Tipovye_raschyoty_po_vyssh_matematike_Ch_1_Uch

1.15. а) Множество всех действительных чисел, принадлежащих проме-

жутку [ 1; 8];

1		2	3
		4
б) множество всех матриц вида A	0		0	, где i ;
	5	6	0

в) множество всех ограниченных функций f (x), заданных на ;

г) множество всехплоских векторов,образующих угол с осью Ox.

6

1.16. а) Множествовсехдействительныхчисел,имеющих вид k2, k ;

			2	0
	1			0
б) множество всех матриц вида A 3		4			, где i ;
	0	0		0

в) множество всех неположительныхфункций f (x), заданных на ; г) множествовсехплоских векторов, модулькоторыхнепревосходит10.

1.17. а) Множество всех четных чисел, больших 6;

			2	0
	1			4
б) множество всех матриц вида A 3		0			, где i ;
	0	5		6

в) множество всех функций	f (x), имеющих период ;
г) множество всеx плоскихвекторов, принадлежащих первой четверти.
1.18. а) Множество всех иррациональных чисел;
		0			2
			1
б) множество всехматрицвида A		0	3	4		, где i ;
		5	0	0
в) множество всех функций	f (x), заданных на и удовлетворяю-
щих условию: f (1) 3;

г) множество всех плоских векторов, перпендикулярных оси Oy. 1.19. а) Множество всех целых чисел, кратных 2, но не кратных 5;

			2	0
	1			5
б) множество всехматриц вида A 3		4			, где i ;
	0	0		6

в) множество всех неотрицательных функций f (x), заданных на ; г) множествовсех плоских векторов, первая координатакоторыхравна3.

1.20. а) Множество всех действительных чисел,модулькоторых меньше 3;

21

					0		2
				1	0
	б) множество всех матриц вида		A 3			4 , где i ;
				0	0	0
	в) множество всех линейных функций			f (x), заданных на ;
	г) множество всех плоских векторов, исходящих из начала коорди-
нат и принадлежащих четвертой четверти.								a		n, где
1.21. а)		Множество всех действительных чисел вида							2
n ,	a ;
				0	0
					0	1
	б) множество всех матриц вида		A 2			0		, где i ;
				3	4
						5
	в) множество всех линейных функций f (x), заданных на и удов-
летворяющих условию: f (2) 0;
	г)	множество всех плоских	векторов,		ортогональных				вектору

a( 2;1).

1.22.а) Множество всех действительных неотрицательных чисел;

	0	0
		3	1
б) множество всех матриц вида A 2			0	, где i ;
	0	4	5

в) множество всех постоянных функций, заданных на ; г) множествовсех плоскихвекторов, сумма координаткоторых равна 0.

1.23. а) Множество всех неправильных рациональных дробей;

		0			2
			1
б) множество всех матриц вида A 0			3	0		, где i ;
			4	0
		0
в) множество всех квадратичных функций
f (x) ax2 bx c,	a 0,	a,b,c ;

г) множествовсех плоских векторов, принадлежащих третьей четверти. 1.24. а) Множество всех чисел, кратных 7;

	0	1	0
	0	2	0
б) множество всех матриц вида A				, где i ;
	3	4	5

в) множество всех многочленов (x), степенькоторых не превосходит 3;

г) множествовсех плоскихвекторов, образующих угол 2 с осью Ox.

3

22

1.25. а)Множествовсехдействительныхчиселвида 3n a, где n , a ;

1		2	3
			5
б) множество всех матриц вида A 4		0		, где i ;
	0	6	0

в) множество всех многочленов вида ax4 bx2				c, где a,b,c ;
г) множество всех плоских векторов, разность координат которых
является нечетным числом.
1.26. а) Множество всех составных чисел;				0
			2
	1			4
б) множество всех матриц вида A	0	3			, где i ;
	0	0		5

в) множество всех периодических функций, определенных на ; г) множествовсех плоскихвекторов,первая координата которыхравна 1.

1.27. а) Множество всех целых чисел, кратных 3, но не кратных 9;

		0	0
	1	3	4
б) множество всех матриц вида A 2				, где i ;
	0	0	5

в) множество всех невозрастающих функций, заданных на отрезке

[ 10; 10];

г) множество всех плоских векторов, принадлежащих четвертой

четверти.

1.28. а) Множество всех действительных чисел, меньших 5;

		0		2
	1
б) множество всех матриц вида A	0	0	3 , где i ;
	4	5	0

в) множество всех неубывающих на отрезке [1; 5] функций; г) множество всех плоских векторов, образующих тупой угол с дан-

ной прямой.

1.29. а) Множество всех чисел, имеющих вид 4k, где k ;

	0	0
		0	1
б) множество всех матриц вида A 2			0	, где i ;
	3	4	0

в) множество всех многочленов степени 3; г) множество всех плоских векторов, сумма координат которых является

четным числом.

1.30. а) Множество всех правильныхнесократимых рациональных дробей;

23

		0		0
	1			3
б) множество всех матриц вида A	0		2		, где i ;
	0	4		5

в) множество всех функций, имеющих период 2 ; г) множествовсех плоскихвекторов, принадлежащих второйчетверти.

