ГУба Н.В._Лекции по математике 1 курс ЗФО

9. Разложение определителя по строке (столбцу)

a1 b1 c1

Пусть дан определитель D = a2 b2 c2 a3 b3 c3

Определение:

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащих этот элемент.

Так, например, минором элемента a1 определителя D является

определитель b2 c2 . b3 c3

Определение:

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя

называется минор, умноженный на (-1)p , где р – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, если элемент а2 находится на пересечении 1-го столбца и 2-й строки, то для него р=1+2=3 и алгебраическим дополнением является

А2	= (-1 3)	b1	c1		.
		b	c	3
		3

9.Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.

	2	4	6
Пример: вычислить определитель	5	12	19	, разложив его по 1-й строке.
	3	9	17

Решение:

2	4	6		12	19		5	19		5	12
5	12	19	= 2 ×			- 4 ×			+ 6			= 2 × (12 ×17 - 9 ×19) - 4 × (5 ×17 - 3 ×19) +
3	9	17		9	17		3	17		3	9

+ 6 × (5 ×9 - 3 ×12) = 8

Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

Определение:

Матрица А-1 называется обратной для матрицы A = aij , i, j = 1,...,n , если

справедливо:

А × А-1 = А-1 × А = Е ,

Где Е – единичная матрица размера n ´ n .

Теорема:

Матрица А невырожденна (обратима) тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля, т.е. det A ¹ 0 .

Формула для нахождения обратной матрицы:

A-1 =	1	×				A				T
	A					ij

Где A = det A , Aij T – транспонированная матрица из алгебраических дополнений Aij .

Транспонированная матрица – это матрица, в которой строки становятся столбцами, а столбцы строками.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1.Вычисляем det A и убеждаемся в том, что он отличен от нуля ( det A ¹ 0 ). В противном случае матрица необратима.

2.Вычисляем алгебраические дополнения Aij элементов матрицы аij и

строим матрицу Aij .

3.Транспонируем Aij и получаем Aij T .

4.	Умножаем каждый элемент матрицы				Aij				T на число			1			.
												А
5.	Делаем проверку, вычисляя произведения А × А-1 и А-1 × А .

	æ	3	4	- 2	ö
Пример: найти обратную матрицу матрицы	ç		1	0	÷
	А = ç - 2				÷ .
	ç	2	3	0	÷
	è				ø

Решение:

	3	4	- 2
1. det A =	- 2	1	0	= 16 ¹ 0 , следовательно, матрица обратима.
	2	3	0

2. Ищем все алгебраические дополнения элементов матрицы.

			A =					1 0						= 0 ,				A = -			- 2			0		= 0 ,						A =		- 2						1	= -8
	11							3			0							12			2			0								13			2					3
		A = -								4 - 2						= -6 ,			A =				3 - 2							= 4 ,		A = -							3 4				= -1
	21									3				0					22				2		0								23						2	3
		A =					4 - 2							= 2 ,				A = -			3 - 2							= 4 ,					A =				3			4					= 11 .
	31						1				0							32			- 2				0								33				- 2			1
3. Составляем матрицу алгебраических дополнений:
																	æ	A A A						ö	æ 0 0								- 8ö
																	ç	11	12		13			÷	ç								÷
														Aij = ç A21					A22		A23 ÷ = ç- 6										4 -1÷
																	ç	A	A		A			÷	ç				2		4		11 ÷
																	è	31	32		33			ø	è								ø
					æ 0									- 6			2	ö
Отсюда,		Aij		T	ç									4				÷
					= ç 0												4 ÷ .
					ç			- 8						-1				÷
					è												11ø
4. По формуле нахождения обратной матрицы имеем:
																		æ 0	- 6 2 ö						æ				0			-	3		1					ö
																									ç								8		8					÷
													A-1 = 1					ç						÷	= ç				0			1			1 ÷
																		ç 0	4 4 ÷
																	16 ç							÷	ç				- 1			-	4		4 ÷
																		è- 8	-1 11ø						ç								1		11					÷
																									è				2				16		16ø

5. Проверку выполните самостоятельно.

