ГУба Н.В._Лекции по математике 1 курс ЗФО

Системы линейных уравнений (СЛУ). Их классификация.

Определение:

Системой линейных алгебраических уравнений называется система общего вида:

ìа11 х1 + а12 х2

+ ... + а1n xn

= b1

ï

+ а22 х2

+ ... + а2n xn

= b2

ïа21 х1

(1)

í

ï...

ïа

m1

х

+ а

m

2

х

2

+ ... + а

mn

x

n

= b

m

î

1

Где m,n – произвольные положительные числа.

b1 , b2 ,...,bm - свободные коэффициенты.

Определение:

Система (1) называется однородной, если bi

= 0 для всех i = 1,2,3,...,m , т.е.

ìа11 х1 + а12 х2 + ... + а1n xn = 0

ïïа21 х1 + а22 х2 + ... + а2n xn = 0

í

ï...

ïîаm1 х1 + аm 2 х2 + ... + аmn xn = 0

Определение:

Решением СЛУ (1) называется такой набор чисел x1 , x2 ,..., xn , что при подстановке каждое из уравнений обращается в тождество.

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Если же у системы есть решения, то она называется совместной, и притом

определенной, если решение единственно.

Если решений более одного, то система называется неопределенной.

Матрицы. Операции над матрицами.

Вернемся к СЛУ (1). Коэффициенты aij									при неизвестных x1 , x2 ,..., xn
составляют прямоугольную таблицу
æ a								a ...	a	ö
ç 11					12				1n ÷
ç a21								a22 ...	a2n ÷
ç										÷
ç ...										÷
ç								am 2 ...		÷
èam1									amn ø
Называемую матрицей размера m ´ n . Пишут
æ a								a ...	a	ö
ç 11					12				1n	÷
ç a21								a22 ...	a2n ÷		(2)
A = ç										÷
m´n ç ...										÷
ç						am 2 ...				÷
èam1									amn ø
Для краткости обозначают A =				aij				, i = 1,...,m ,		j = 1,...,n .

Наряду с матрицей (2) рассматривают и расширенную матрицу системы (1), в которой добавляется столбец свободных коэффициентов:

æ a		a		...	a			b	ö
ç	11	a	12	...	a	1n		1	÷
ç a								b	÷
ç	21		22			2n		2	÷.
ç ...								...	÷
ça		a		...	a			b	÷
è	m1		m 2			mn		m	ø

Операция сложения.

Эта операция определена только для матриц одной размерности! Определение:

Суммой двух матриц A = aij и B = bij , i, j Î N называется матрица,

элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е.

A + B = aij + bij , i, j Î N

или

æ a	a		...	a	ö		æ b	b	...	b	ö
ç 11		12		1n ÷			ç 11	12		1n ÷
ç a21	a22 ...			a2n ÷			ç b21	b22	...	b2n ÷
A = ç					÷	B = ç					÷
m´n ç ...					÷	m´n	ç ...				÷
ç	am 2 ...				÷		ç	bm2	...		÷
èam1				amn ø			èbm1			bmn ø
	æ a		+ b		a	+ b	...	a	+ b	ö
	ç	11	11		12	12		1n	1n	÷
	ç a21 + b21				a22	+ b22 ...		a2n	+ b1n ÷
A + B = ç										÷ .
	ç ...									÷
	ç		+ bm1		am2	+ bm2 ...				÷
	èam1							amn + bmn ø

Свойства операции сложения:

1.Коммутативность А+В=В+А.

2.Ассоциативность А+(В+С)=(А+В)+С.

3.Существует О – нулевая матрица (нейтральный элемент): А+О=А для любой матрицы А.

4.Для любой матрицы A = aij существует и притом единственная

матрица (-А) такая, что: А+(-А)=О.

Пример: сложить матрицы	æ1		-1ö		æ3		4ö
	А = ç			÷	и В = ç			÷
	ç	0	2	÷	ç	1	0	÷
	è			ø	è			ø

Решение:	æ1		+ 3 -1 + 4	ö	æ4		3ö
	А + В = ç			÷	= ç			÷ .
	ç	0	+1 2 + 0	÷	ç	1	2	÷
	è			ø	è			ø

Операция умножения матрицы на число.

