А) = Р(А) + Р(АВ),

имеем

Р(А) = Р(А) - Р(АВ),

аналогично

Р(В) = Р(В) – Р(АВ).

Подставляя полученные выражения в (3), получим

Р(А + В) = Р(А) – Р(АВ) + Р(В) – Р(АВ) + Р(АВ) = P(A) + P(B) – Р(АВ).

Можно доказать иначе. Нетрудно видеть, что событие A + B состоит из (m + + k – r) элементов, тогда по формуле (1, лекция 1):

P(A + B) = (m + k - r)/n = m/n + k/n – r/n = P(A) + P(B) – P(AB).

При определении вероятности наступления события A предполагается выполнение определённого комплекса условий. Очевидно, что при изменении комплекса условий изменится и вероятность Р(А). Так, если к комплексу условий, при котором определяли Р(А), добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности, которое обозначим P(A/B) = P_B(A). Вероятность P(A/B) называется условной вероятностью наступления события A, при условии, что произойдет событие В. Вероятность Р(А) называется безусловной вероятностью.

Билет №2

Определение 2. Статистической вероятностью наступления события А называется относительная частота появления этого события в n произведенных испытаниях [4], т.е.

(А) = W(A) = m/n,

где (А) – статистическое определение вероятности; W(A) – относительная частота; n – количество произведенных испытаний; m – число испытаний, в которых событие А появилось. Заметим, что статистическая вероятность является опытной, экспериментальной характеристикой.

Причем при n → ∞, (А) → P(А)На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны», в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадание брошенной точки на g пропорциональна площади этой фигуры S_g и не зависит ни от ее расположения относительно области G, ни от формы g, найдем

Р(А) = S_g/S_G

где S_G – площадь области G. Но так как области g и G могут быть одномерны- ми, двухмерными, трехмерными и многомерными, то, обозначив меру области через meas, можно дать более общее определение геометрической вероятности

P = measg / measG.

Определение 1. Событие A называется независимым от события B, если его условная вероятность равна безусловной, т.е.

P(A) = P_B(A) = P(a/b). (6)

Из (5) следует

P(AB) = Р(АВ) = P(A/B)P(B). (7)

Фрмула (7) называется формулой умножения для зависимых событий.

Из (6) и (7) следует

(AB) = P(A) P(B) (8)

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n – k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^kq^{n - k}. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженного на их число: .

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Билет №3

Определение 1. Класс подмножеств из , замкнутый относительно операций объединения, дополнения и пересечения, а также содержащий множества , , называется полем.

Будем обозначать поле буквой S. Минимальное поле состоит из полного и пустого множества S₀ = {, }. Другим примером поля событий служит класс из четырех событий S₁ = {, , А ,}. Доказать самостоятельно.

Определение 2. Вероятностью называется числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами:

аксиома 1. Для любого события А  S, Р(А)  0;

аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице, P(Ω)=1;

аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

если АS, BS, А∩B = , то P(АB) = P(А+B) = P(А) +P(B).аксиома 3'. Если А_i  S, А_i ∩ А_j = ,  i ≠ j , то .

Определение 3. Набор объектов {Ω,S,P} называется вероятностным пространством, где Ω – множество всех элементарных событий, S – поле, P – вероятность, определенная на поле S.

Определение 4. Условная вероятность наступления события А при условии В равна

P(a/b) = Р(АВ)/Р(В) = Р(АВ)/Р(В).

Определение 5. Событие А не зависит от события В, если

Р(А/В) = Р(А).

Теорема 1. Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А.

Доказательство.

Р(В/А) = Р(ВА)/Р(А) = Р(АВ)/Р(А) = P(a/b)Р(В)/Р(А) = Р(А)Р(В)/Р(А) = Р(В).

Из определения 4 вытекают формулы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

P(A₁A₂… A_n) = P(A₁)P_A1(A₂)P_A1A2(A₃)… P_{A1A2… An-1}(A_n).

Билет 4

Определение 6. События A_1, A_2, …, A_n независимы в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любое из этих событий и любые комбинации (произведения) остальных событий.

Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A₁A₂… A_n) = P(A₁)P(A₂)… P(A_n).

Доказательство.

P(A₁A₂… A_n) = P(A₁·A₂… A_n) = P(A₁)P(A₂… A_n).=…= P(A₁)P(A₂)… P(A_n).

Определение 7. Событие А₁,А₂,… А_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (А_i∩А_j = Ø, для любого i ≠ j) и в совокупности образуют Ω, т.е. .

Теорема 2. Если события А_1,A₂,… А_n образуют полную группу событий, Р(А_i)  0 (так как не будет определено P(B/A_i)), то вероятность некоторого события B  S определяется, как сумма произведений безусловных вероятностей наступления события А_i на условные вероятности наступления события B, т.е.

. (1)

Доказательство. Так как события А_i попарно несовместны, то их пересечение с событием B также попарно несовместны, т.е. B∩А_i и B∩А_j – несовместны при i  j. Используя свойство дистрибутивности ((А_i)В = (А_iВ)), событие B можно представить как . Воспользуемся аксиомой сложения 3 и формулой умножения вероятностей, получим

.

Формула (1) называется формула полной вероятности.

Из формулы полной вероятности легко получить формулу Байеса, при дополнительном предположении, что P(B)>0

,

где k = 1, 2, …, n.

Доказательство. P(А_k/B) = P(А_k ∩ B)/P(B)

Билет 5

Случайная величина – одно из основных понятий теории вероятностей. В самом общем смысле случайная величина – это некоторая переменная величина, принимающая в зависимости от случая то или иное значение. Она может принимать числовое и не числовое (текстовое) значение.

Определение 1. Случайной величиной вероятностного пространства {Ω, S, P} называется любая функция X(), определенная для Ω, и такая, что для всех действительных х () множество {: X() < x}принадлежит полю S. Другими словами для любого такого события  определена вероятность P(X() < x) = P(X < x).

Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами X, Y, Z, …, а значения случайных величин – строчными латинскими буквами x, y, z...

Определение 2. Случайная величина X называется дискретной, если она принимает значения только из некоторого дискретного множества. Другими словами, существует конечное или счетное число значений x₁, x₂, …, таких, что P(X = x_i) = р_i  0, i = 1, 2…, причем  p_i = 1.

Если известны значения случайной величины и соответствующие им вероятности, то говорят, что определен закон распределения дискретной случайной величины.

Если составлена таблица, в верхней части которой располагаются значения случайных величин, а в нижней части соответствующие им вероятности, то получим ряд распределения случайной величины, который задает закон распределения дискретной случайной величины.

Определение 3. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), зависящая от х  R и принимающая значение, равное вероятности события , что X < x, т.е., F(x) = P{: X() < x } = P(X < x ).

Из определения следует, что любая случайная величина имеет функцию распределения.