Нахождение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса

Суть метода состоит в том, что матрица А, для которой ищем обратную, записывается с единичной матрицей через вертикальную черту

æ

а

а

...

а

1

0

...

0

ö

ç

11

12

1n

÷

ça21

a22

...

a2n

0

1

...

0÷

ç

...

...

÷

ç

÷

ç

...

0

0

...

1

÷

èan1

an 2

ann

ø

И затем приводится к единичной при помощи элементарных

преобразований. В это же время единичная матрица Е в результате этих

преобразований преобразуется в А-1 . Т.е.

¢

¢ ...

¢ ö

æ

1

0 ...

0

а

а

а

ç

11

12

¢ ...

1n

÷

ç

0

1 ...

0

a

¢

a

22

a

¢ ÷

ç

...

21

2n

÷ .

ç

...

÷

ç

0

0 ...

1

¢

¢

÷

ç

¢ ÷

è

an1

an2

...

ann

ø

æ 3

-1

0

Е

А-1

ö

ç

1

÷

. Найти

А-1 .

Пример. А = ç- 2

1 ÷

ç

-1

4

÷

è 2

ø

Решение:

	æ	3	-1	0	1	0	0	ö	æ	3	-1 0		1	0	0	ö	æ	3 -1		0	1	0	0	ö
	ç			1	0	1		÷	ç			1	0	1		÷	ç		1	3	2	3		÷
	ç- 2 1						0÷ » ç- 2 1								0÷ » ç0								0÷ »
	ç	2	-1	4	0	0	1	÷	ç	0	0	5	0	1	1	÷	ç	0	0	5	0	1	1	÷
	è							ø	è							ø	è							ø

æ3 -1		0	1	0	0	ö	æ15 0		0 15	12	- 3ö		æ	1 0 0	1	12	- 3	ö
													ç			15	15	÷
ç	- 5					÷	ç	- 5	0 -10		÷	»	ç	0 1 0 2
» ç0		0 -10 -12 3÷ » ç 0								-12 3 ÷						12	- 3 ÷
ç						÷	ç				÷		ç			5	5 ÷
	0	5	0	1	1			0	5 0	1			ç0 0 1		0	1	1	÷
è0						ø	è 0				1 ø
													è			5	5	ø

æ	1 12	- 3	ö
ç		15	15÷

Следовательно, А-1 = ç	2	12	- 3	÷.
ç		5	5	÷
ç	0	1	1	÷
è		5	5	ø

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод Крамера решения СЛУ.

Теорема Крамера:

Если линейная система

ìа11 х1 + а12 х2

+ ... + а1n xn

= b1

ï

х1

+ а22 х2

+ ... + а2n xn

= b2

ïа21

(1)

í

ï...

ïа

n1

х

+ а

n2

х

2

+ ... + а

nn

x

n

= b

n

î

1

Имеет отличный от нуля определитель, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле Крамера:

a11

...

b1

...

a1n

a21

...

b2

...

a2n

...

xi

=

Dxi

=

an1

...

bn

...

ann

, i = 1,2,..., n .

a11

...

a1i

...

a1n

D

a21

...

a2i

...

a2n

...

an1

...

ani

...

ann

Замечания:

1.Если СЛУ однородная, т.е. b1 = b2 = ... = bn = 0 , то она имеет лишь тривиальное (нулевое) решение x1 = x2 = ... = xn = 0 (при det A ¹ 0 ).

2.Если определитель системы (1) равен нулю и хотя бы один из определителей Dxi отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместна).

3.Если D = 0 и все Dxi = 0 , то система имеет бесконечно много решений.

ìx + 2 y + z = 4

Пример: решить СЛУ ïí3x - 5 y + 3z = 1.

						ï
Решение:						î2x + 7 y - z = 8
		1	2	1		= 33 , D ¹ 0 , следовательно, система имеет единственное
D =		3	- 5	3
		2	7	-1

решение.

По формуле Крамера:

	4	2	1			1	4	1		1	2	4
Dx =	1	- 5 3		= 33,	Dy =	3	1	3	= 33 , Dz =	3	- 5	1	= 33
	8	7	-1			2	8	-1		2	7	8

x = Dx = 33 = 1, y = Dy = 33 = 1, z = Dz = 33 = 1.

