ГУба Н.В._Лекции по математике 1 курс ЗФО

Модель межотраслевого баланса (Модель Леонтьева)

Идеи модели межотраслевого баланса впервые возникли 1920в -х гг. в работах экономистов молодой Советской России, которые строили модель

плановой	экономики, удовлетворяющей			спрос	конечных		потребителей.
Наибольшее	развитие	эти	идеи	получили	в	трудах. ЛеонтьеваВ ,
эмигрировавшего к тому времени в США.

В 1973 г. за эти исследования В. Леонтьеву была присуждена Нобелевская премия в области экономики.

Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Пусть производственный сектор национальной экономики разделен наn чистых отраслей (например, «машиностроение», «энергетика», «транспорт» и т. д.), каждая отрасль производит один вид продукции, различные отрасли выпускают разную продукцию. В процессе производства каждая отрасль может расходовать как свою продукцию, так и продукцию других отраслей, поэтому на непроизводственное потребление, вообще говоря, идет не вся выпущенная продукция (часть ее тратится в процессе производства).

Цель балансового анализа — ответить на вопрос: каким должен быть объем производства каждой изn отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли?

Введем обозначения:

aij — количество продукции i-й отрасли, расходуемое в процессе

производства единицы продукции j-й отрасли, xi — план (объем) выпуска i-й отрасли,

ci — объем продукции i-й отрасли предназначенный для реализации в непроизводственной сфере.

	æ a	a	...	a	ö
	ç 11	12		1n ÷
Матрица A = ( aij ) =	ça21	a22	...	a2n ÷		называется матрицей прямых
	ç				÷
	ç ...				÷
	ç	an2	...		÷
	èan1			ann ø

затрат.

Таким образом, если для выпуска единицы продукцииj-й отрасли необходимо израсходовать aij единиц продукции i-й отрасли, то для выпуска x j

единиц продукции j-й отрасли необходимо израсходоватьaij x j единиц

продукции i-й отрасли.

В этих предположениях объем продукцииi-й отрасли, потребляемый всеми n отраслями в процессе производства, равен

¥

åaij x j . j=1

поэтому на конечное непроизводственное потребление остается

¥

xi - åaij x j j =1

единиц продукции i-й отрасли.

Значит, чтобы конечный спрос был обеспечен, необходимо выполнение

балансовых соотношений:

¥

xi - åaij x j = сi , i = 1,2,3,...,n .

j =1

Эти соотношения можно переписать в виде системы:

ìx1 - (a11 x1 + a12 x2

+ ... + a1n xn ) = c1

ïx

2

- (a

21

x

+ a

22

x

2

+ ... + a

2n

x

n

) = c

2

ï

1

,

í

ï...

- (a

) = c

ïx

n

n1

x

+ a

n2

x

2

+ ... + a

nn

x

n

n

î

1

которая в матричной форме имеет вид: X - AX = C или (E - A)X = C , где

æ x		ö
ç 1		÷
ç x2		÷	– вектор-столбец объемов произведенной продукции (валового
X = ç		÷
ç...		÷
ç x		÷
è n		ø
выпуска).
æ	с	ö
ç	1	÷
çс2		÷	– вектор-столбец объемов продукции непроизводственного
С = ç		÷
ç...		÷
ç	сn	÷
è		ø

потребления.

æ a	a
ç 11	12
ça21	a22
А = ç
ç ...
ç	an 2
èan1

... a1n

... a2n

... ann

ö

÷

÷÷ – матрица коэффициентов прямых затрат.

÷

÷

ø

æ 1

ç

ç 0

Е= çç...

çè 0

0... 0ö

÷

1... 0÷÷ – единичная матрица.

÷

0 ... 1 ÷ø

Из матричной формы модели Леонтьева

(E - A)X = C (1)

можно выразить зависимость вектора валового выпуска Х от вектора конечного непроизводственного потребления С:

X = (E - A)-1C .

(Е - А)-1 называется матрицей полных затрат.

Соотношение (1) называется уравнением линейного межотраслевого баланса.

Вместе с описанием матриц это уравнение носит названиемод ли Леонтьева.

Это уравнение можно использовать в двух целях:

1.Если известен X , требуется рассчитать С;

2.Для целей планирования: для некоторого периода времени известен С и требуется определить X .

Продуктивная модель Леонтьева

Определение продуктивной	матрицы:	Матрица	A	≥ 0 называется
продуктивной, если для любого	вектора С	0≥ существует		решение X ≥ 0
уравнения X = AX + С.
В этом случае модель	Леонтьева, определяемая		матрицей A, тоже

называется продуктивной.