Задание 2.

Докажите, что данный упорядоченный набор векторов образует базис линейного пространства V , и найдите координаты вектора y в этом базисе.

В задаче а) V 3; в задаче б) V пространство всех матриц второго порядка; в задаче в) V пространство многочленов, степень которых не превосходит трех:

2.1. а)	e1 (0;1;2),								e		2 (1;0;1),									e	3 ( 1;2;4),										y			( 2;4;5);
б) A				3	2										1			0						A			1 3								A	0 3
					,					A										,												,						,
1										2						3		2				3						8 9							4
				1	4																															1 2
			4		9
Y						;
			47		49														(x) (x 1)2, f													(x) (x 1)3,
в) f (x) 1,						f	2		(x) x 1, f									3												4
1
		Y(x) x3 2x2 3x 4.
2.2. а)	e	1 (1;0; 1),										e	2 (2;1;1),								e		3 (0;1;1),							y			(3; 1;2);
б) A				1	1							A			1							0							1						1	A	1 1
							,																	, A											,				,
1					2					2						3											3									4		0
				1																1									7					2			2
			3		5
Y						;
				2	6
																			f3(x) x2,										f4(x) x3 x 1,
в) f1 (x) 1,						f2(x) x 3,
		Y(x) x3 x2 2x 5.
2.3. а)	e	1 (1; 1; 1),											e	2	(0;1;0),									e	3	(1;3;2),								y	( 1;4;2);
б) A				1	3							A			2			1										0							1
								,														,				A									,
1					7					2										1							3
				0											3													1					2
		A			1				2						Y			0						2
											,															;
			4		3																	2
									0								8
в) f (x) 2, f						2		(x) x, f								3	(x) x2 3, f											4	(x) x3 x2 2,
1

24

Y(x) x3 x2 x 4.

2.4. а)	e1 ( 1;3;1),				e	2	(1;0;4),		e	3 (2; 1;1),			y	(4; 3; 1);
б) A			2	6			A	1	0		A	0	2		A	1	1
				,					,					,			,
1							2				3				4
			0	1				3	1			3	1			2	3
		11		46
Y					;
			8	16

в) f (x) 2,						f	2		(x) x 2, f														3		(x) (x 2)2, f										4			(x) (x 2)3,
1
	Y(x) 2x3 4x2 3x 6.
2.5. а)	e1 (2; 4;3),													e		2 ( 1;0;5),											e	3	(1; 2; 1),														y	(3;		8;1);
б) A			1					0						A				3							2						1									0
										,																,			A													,
1													2						1										3					1						2
			6					4																	0
				1		0													6						0
A									,					Y												;
4						3
			1															1							1
в) f (x) 1,						f	2		(x) x 1,										f			3		(x) x2 4, f								4		(x) x3 x 1,
1
Y(x) 3x3 2x2 x 3.
2.6. а)	e1 (3; 1;4),												e		2 (1; 3; 3),													e		3 (0; 1; 2),														y	(3;5;9);
б) A			0		2									A				1							0					A	1									1
										,																	,														,
1					4								2						1										3				0							2
			1																						2
A			1					2								Y		1							8
											,																;
4				1				3																	4
																		3
в) f (x) 3,					f	2		(x) x 2,											f		3			(x) x2 x 1, f													4			(x) x3 1,
1
Y(x) 2x3 3x2 5.
2.7. а)	e	1 (1; 5; 1),														e	2 (0;1; 3),											e	3 (1; 1;1),												y		(1; 6;2);
б) A			3		2									A				1							2					A	0									3
										,																	,														,
1				0		1							2							3									3											2
																									4						1
A			1		1													7							1
										,					Y										;
4				2			0
																		0						2
в) f (x) 2, f										2	(x) x, f								3	(x) x2 2x 1, f																4			(x) x3 2x2 1,
1
Y(x) 4x3 x2 3x 1.
2.8. а)	e1 (1;3;7),										e	2		( 1;0;1),											e	3 (2;1;4),											y			( 3; 9; 1);
б) A			4					0								A		1							3					A	0									1
											,																,														,
1				3				1					2						0						4				3				2
																																								1