D 33 D 33 D 33

Ответ: (1,1,1)

Матричный метод решения СЛУ.

Запишем СЛУ (1) в матричном виде:

	æ a	a
	ç 11	12
Где	ça21	a22
	А = ç
	ç ...
	ç	an 2
	èan1

А × Х = В

... a1n ö÷

... a2n ÷÷ – матрица коэффициентов системы.

÷

... ann ÷ø

æç x1 ö÷

X = ç x2 ÷ – столбец неизвестных,

çç ... ÷÷ çè xn ÷ø

æ b	ö
ç 1	÷
çb2	÷	– столбец свободных коэффициентов.
B = ç	÷
ç ...	÷
ç	÷
èbn	ø

Решение СЛУ матричным методом определяется по формуле:

									Х = A-1 × В
Т.е. находится с помощью обратной матрицы A-1 , которая существует
тогда и только тогда, когда det A ¹ 0 .
Таким образом, матричный метод применим только тогда, когда
det A ¹ 0 !											5
								ì
Пример: решить систему íï3x1 - 2x2										=	6 .
								ï		= 2
Решение:								î2x1 + 3x2
								5
æ3 - 2			ö		æ x	ö	æ		ö
ç			÷	ç 1		÷	= ç	6	÷
A = ç			÷ ,		X = ç	÷ , B	ç	2	÷ .
è2 3			ø		è x2	ø	è		ø
det A =		3 - 2			= 13 ¹ 0 , следовательно, матричный метод применим.
		2	3

Ищем обратную матрицу:

æ

3

13

2

ö

A

-1

=

ç

13 ÷

ç - 2

3

÷ .

è

13

13 ø

Тогда решение:

æ

3

2

ö

æ

5

æ

3

×

5

+

2

× 2

ö

æ

1

ö

=

-1 ×

=

ö ç

÷

ç

2

÷

Х

A

В

ç

13

13

÷

×ç

6

÷

= ç

13 6 13

÷ = ç

÷

ç

- 2

3 ÷

ç

2

÷

ç

-

2

×

5

+

3

× 2

÷

ç

1

÷ .

è

13

13ø

è

ø

ç

13

6

÷

ç

3

÷

è

13

ø

è

ø

Ответ: çæ

1

,

1

÷ö .

è 2

3

ø

Метод Гаусса решения СЛУ.

Метод применим только когда det A ¹ 0 и заключается в следующем: 1. Записываем расширенную матрицу системы (1).

æ a

a

...

a

b

ö

ç

11

12

1n

1

÷

ça

21

a

22

...

a

2n

b

2

÷

= (A

B)

ç

÷

ç ...

...

÷

ç

...

÷

èan1

an 2

ann

b n ø

2.Приводим матрицу А к ступенчатому виду (исключаем неизвестные до того момента, пока в последней строке не останется одна неизвестная), т.е.

æa11		a12	...	a1n		b1	ö
ç	0	¢	...	¢		¢	÷
ç		a22		a2n		b2	÷
ç						...	÷
ç ...							÷
ç				¢		¢ ÷
è	0	0	... 0	ann		bn	ø

Эта процедура называется методом последовательного исключения переменных или прямым ходом метода Гаусса.

3.После завершения прямого хода вычисляем неизвестную переменную, стоящую в последнем уравнении x n . Далее, с ее помощью, находим неизвестную x n-1 , стоящую в предыдущем уравнении, и так далее, пока не найдем все неизвестные x1 , x2 ,..., xn .

Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Пример: решить методом Гаусса.

ìx - 2 y + z = 0

ï

í2x + 2 y - z = 3 ïî4x - y + z = 5

Решение:

æ

1

- 2 1

0ö

æ1 - 2 1

0ö

æ1 - 2 1

0

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç2 2 -1

3÷ » ç0 6 - 3

3÷ » ç0 6 - 3

3÷

ç

4

-1 1

÷

ç

- 7

- 3

÷

ç

3

9

÷

è

5ø

è0

5ø

è0 0

ø

ì3z = 9

ìz = 3

ï

ï

í6 y - 3z = 3 Þ íy = 2

ï

- 2 y + z = 0

ï

îx

îx = 1

Ответ: (1, 2, 3)

Решение СЛУ общего вида. Фундаментальная система решений (ФСР).