Это определение имеет простой экономический смысл: матрица A ≥ 0

продуктивна, если существует такой план X ≥ 0 , что каждая отрасль может произвести некоторое количество конечной продукции.

Теорема (1-й критерий продуктивности):

Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна.

Теорема (2-й критерий продуктивности): матрица A с

неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу не превосходит единицы:

¥

åaij x j £1 j =1

причем, хотя бы для одного столбца эта сумма, строго меньше единицы.

Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева

– так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, A – матрица прямых затрат, X – вектор валового выпуска. Обозначим через P – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукцииi-й отрасли. Тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р1х1 . Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции других отраслей. Так, для выпуска

единицы продукции ей			необходима	продукция	первой отрасли	в	объемеа ,
							11
второй отрасли – в объеме а21 , n-й отрасли – в объеме аn1 и т.д. На покупку этой
продукции ею будет затрачена сумма, равная a11 p1 + a21 p2 + ... + an1 pn .
Следовательно, для			выпуска	продукции	в объемеx первой		отрасли
					1
необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную
x1 (a11 p1 + a21 p2 + ... + an1 pn ) . Оставшуюся				часть дохода, называемую добавленной
стоимостью, обозначим V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и
налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).
Таким образом, имеет место следующее равенство:
			х1 р1 = x1 (a11 p1 + a21 p2 +... + an1 pn ) +V1 ,
Разделив это равенство на x1 , получаем
			р1 = a11 p1 + a21 p2 +... + an1 pn +n1 ,
Где n1 =	V1	– норма добавленной стоимости(величина				добавленной
	x1

стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Подобным же образом получаем для остальных отраслей:

			р2	= a12 p1 + a22 p2 + ... + an2 pn +n 2
				…
			рn	= a1n p1 + a2n p2 + ... + ann pn +n n
В матричной форме эти равенства можно записать
	æ p			Р = АТ Р +V ,
		ö
	ç 1	÷
Где	ç p2 ÷		– вектор-столбец цен ( pi – цена единицы
	P = ç	÷
	ç...	÷
	ç	÷
	è pn	ø

отрасли),

æv

ö

ç

1

÷

çv2

÷

– вектор-столбец норм добавленной стоимости.

V = ç

÷

ç...

÷

ç

÷

èvn

ø

æ a

a

...

a

n1

ö

ç

11

21

÷

А

Т

=

ça12

a22

...

an2 ÷

– транспонированная

матрица

ç

÷

ç ...

a

...

a

÷

ça

2n

nn

÷

è

1n

ø

продукцииi-й

коэффициентов

прямых затрат.

Очевидно, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что вектор валового продуктаX заменен на вектор цен P , С – на V , а A – на AT .

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющуюся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Задачи линейного программирования

Во многих экономических задачах возникает проблема выбора каких-либо параметров с целью получения наилучшего значения некоторого критерия. Типичным примером такой задачи является проблема, стоящая перед предприятием, которое должно выбрать номенклатуру и объемы выпуска продукции, дающие максимальную прибыль, при условии, что используемые ресурсы ограничены. В случае, когда прибыль (целевая функция) и ограничивающие условия (ограничения) линейно зависят от варьируемых параметров и математическая модель задачи описывается линейным соотношениями, то соответствующая задача оптимизации называетсязадачей

линейного программирования.

Сам термин линейное программирование является буквальным переводом английского термина linear programming, более точный перевод которого означает линейное планирование и который применяется для обозначения задач оптимального планирования ресурсов, математическая модель которых линейна. В рассматриваемом контексте термин программирование не имеет отношения к разработке программ на компьютере.

Впервые сформулировал и решил в1939 году задачи, позднее названные задачами линейного программирования, советский математик Л.В. Канторович, рассматривая вопрос об оптимальной работе предприятия по производству фанеры. В 1975 «…за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов»

Канторовичу	была	присуждена	Нобелевская	премия(совместно	с
американским экономистом Т.Ч. Купмансом)

В общем виде математическая формулировка основной задачи линейного

программирования выглядит следующим образом.

, при

Требуется найти значения

действительных переменных, х

,..., х

1 2

n

которых целевая функция (показатель эффективности)

L( X ) = c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn + c

принимает экстремальное значение при ограничениях:

ìа11 х1 + а12 х2 +... + а1n xn

£ b1

ï

+ а22 х2 +... + а2n xn

£ b2

ïа21 х1

í

ï...

ïа

m1

х

+ а

m 2

х

2

+... + а

mn

x

n

£ b

î

1

³ 0 ,

m

хk

Где aij , bi , c j , c – заданные постоянные величины i = 1,2,...,m , j = 1,2,..., n , k Î{1,2,...n}.

