1.Векторы. Основные операции над векторами.

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. 

Векторы обычно  обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками.

Сверху обычно ставят чёрточку. Например, вектор, направленный из точки A к точке B, можно

обозначить или . Векторы и называются противоположными.

Нулевой вектор - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают.

Длина (модуль) вектора     - это длина отображающего его отрезка  AB, обозначается | a |.

=

Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных

прямых. Обозначаются:   a || b.

Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы наз-ся равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и напрвление.

Линейные операции над векторами:

1.Сложение векторов.  Суммой векторов  ( ; ) и  ( ; ) называется вектор  ( + ; + ) , 

Правило треугольника:  Надо от конца вектора   отложить вектор, равный вектору .

Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора  , а конец - с концом вектора  ,

будет суммой векторов  и  .

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих векторах.

Законы сложения.

  I.       a + b  = b + a  ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й   закон )     III.    a + 0 = a .

 II.   ( a + b ) + c = a + ( b + c )  ( С о ч е т а т е л ь н ы й   закон ).  

IV.    a + (– a ) = 0 .

2.Вычитание векторов. Разностью векторов   ( ; ) и  ( ; ) называют

такой вектор  ( ),

который в сумме с вектором дает вектор .

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими

из одной точки; дополнить чертеж отрезком так, чтобы получился треугольник; придать отрезку

направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором

разности.

3.Умножение вектора на число. Произведением вектора  на число   называется вектор

  такой что   =   и   = 

Законы умножения вектора на число.

 I.      1 · a = a ,  0 · a = 0 ,  m · 0 = 0 ,  ( –1 ) · a = – a . II.     m a = a m ,  | m a | = | m | · | a | .

 III.    m ( n a ) = ( m n ) a .          ( С о ч е т а т е л ь н ы й   закон умножения на число ).

 IV.    ( m + n ) a = m a +  n a ,   ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

           m ( a + b ) = m a + m b .     закон умножения на число ).

4.Простейшие задачи на плоскости.

Найти расстояние на плоскости между 2мя точками :

-

евклидовое расстояние

 

Найти координаты точки, делящей заданный отрезок в заданном отношении :

  Если   и   - координаты точки A,

а   и  - координаты точки B, то

координаты x и y точки C, делящей

отрезок AB в отношении  ,

определяются по формулам:

Если т. С яв-ся серединой отрезка, то С