СЛУ, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная ( det A = 0 ), можно также решать методом Гаусса (если она совместна). В этом случае система имеет бесконечно много решений.

Определение:

Фундаментальной системой решений однородной системы из р линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется совокупность (n-r) линейно независимых решений этой системы, где r – это ранг матрицы системы.

Определение:

Обозначим решения однородной СЛУ как X(1) , X Эта совокупность векторов называется линейно

их линейная комбинация

( 2) ,..., X (n-r ) – вектора.

независимой, если

l1X(1) + l2 X (2) + ... + ln-r X (n-r )

равна нулю тогда и только тогда, когда все числа l1 , l2 ,...,ln-r равны нулю.

Если хотя бы один li i = 1,2,..., n - r отличен от нуля, то система векторов X(1) , X ( 2) ,..., X (n-r ) называется линейно зависимой.

Общее решение однородной СЛУ представляется в виде

линейной комбинации ФСР с произвольными коэффициентами:

Х О.Р. = С1X(1) + С2 X (2) + ... + Сn-r X (n-r ) .

Общее решение неоднородных СЛУ представляется в виде:

Х О.Р.НСЛУ = Х О.Р.ОСЛУ + ХЧ .Р.НСЛУ .

Где

Х О.Р.ОСЛУ = С1X (1) + С2 X ( 2) + ... + Сn-r X ( n-r ) - общее решение соответствующей однородной системы.

Х Ч .Р.НСЛУ – частное решение исходной неоднородной СЛУ.

Пример: найти ФСР системы:

ìï9х1 - 3х2 + 5х3 + 6х4 = 4 í6х1 - 2х2 + 3х3 + х4 = 5

ïî3х1 - х2 + 3х3 +14х4 = -8

Решение:

1. Запишем соответствующую однородную систему:

ìï9х1 - 3х2 + 5х3 + 6х4 = 0 í6х1 - 2х2 + 3х3 + х4 = 0

ïî3х1 - х2 + 3х3 +14х4 = 0

2.Выпишем матрицу коэффициентов и приведем ее к ступенчатому виду:

æ9 - 3 5 6

ö

æ3

-1

3

14ö

æ3 -1 3

14 ö

æ3 -1 3 14

ö

ç

÷

ç

5

÷

ç

÷

ç

÷

ç6 - 2 3 1 ÷ » ç9 - 3

6 ÷ » ç0 0 - 4 - 36 ÷ » ç0 0 -1 - 9÷ »

ç

-1 3 14

÷

ç

- 2

3

1

÷

ç

0 0

- 3

÷

ç

-1 - 9

÷

è3

ø

è6

ø

è

- 27ø

è0 0

ø

æ3

-1

3 14 ö

» ç

÷.

ç

÷

è0 0 -1 - 9ø

Запишем получившуюся систему:

ì- х3 - 9х2 = 0

í

- х2

+ 3х3 +14х4 = 0

î3х1

3. Т.к. после приведения матрицы к ступенчатому виду осталось 2 строки, то ранг матрицы r = 2 , а количество неизвестных n = 4 .

Следовательно, ФСР данной системы будет состоять из n - r = 4 - 2 = 2 векторов. Найдем их:

х1

х2

х3

х4

Х (1)

13

3

0

-9

1

Х

(2)

3

1

0

0

1

æ13

ö

æ

1

ö

ç

3

÷

ç

3

÷

В итоге, ФСР:

Х

(1)

ç

0

÷

, Х

(2)

ç

1

÷

= ç

- 9

÷

= ç

0

÷ .

ç

÷

ç

÷

ç

1

÷

ç

0

÷

è

ø

è

ø

4. Запишем общее решение системы:

			æ13		ö			æ	1	ö
			ç	3	÷			ç	3	÷
Х		= С	ç	0	÷	+ С		ç	1	÷	.
	О.Р.ОСЛУ		ç		÷		2	ç		÷
		1		- 9					0
			ç		÷			ç		÷
			ç	1	÷			ç	0	÷
			è		ø			è		ø