Если все ограничительные условия, накладываемые на элементы решения, кроме требованияхk ³ 0 , являются уравнениями, то в этом случае задачу линейного программирования называют канонической задачей линейного программирования (сокращенно КЗЛП).

Точку или точки(если их несколько), удовлетворяющие системе ограничений, называют допустимым решением (планом) задачи линейного программирования и обозначают Х. Множество всех допустимых решений называют областью допустимых решений (сокращённо ОДР).

Допустимое решение, в котором достигается экстремальное значение целевой функции, называют оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования и обозначают Хопт.

Формулировку общей задачи линейного программирования(сокращенно ОЗЛП) можно записать более компактно:

n
L( X ) = åc j x j + c ® max (min)
j=1
При ограничениях:
n
åaij x j £ bi	, i = 1,2,...,m ,
j=1	k Î{1,2,...n}.
хk ³ 0 ,

Пример.

Компания производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: М1 и М2.

Необходимая информация представлена в следующей таблице:

		Расход сырья			Максимально
		на 1 тонну краски			возможный
		Для наружных	Для		ежедневный
		работ	внутренних		расход сырья
			работ
	Сырье М1	6	4		24
	Сырье М2	1	2		6
	Доход на тонну	5	4
	краски
	(тыс.дол.)
	Отдел маркетинга	компании ограничил ежедневное производство краски
для внутренних работ до2т., а кроме того этот					показатель	не должен
превышать более чем на тонну показатель выпуска краски для внешних работ.
Цель компании:
Определить оптимальное соотношение между					видами	выпускаемой
продукции для максимизации общего ежедневного дохода.

Итак, пусть Х1 – объем ежедневного производства краски для внешних работ, а Х 2 – объем ежедневного производства краски для внутренних работ.

Тогда ежедневный доход компании будет					равен5Х1 + 4 Х 2	– это и есть наша
целевая функция Z ( X ) , которую нужно максимизировать.
Разберемся		с	ограничениями: из		данных таблицы,		максимальный
ежедневный	расход		сырья	М1 не должен	превышать24, т.е		6Х1 + 4 Х 2 £ 24 .
Аналогично	максимальный			ежедневный расход		сырья2 неМ должен

превышать 6, т.е. Х1 + 2 Х 2 £ 6 .

Далее известно, что отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ 2дот, т.е. Х 2 £ 2 , и объем ежедневного производства краски для внутренних работ не должен превышать более чем на 1 тонну объем ежедневного производства краски для внешних работ, т.е. Х 2 - Х1 £1.

И последнее, для того, чтобы эта задача имела смысл, объемы Х1 и Х 2 должны быть положительны, т.е. Х1 ³ 0 и Х 2 ³ 0 .

Так, составленная математическая модель ЗЛП выглядит следующим образом:

Z ( X ) = 5Х1 + 4 Х 2 ® max

ì6Х1 + 4Х 2 £ 24

ïïХ1 + 2Х 2 £ 6

í

ïX 2 £ 2

ïîX 2 - X1 £1

X1 ³ 0 .

X 2 ³ 0

МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ А

Модель международной торговли(кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже

торговые войны.
Рассмотрим	три страны-участницы торговли сгосударственными

бюджетами Х1 , Х 2 и Х 3 , которые условно назовем США, Германия и Кувейт. Будем считать, что весь госбюджет страны тратится назакупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть, например, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри

страны,	1	бюджета на товары из Германии, оставшуюся	1	бюджета – на
4		4

товары из Кувейта. Германия тратит поровну свой бюджет на закупку товаров

США, внутри страны и у Кувейта. Кувейт, в свою очередь, тратит 1 бюджета

2

на закупку товаров у США, 1 бюджета на закупки в Германии и ничего не

2

закупает внутри страны.

Введем структурную матрицу торговли:

Пусть aij – часть госбюджета, которую j-я страна тратит на закупки

товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы A в каждом столбце равна единице.

После подведения итогов торговли за год страна под номером i получит выручку р1 = аi1 X1 + ai 2 X 2 + ai3 X 3 . Например, США будут иметь выручку:

Для того чтобы торговля была сбалансирова, необходимоной потребовать бездефицитность торговли для каждой страны: pi ³ X i для всех i.

Теорема (об условии бездефицитной торговли):

Условием бездефицитной торговли являются равенства pi = X i для всех i.

В матричной форме эти равенства выглядят следующим образом:

АХ = Х ,

æç Х 1 ö÷

Где Х = ç Х 2 ÷ .

çè Х 3 ÷ø

Обобщая равенство АХ = Х , определим понятия собственного вектора и собственного значения матрицы A.

