20.3. Математические модели биполярных транзисторов

Математическая модель БТ, как и любого другого электронного прибора, с той или иной степенью точности описывает его электрические свойства с помощью математических выражений или эквивалентных схем. Электрические характеристики эквивалентных схем, состоящих из более простых элементов (диодов, управляемых источников тока, резисторов, конденсаторов и др.), для определенных режимов работы и диапазонов рабочих частот оказываются близкими к характеристикам реальных приборов. Поэтому математические модели используются при проведении проектирования радиоэлектронных схем на основе БТ для расчета характеристик и параметров как самого прибора, так и всей схемы в целом. Степень точности математической модели зависит от числа ее параметров или элементов эквивалентной схемы. Чем сложнее модель, тем она точнее, но тем более сложно ею пользоваться. Очень важно знать не только систему параметров каждой модели, но и диапазон ее применимости.

Существующие модели транзисторов можно разделить на два вида: нелинейные модели и малосигнальные (линейные). Нелинейные модели предназначены для математического описания БТ, работающего в режиме большого сигнала, когда амплитудные значения переменных составляющих токов транзистора ,,и напряжений между его выводами,соизмеримы с уровнем постоянных составляющих токов,,и напряжений,:

, ,;

, .

В режиме большого сигнала БТ работает в таких устройствах, как мощные усилительные каскады, генераторы синусоидальных и импульсных сигналов, различные импульсные и цифровые устройства. Кроме того, нелинейные модели позволяют рассчитывать статические ВАХ БТ.

Малосигнальные модели используются при описании устройств, в которых транзистор работает в активном режиме на линейных участках ВАХ. К ним относятся малосигнальные (линейные) усилительные каскады. В этом случае амплитудные значения переменных составляющих токов транзистора ,,и напряжений между его выводами,много меньше уровня постоянных составляющих токов,,и напряжений,:

, ,;

, .

3.2. Модель Эберса – Молла

Модель Эберса – Молла является наиболее распространенной нелинейной моделью, ее вариант для n-p-n-транзистора показан на рис. 3.1. Диод VD1 моделирует свойства эмиттерного перехода, а диод VD2 – коллекторного. ВАХ диодов аппроксимируются выражениями:

, (20.23)

, (20.24)

Рис. 3.1

где ,– параметры модели, имеющие смысл тепловых обратных токов насыщения эмиттерного и коллекторного переходов;,– коэффициенты неидеальности ВАХ эмиттерного и коллекторного переходов БТ;– тепловой потенциал микрочастицы, при температуреT=300 К тепловой потенциал принимает значение ;k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура перехода; q – элементарный заряд. Положительными считаются токи ,и напряжения,, соответствующие прямым включениям переходов. Положительные направления токов во внешних выводах эмиттера, базы и коллектора совпадают с направлениями токов в активном режиме. (Система индексов имеет следующий смысл:,, где,и– потенциалы эмиттера, базы и коллектора. При перемене порядка индексов изменяется знак, например).

Источники токов отображают взаимодействие переходов. Источник тока , подключенный параллельно диодуVD2, учитывает передачу тока из эмиттера в коллектор, а источник тока – из коллектора в эмиттер. Токи,, если они положительны, имеют смысл токов инжекции через переходы. Заметим, что в первом приближении токи,не зависят от напряжения, действующего в той цепи, в которую включен соответствующий источник тока. Параметры моделииявляются статическими коэффициентами передачи по току в схеме с общей базой (ОБ) в активном и инверсном режиме работы БТ и определяются соответственно соотношениями

,

,

где , – обратные или тепловые токи коллекторного и эмиттерного переходов. В транзисторе выполняется соотношение взаимности , поэтому только три из четырех параметров являются независимыми.

Таким образом, в модели (см. рис. 3.1) диоды VD1, VD2 отображают инжекцию (экстракцию) носителей через эмиттерный и коллекторный переходы. Параметр и источник токаотражают инжекцию электронов из эмиттера в базу, их перенос через базу в коллектор, а также нежелательную инжекцию дырок из базы в эмиттер. Аналогично параметри источник токаотражают инжекцию электронов из коллектора в базу, их перенос через базу в эмиттер и инжекцию дырок из базы в коллектор. Токи эмиттера и коллектора (см. рис. 3.1) связаны с внутренними токами модели соотношениями

, (20.25)

. (20.26)

Подставив (3.1)–(3.2) в (3.3)–(3.4), получаем систему уравнений, связывающих токи БТ с напряжениями:

; (20.27)

; (20.28)

. (20.29)

Из этих уравнений можно получить аналитические выражения для любого семейства ВАХ БТ в любой схеме включения.

Резисторы ,,моделируют суммарное сопротивление: объемного сопротивления, омического контакта и вывода эмиттера, базы и коллектора соответственно. Из-за падения напряжения, обусловленного протеканием через них токов выводов БТ, токи диодовVD1 и VD2 определяются не внешними напряжениями и, а внутреннимии. Конденсаторы,,, – моделируют барьерные и диффузионные емкости эмиттерного и коллекторного переходов транзистора, т.е. отражают инерционные свойства переходов при работе БТ с переменными сигналами. Барьерные и диффузионные емкости зависят от напряжений и, поэтому в модели используются либо усредненные постоянные значения емкостей – параметры модели, либо для повышения точности зависимости,, что приводит к увеличению числа параметров модели.

Рассмотренная модель Эберса – Молла не учитывает некоторых особенностей работы реального транзистора: ток рекомбинации эмиттерного перехода, эффект модуляции толщины базы, эффекты высокого уровня инжекции, токи термогенерации и утечки переходов и др. Поэтому точность модели невелика, а ее применимость ограничена. Для повышения точности модели в нее вводят дополнительные элементы, учитывающие те или иные эффекты, перечисленные выше, и получают более сложные модификации исходной модели. Однако при усложнении модели ее точность хотя и возрастает, но возникают трудности экспериментального определения все большего числа параметров, многие из которых не могут быть измерены непосредственно. Поэтому применяемые для расчета электронных схем модифицированные модели Эберса – Молла представляют компромисс между точностью и сложностью.