Эта операция определена для матриц любого порядка. Определение:

Произведение матрицы A = aij и действительного числа l – это матрица,

элементы которой получаются умножением всех элементов исходной матрицы на это число, т.е.

æ la		la	...	la	ö
ç	11	12		1n ÷
ç la21		la22	...	la2n ÷
lА = ç					÷ .
ç ...					÷
ç		lam 2	...		÷
èlam1				lamn ø

Свойства операции:

1.Дистрибутивность. Для любых матриц А и В одного порядка и любого числа l Î R справедливо: l(A + B)= lA + lB .

2.Для любой матрицы А и любых чисел l, m Î R верно: (l + m)А = lА + mА .

3.Для любой матрицы А и любых чисел l, m Î R верно: l × (m × А) = (l × m) × А .

4.1 – нейтральное число для любой матрицы А: 1× А = А .

Пример: вычислить матрицу 3А, если								æ	1	1	ö
								А = ç		3	÷ .
								ç	0	2	÷
								è			ø
	æ	3 ×	1		ö	æ3	1ö
Решение: 3 × А =	ç 3 ×1			3	÷
	ç				÷	= ç	÷.
	è3 ×0					ç	÷
		3 × 2 ø				è0	6ø

Операция умножения двух матриц А × В .

Эта операция определена только для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Определение:

Произведение матрицы А порядка m ´ n и матрицы В порядка n ´ p – это матрица С порядка m ´ p , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример: вычислить произведение матриц	æ1		2ö		æ- 5		- 2	- 3ö
	А = ç			÷	и В = ç				÷ .
	ç	0	3	÷	ç	4	-1	0	÷
	è			ø	è				ø

Решение: Матрица А имеет размерность 2 ´ 2 , матрица В – 2 ´ 3 . Число строк матрицы А совпадает с числом столбцов матрицы В, следовательно операция умножения определена и результатом умножения будет матрица размера 2 ´ 3 .

æ - 5		×1	+ 4 × 2	- 2 ×1 + (-1)×	2 - 3 ×1 + 0 × 2 ö	æ 3	- 4	- 3ö
А × В = ç	- 5	×0	+ 4 ×3	- 2 ×0 + (-1 )×	÷	= ç	- 3	0	÷ .
ç					3 - 3 ×0 + 0 ×3÷	ç12			÷
è					ø	è			ø

	æ2	ö
Пример: даны матрицы	ç	÷	и В = (- 3 4 5). Вычислить А × В и В × А .
	А = ç0	÷
	ç	÷
	è1	ø

Решение: Матрица А имеет размерность 3 ´1 , матрица В – 1´ 3 . Число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, следовательно операция умножения А × В определена и результатом умножения будет матрица размера 3 ´ 3 .

æ- 3 × 2 4 × 2			5 × 2ö		æ- 6		8 10ö
ç		4 ×0		÷	ç		0		÷
А × В = ç- 3 ×0			5 ×0 ÷ = ç 0					0 ÷ .
ç	- 3 ×1	4 ×1	5 ×1	÷	ç	- 3	4	5	÷
è				ø	è				ø

Операция умножения В × А также определена, т.к. число столбцов матрицы В совпадает с числом строк матрицы А. Результатом умножения будет матрица размера 1´1 (число).

æ2	ö
В × А = (- 3 4 5)×çç0 ÷÷ = (2 × (-3) + 0 × 4 +1×5)= -1.
ç	÷
è1	ø

Таким образом, видно, что А × В ¹ В × А .

Свойства операции умножения:

1.Операция некоммутативна, т.е. А × В ¹ В × А

2.Ассоциативность: А × (В × С) = ( А × В) × С .

3.Два свойства дистрибутивности: ( А + В) × С = АС + ВС и

А× (В + С) = АВ + АС .

4.Существует единичная матрица Е такая, что: А × Е = Е × А = А .

