ГУба Н.В._Лекции по математике 1 курс ЗФО
.pdf
|
æ- 6 - 0 |
8 |
- 2 ö |
æ- 6 8 |
- 2 |
ö |
æ 3 |
- 4 |
1 |
ö |
||||||
2. При l2 = 0 имеем |
ç |
5 |
2 - 0 |
8 |
|
÷ |
ç |
|
2 |
8 |
÷ |
ç |
|
2 |
8 |
÷ |
ç |
|
÷ » ç 5 |
÷ » ç 5 |
÷ » |
||||||||||||
|
ç |
3 |
- 4 1- |
0 |
÷ |
ç |
3 |
- 4 1 |
÷ |
ç |
- 6 8 |
- 2 |
÷ |
|||
|
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
||||||||||
æ 3 |
- 4 |
|
1 ö |
|
æ |
3 - 4 1ö |
|
|
|
æ3 - |
4 1 |
ö æ |
39 0 51ö æ13 0 17 |
ö |
|||||||||||||||
ç |
|
2 |
|
|
÷ |
|
» |
||||||||||||||||||||||
» ç 5 |
|
|
8 ÷ » ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
» ç |
|
÷ |
» ç |
÷ . |
||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
ç |
0 26 19 |
÷ |
ç |
÷ |
|
|
4 |
|
|
÷ è |
5 2 8ø |
|
|
|
è0 26 19 |
ø è |
ø è 0 26 19 |
ø |
|||||||||||||||||
è- 3 |
-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это соответствует системе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìх |
|
= - |
17 |
|
х |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ì13х1 +17х3 |
= 0 |
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Þ |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
í |
|
|
= 0 |
|
í |
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
î26х2 +19х3 |
|
|
|
ïх |
2 |
= - |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
26 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Примем х3 |
за свободную переменную, тогда решение запишем в виде: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
æ |
- |
17 |
х3 |
|
ö |
|
|
|
|
æ |
- |
17 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
æ х1 |
ö |
13 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
÷ |
ç |
|
19 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
19 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Х 2 = |
ç х2 ÷ = |
ç |
- |
|
|
х3 |
÷ |
= |
х3 |
× |
ç |
- |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
è х 3 |
ø |
ç |
|
х |
3 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||
Приняв |
х3 |
= -26с2 , |
где |
|
|
с2 Î R \ {0} (т.е. |
|
c2 |
– любое |
|
действительное число, |
||||||||||||||||||
кроме нуля), запишем общее решение однородной системы уравнений в виде:
|
|
æ |
- |
17 |
ö |
|
|
|
||
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
||
|
|
13 |
æ |
34 |
ö |
|||||
|
|
ç |
|
÷ |
||||||
|
|
×ç |
|
|
19 |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
Х 2 |
= -26с2 |
- |
= с2 ×ç 19 ÷ . |
|||||||
|
||||||||||
|
|
ç |
|
26 |
÷ |
ç |
- 26 |
÷ |
||
|
|
ç |
|
1 |
÷ |
è |
ø |
|||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
Таким |
образом, |
собственный |
вектор |
матрицы , |
Асоответствующий |
||||||||||||||||||
собственному значению l2 |
= 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
æ |
34 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 = с2 ×ç |
19 ÷ , где с2 Î R \ {0} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è- 26 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
- 6 - 3 |
8 |
- 2 ö |
æ- |
9 8 |
- 2ö |
æ 3 |
|
- 4 |
- 2ö |
|
|||
3. |
При l3 |
= 3 имеем |
ç |
5 |
2 - 3 |
8 |
÷ |
ç |
|
-1 |
÷ |
ç |
|
-1 |
÷ |
|
|||||||
ç |
÷ » ç 5 |
8 ÷ » ç 5 |
|
8 ÷ » |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
- 4 1- |
÷ |
ç |
|
- 4 |
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3ø |
è 3 |
- 2ø |
è- 9 8 - 2ø |
|
|||||||||
æ3 |
- 4 |
- |
2ö |
æ3 - 4 |
- 2ö |
æ3 |
- 4 |
- 2ö |
|
æ3 |
- 3 0 ö |
æ |
1 |
-1 0 ö |
|||||||||
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||
» ç0 17 34 ÷ » ç0 1 |
|
|
2 ÷ » ç |
|
|
÷ |
» ç |
|
÷ » |
ç |
|
|
÷ . |
||||||||||
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
ç |
0 1 2 |
÷ |
||
4 |
|
1 |
|
|
÷ è0 1 |
|
2 ø |
|
è0 1 2ø |
è |
ø |
||||||||||||
è0 |
8 ø |
è0 |
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Что соответствует системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ìх1 - х2 = 0 |
|
ì |
х |
= х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ï |
1 |
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
í |
|
|
Þ í |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
îх2 + 2х3 |
= 0 |
|
ï |
х3 |
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примем х2 за свободную переменную, тогда решение запишем в виде:
æ |
х |
ö |
æ |
|
|
х |
|
|
|
ö |
|
|
æ |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
||
ç |
|
|
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ç |
1 |
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х2 |
|
= х2 × |
ç |
1 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|||||||||
Х 3 = ç х2 ÷ = |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ç |
х3 |
÷ |
ç |
|
|
1 |
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
||
è |
ø |
ç |
- |