Определение:

	æ	а	а	...	а	ö
	ç	11	12		1n ÷
Пусть дана квадратная матрица	ça21		a22	...	a2n ÷
	A = ç		...			÷ .
	ç					÷
	ç		an2	...		÷
	èan1				ann ø

Ненулевой вектор

Х

называется собственным

вектором матрицы А,

если выполняется соотношение:

AХ = lХ

(*)

Где l

– некоторое число, которое называется собственным значением

матрицы.

Равенство (*) может быть записано в виде: (А - lЕ )Х =

или

0

ì(а11 - l)х1 + а12 х2

+ ... + а1n xn

= 0

ï

х1 + (а22 - l)х2

+ ... + а2n xn

= 0

ïа21

í

(**)

ï...

ïа

n1

х + а

n

2

х

2

+ ... + (а

nn

- l)x

n

= 0

î

1

Следовательно, собственный вектор Х

является ненулевым

решением

однородной системы (**), а собственные значения определяются из условия:

А - lЕ

= 0

(***)

Уравнение (***)

называется

характеристическим уравнением. Его

корни – это и есть собственные значения.

Говорят так: X есть собственный вектор матрицы A, принадлежащий ее

собственному значению λ .

Таким образом, в рассмотренном

примере из

соотношения

АХ = Х

следует, что «вектор

бюджетов»

X

является

собственным

вектором

структурной

матрицы

торговли

A,

а

соответствующее собственное

значение равно единице:

λ=1 (т.к. АХ = 1× Х ).

Существование такого собственного вектора вытекает из следующей

теоремы:

Если в матрице A сумма элементов каждого столбца равна единице, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному значению

λ=1.

	Пример.
	Определить					собственные значения и		собственные	векторы	матрицы
æ- 6			8	- 2	ö
ç			2	8	÷
А = ç 5					÷ .
ç	3		- 4	1	÷
è					ø
	Решение:
	Составим характеристическое уравнение:
		- 6 - l		8		- 2
			5	2 - l		8	= 0
			3	- 4 1 - l
	Посчитаем					этот	определитель, получим	l(l + 6)(l - 3) = 0 .	Корни	этого
уравнения

él1

êêl2 êël3

=-6

=0 – это собственные значения матрицы А.

=3

Найдем собственные векторы.

æ- 6

- (-6)

8

- 2 ö

æ0 8

- 2ö

æ3 - 4 7

ö

ç

5

2 - (-6)

8

÷

ç

8

÷

ç

÷

1. При l = -6 имеем ç

÷ » ç5

8 ÷ » ç5 8

8 ÷ »

ç

3

- 4

1 -

(-6)

÷

ç

÷

ç

- 2

÷

è

ø

è3

- 4 7 ø

è0 8

ø

æ3

- 4 7

ö

æ3

- 4 7 ö

æ3

- 4 7 ö

æ3 0 6 ö

æ

1 0 2 ö

ç

0 44

-11

÷

»

ç

0 4

-1

÷

»

ç

÷

ç

÷

ç

÷

» ç

÷

» ç

÷

ç

÷

ç

0 4

÷

ç

÷

ç

0 8

- 2

÷

ç

÷ è0 4 -1ø

è

-1ø

è

0 4 -1ø

è

ø

è

0 4 -1ø

Это соответствует системе:

ìх1 + 2х3 = 0

ì

х

= -2х

Þ

ï

1

х

3

í

í

.

î4х2 - х3

= 0

ï

х2

=

3

4

î

Примем х3

за свободную переменную, тогда решение запишем в виде:

æ

х

ö

æ

- 2х3

ö

æ

- 2

ö

ç

1

÷

ç

1

÷

ç

1

÷

Х 1 = ç х2

÷ = ç

х3

÷ = х3

×ç

÷

4

4

ç

÷

ç

÷

ç

÷

х3

ç

÷

ç

1

÷

è

ø

è

х 3 ø

è

ø

Приняв х3 = 4с1 , где с1 Î R \ {0}(т.е. c1 – любое действительное число, кроме

нуля), запишем общее решение однородной системы уравнений в виде:

æ

ö

æ- 8ö

ç

- 2÷

Х

= 4c ×ç

1

÷ = c

×

ç

1

÷ .

1

ç

1

ç

4

÷

1

÷

ç

÷

ç

1

÷

4

è

ø

è

ø

Таким

образом,

собственный вектор

матрицы , Асоответствующий

собственному значению l = -6 :

æ

- 8ö

V1

ç

÷

, где с1 Î R \ {0}.

= c1 ×ç

1 ÷

ç

÷

è

4 ø