Элементарные преобразования над матрицами.

Определение:

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования:

1.Перестановка двух строк местами.

2.Прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое число l ¹ 0 :

æ	а	a
ç	11	12
ç ...
ç ai1		ai 2
ç
ç ...		ak 2
ç ak1
ç...
ç		am 2
èam1

...	a	ö		æ
	1n ÷			ç
		÷		ç
...	ain	÷		çai1
		÷	»	ç
		÷		ç...
...	akn ÷			ç
		÷		ç
...		÷		ç
	amn ø			è

а11

...

+ lak1

ak1

...

am1

a	...	a	ö
12		1n	÷
			÷
ai 2 + lak 2	...	ain + lakn	÷
			÷ .
ak 2	...	akn	÷
			÷
			÷
am2	...	amn	÷
			ø

Аналогичные преобразования над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбцов.

Элементарные преобразования нужны для того, чтобы упрощать матрицы

– приводить их к так называемому ступенчатому виду. Определение:

Матрица называется ступенчатой (или, как говорят, имеет ступенчатый вид), если

1.Элементы главной диагонали матрицы отличны от нуля;

2.Все элементы, стоящие под главной диагональю, равны нулю, т.е.

æa		a		a		...		a		ö
ç	11	12			13				1n ÷
		a22		a23
ç	0					...		a2n ÷
ç	0	0		a	33	...		a		÷
ç									3n ÷
ç ..		..		..						÷
ç										÷
è	0	0		...		0		ann ø

ТЕОРЕМА:

Всякую матрицу путем элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

	æ 1		2	-1	ö
Пример: Привести матрицу	ç		3	- 2	÷	к ступенчатому виду.
	А = ç 2				÷
	ç	-1	1	4	÷
	è				ø

Решение:

æ 1

2

-1 ö

æ1

2

-1 ö

æ1 2

-1 ö

æ1 2

-1 ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

-1

÷

А = ç 2

3

- 2÷ » ç2

3 - 2÷ » ç0

-1 - 4÷ » ç0

- 4 ÷ .

ç

-1 1

4

÷

ç

0

3

3

÷

ç

0

3

3

÷

ç

0

0

- 9

÷

è

ø

è

ø

è

ø

è

ø

Определители.

Определение:

Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов.

Для множества, содержащего n элементов, существует n! перестановок. Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов. Например, рассмотрим множество из трех чисел {1,2,3}. Запишем все

возможные перестановки этих чисел:

1.1, 2, 3

2.2, 1, 3

3.3, 1, 2

4.2, 3, 1

5.3, 2, 1

6.1, 3, 2

Определение:

Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и

q ( p < q) , для которой р-й элемент перестановки больше q-го.

Так, в перестановке 1,3,2 инверсия – это пара р=2 и q=3, т.к. второй элемент перестановки равен 3 и он больше третьего, равного 2.

В перестановке 3,2,1 будут три пары:

р=1 q=2 (3>2); р=1 q=3 (3>1); р=2 q=3 (2>1).

Пусть A = aij - квадратная матрица размера n ´ n , т.е. i, j = 1,...,n . Пусть J –

множество всех перестановок порядка n множества {1,2,...,n}. Множество J содержит n! перестановок. Обозначим k-ю перестановку как j1 (k ), j2 (k ),..., jn (k ) , а количество инверсий в k-й перестановке как N k .

Определение:

Определителем матрицы A = aij называется алгебраическая сумма

всевозможных произведений коэффициентов aij , взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.

n!

А = det A = å(-1)Nk a1 j1 (k ) ×a2 j2 (k ) ×...×anjn ( k ) .

k =1

Вычисление определителя 2-го порядка.

Найдем определитель квадратной матрицы	æ a	a	ö	,
	А = ç 11	12	÷
	ç	a22	÷
	èa21		ø

n = 2, n = 2!= 1× 2 = 2 .

Выпишем все возможные произведения коэффициентов, взятых по одному

из каждой строки и из каждого столбца: a11 × a22

и a12 × a21 .