|
|
|
x2 |
÷ |
|
|
ç |
- |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
2 ø |
|
|
|
|
|
||||
Приняв х2 |
= 2с3 , где с3 Î R \ {0}(т.е. c3 – любое действительное число, кроме |
|||||||||||||||||||||
нуля), запишем общее решение однородной системы уравнений в виде: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
æ |
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
æ |
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Х 3 = 2c3 |
×ç |
|
|
|
÷ |
= c3 × |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
ç 2 ÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ç |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç- |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
è |
-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
è |
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
собственный вектор матрицы , |
Асоответствующий |
|||||||||||||||||||
собственному значению l3 |
= 3 : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ 2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
, где с3 Î R \ {0}. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
V3 = c3 ×ç 2 ÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
- 8ö |
æ |
34 ö |
|
Итак, матрица А имеет собственные векторы: |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
и |
|||||||||||||||||
V1 = c1 ×ç |
1 ÷ , V2 |
= с2 ×ç |
19 ÷ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
4 ø |
è |
- 26ø |
|
æ 2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
Î R \ {0}, |
i = {1,2,3} . |
|
|
|
|
|
|||||||||
V3 = c3 ×ç 2 ÷ , где сi |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
______________________
Вернемся к отысканию собственного вектора X в модели международной торговли. Система уравнений для нахождения собственных векторов матрицы
æ |
1 |
1 |
1 |
ö |
ç |
2 |
3 |
2 |
÷ |
А = ç 1 |
4 |
1 |
1 |
÷ |
при собственном значении λ=1 |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
3 |
2 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ç 1 |
4 |
1 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
æ |
1 |
-1 |
1 |
3 |
|
1 |
ö |
|
æ- |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
ö |
|
æ |
- |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
1 |
|
ö |
|
æ |
- 1 |
|
1 |
1 |
ö |
||||||||||
ç |
2 |
1 |
|
|
2 |
÷ |
|
ç |
2 |
|
|
3 |
|
2 ÷ |
» |
ç |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
÷ |
|
2 |
||||||||||||||||||
ç 1 |
-1 |
1 ÷ » ç 1 |
- 2 |
1 ÷ |
ç |
|
|
|
|
- 1 |
2 |
|
|
3 ÷ |
» ç |
|
0 |
3 |
2 |
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
2 ÷ |
|
ç 4 |
|
|
3 |
2 ÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 ÷ |
|
ç |
|
|
- 1 |
3 ÷ |
||||||||||||||
ç 1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
-1 |
÷ ç 1 |
|
|
1 |
- |
1 |
÷ |
|
ç |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
3 |
|
÷ |
|
è |
|
|
|
2 |
4 ø |
||||||||||||
è |
|
4 |
|
3 |
|
ø |
|
è |
4 |
|
|
3 |
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ì |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
3 |
|
|
|
ö |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ï- |
|
|
Х |
|
+ Х 2 + Х |
3 = 0 |
|
|
|
|
- |
|
Х |
|
+ |
|
Х |
|
+ |
Х |
|
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
ï |
|
|
1 |
|
ç |
|
|
3 |
÷ |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 è |
2 |
|
|
ø |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ï |
- |
Х |
|
+ |
Х 3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
Х 2 |
= |
|
3 |
|
Х 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ï |
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìХ |
1 |
= 2Х |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û í |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïХ 2 |
= |
|
|
|
Х 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Примем Х 3 |
за свободную переменную, |
тогда решение запишем |
в виде: |
|||||||||
æ |
Х |
|
ö |
æ 2 Х 3 |
ö |
æ |
2 ö |
|
|
|
|
|
ç |
|
1 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
Далее, приняв |
Х 3 = 2 , возьмем |
в |
качестве |
Х = ç Х 2 |
÷ |
= ç 3 Х 3 |
÷ |
= Х 3 ×ç |
3 |
÷ . |
||||||
ç |
|
|
÷ |
ç 2 |
÷ |
ç |
2 |
÷ |
|
|
|
|
Х 3 |
ç |
÷ |
1 |
|
|
|
|
|||||
è |
ø |
è Х 3 |
ø |
è |
ø |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ4 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
собственного вектора Х = ç3 ÷ . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è2 |
ø |
|
|
|
В частности, это означает, что сбалансированность торговли этих трёх |
||||||||||||
стран |
|
может |
|
быть |
достигнута только в том ,случаекогда госбюджеты |
|||||||
находятся в отношении: |
|
Х 1 : Х 2 : Х 3 = 4 : 3 : 2 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||