Все перестановки

Количество инверсий

Соответствующие

множества {1,2}

N k

произведения

j (k), j

2

(k)

(-1) Nk a

× a

2 j2

( k )

1

1 j1 (k )

1, 2

0

(-1)0 a

× a

22

11

2, 1

1 (2>1)

(-1)1 a

× a

21

12

Таким образом,

A

=

a11

a12

= a

× a

22

- a × a

21

.

a21

a22

11

12

Пример: вычислить определитель 1 2 .

3 4

Решение:

1 2 = 1× 4 - 3 × 2 = 4 - 6 = -2 3 4

Вычисление определителя 3-го порядка.

	æ a	a
Найдем определитель квадратной матрицы	ç 11	12
	A = ça21	a22
	ç	a32
	èa31

a13 ö÷ a23 ÷ . a33 ÷ø

Выпишем произведения коэффициентов определителя, взятых по одному из каждой строки и столбца:

a11 × a22 × a33 ,

a11 × a23 × a32 , a12 × a21 × a33 , a12 × a23 × a31 , a13 × a22 × a31 , a13 × a21 × a32 .

Все перестановки

Количество инверсий

Соответствующие

множества {1,2}

N k

произведения

j (k), j

2

(k), j

3

(k)

(-1) Nk a

(k )

× a

2 j

(k )

× a

3 j (k )

1

1 j

1

2

3

1, 2, 3

0

(-1)

0 a × a

22

× a

33

11

1, 3, 2

1 (3>2)

(-1)1 a

× a

23

× a

32

11

2, 1, 3

1 (2>1)

(-1)1 a

× a

21

× a

33

12

2, 3, 1

2 (2>1, 3>1)

(-1)

2 a

× a

23

× a

31

12

3, 1, 2

2 (3>1, 3>2)

(-1)

2 a

× a

21

× a

32

13

3, 2, 1

3 (3>2, 3>1, 2>1)

(-1)

3 a

× a

22

× a

31

13

Таким образом,

a11

a12

a13

A =

a21

a22

a23

= a11 × a22 × a33 - a11 × a23 × a32 - a12 × a21 × a33 + a12 × a23 × a31 + a13 × a21 × a32 -

a31

a32

a33

В итоге,

- a13 × a22 × a31

a11

a12

a13

A =

a21

a22

a23

= a11 × a22 × a33 + a12 × a23 × a31 + a13 × a21 × a32 - (a11 × a23 × a32 + a12 × a21 × a33 +

a31

a32

a33

+ a13 × a22 × a31 )

							3	- 2	1
Пример: Вычислить определитель							- 2	1	3	.
							2	0	- 2
Решение:
		3	- 2	1		= 3 ×1× (-2) + (- 2 ×)0 ×1 + (- 2 ×)3 × 2 - (1×1× 2 + 0 ×3 ×3 + (-2) × (- 2 ×) -(2 ) =)
		- 2 1		3
		2	0	- 2

= -6 -12 - (2 - 8) = -12 .

Свойства определителей.

1.Величина определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами.

a1	a2	a3		a1	b1	c1
b1	b2	b3	=	a2	b2	c2
c1	c2	c3		a3	b3	c3

2.Перестановка двух столбцов или двух строк определителя местами равносильна умножению его на -1.

3.Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4.Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на некоторое число l ¹ 0 равносильно умножению всего определителя на это число l .

5.Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6.Если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны, то определитель равен нулю.

7.

a1¢ + a1¢¢

b1

c1

a1¢

b1

c1

a1¢¢

b1

c1

.

a2¢ + a2¢¢ b2

c2

=

a2¢

b2

c2

+

a2¢¢

b2

c2

a3¢ + a3¢¢

b3

c3

a3¢

b3

c3

a3¢¢

b3

c3

8.Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженного на любой множитель l ¹ 0 , то величина определителя не изменится.

Например,

a1 + lb1	b1	c1		a1	b1	c1	.
a2 + lb2	b2	c2	=	a2	b2	c2
a3 + lb3	b3	c3		a3	b3	c3