25

A	1		1		11		2
				,	Y			;
4		0	2			3	1

в) f (x) 1, f						2		(x) x 1,													f	3	(x) (x 1)2,													f	4		(x) (x 1)3,
1
Y(x) x3 x2 2x 3.
2.9. а)	e1 ( 2;3;5),											e	2 (1; 4;2),																	e	3 (0;1;3),										y		(5; 8;22);
			2					0						A						1								4					A		1									0
б) A										,																				,															,
1														2							0											3					1
			2 1																						3																	1
			0		2											Y				1								8
	A										,																			;
4				3																	3							7
			1
в) f (x) 2,						f	2			(x) x 3, f													3	(x) x2 3x 4,
1
f4(x) x3 2x2 x,																				Y(x) 2x3 4x 12.
2.10. а)		e1 (7;0; 8),													e		2	(1; 3;4),													e		3 (0;1; 1),											y		( 7;13; 5);
б) A			5			1									A					1				3								A			0					3						A	2 1
											,																		,															,				,
1								0						2							1					1						3				2 1									4
			2																																												3 0
			4							4
	Y										;
			1					1																				(x) x2, f										(x) 2x3 x 6,
в) f (x) 3, f											2	(x) 3x 1,												f		3										4
1
	Y(x) 4x3 5x2 x 7.
2.11. а)		e1 (1; 2;4),												e		2		( 3;5;4),													e	3 (1;0; 2),												y		( 6;14;9);
б) A			1								1								A			0							2						A				1						1
														,																			,													,
1				0															2																3					2
										2														1 3																						1
	A		1		3											Y				4								5
											,																			;
4																					3							1
			0						1
в) f (x) 2,							f		2		(x) x 5,													f	3		(x) x2								x 1,
1
	f4(x) x3 2x2 x,																				Y(x) 2x3 4x 6.
2.12. а)		e1 (5; 1;0),												e		2		(1;3; 2),													e	3 (4;1; 1),												y	(3;8; 7);
б) A			1		4										A					0						4						A			1							2
											,																		,																,
1														2										2								3						1						0
			1		2															1
	A			2					1														15							11
												,						Y															;
4																						32
			4								3																			23
в) f (x) 1, f											2	(x) x 2,												f	3		(x) (x 2)2,													f	4	(x) (x 2)3,
1

Y(x) 2x3 4x2 8x 3.

26

2.13. а)	e1 (1; 6;3),										e		2 ( 2;1; 5),										e			3 ( 1;4; 7),													y	( 3;6;13);
б) A			2		3									A		1		3								A				0	1								A		1		7
									,													,										,											,
1				4		0						2												3													4
																3		2												3	2										0		2
			1		3
Y								;
					1
			0																	f3(x) x2 4,
в) f1 (x) 1,								f2(x) x 2,
f4(x) x3 x2 x 1,																		Y(x) 4x3 x2 3x 1.
2.14. а)	e1 ( 2;3;7),											e		2 (1;6;5),							e		3 (0;2; 3),									y		(11; 6;5);
б) A			1 5										A			0				4						A				1		3									2 0
									,													,												, A									,
1				0			4					2												3													4
																3				2										4		0									1		1
				2		6
Y									;
						0
			4																				(x) x2 1,														(x) x3 x 1,
в) f (x) 4, f									2	(x) x 1,										f	3											f			4
1
Y(x) x3 5x2 x 2.
2.15. а)	e	1 ( 5;2; 3),												e	2 (1; 1;0),										e		3 ( 4;1;6),										y		(1; 7; 6);
б) A			5		1								A			1			1						A				0		2							A			1	1
									,													,										,											,
1				0		5						2							0					3													4
																1													3		4										1		2
			12		6
Y										;
						17
			4																	(x) x2																	(x) x3 1,
в) f (x) 1,					f	2		(x) 2x 1, f											3										2x 3,			f				4
1
Y(x) 3x3 7x2 4x 15.
2.16. а)	e1 (1;7; 5),											e		2 (2; 3; 6),												e		3	(0;4; 1),										y	(1; 1; 2);
б) A			3			5							A			4				3										3						1
									,															, A																,
1				0								2						2											3		0
					1																1																1
A			1		7									Y		1		2
									,													;
4					3													5
			1													4
в) f (x) 2, f							2		(x) x, f								3	(x) x2 2x 4,
1
f4(x) x3 2x2 x 1,																			Y(x) 5x3 3x2 16x 7.
2.17. а)	e1 (4;5;1),								e		2 (1; 1; 3),												e	3 (2;7;5),								y	( 1;1;2);
б) A			1		1									A		1					6									1		3
									,															, A														,
1				2								2					3						1						3		4
					4																															4

27

A		0	3			1	3
				,	Y			;
4		5	1			6	4

в) f1 (x) 3,					f2(x) x 1,											f3(x) x2 x 2,
f4(x) x3 x2 2x 3,																Y(x) 2x3 7x2 x 8.
2.18. а)	e1 (3;0; 5),						e		2 (6; 1;1),									e		3 (1; 2;0),								y		( 4; 8; 7);
б) A		0		3						A				1		3					A					1		3
						,											,											,
1			7		1			2											3
														4 2												2		4
A			0	1						Y			7		3
					,												;
4														4	5
		1		2
в) f1 (x) 1,					f2(x) 2x 3,											f3(x) x2 1,
f4(x) x3 3x2 x 2,																Y(x) 3x3 x2 5x 1.
2.19. а)	e1 (1; 1; 7),									e	2 (8;0; 3),										e		3	(2;1;4),				y		( 1;0;9);
б) A		2			1					A				0		1					A					5	1				A			3 1
						,											,											,							,
1			3		0			2											3												4			2
														3		4										2	1								4
		14		5
Y					;
		13		12												f3(x) (x 3)2,
в) f1 (x) 1,					f2(x) x 3,
f4(x) (x 3)3,												Y(x) x3 6x2 9x 1.
2.20. а)	e1 (7;0;3),					e	2	(1;4; 2),									e	3		( 2;3; 5),								y		(12;				2;11);
б) A		3			1					A				2			4							A		0				1
						,													,												,
1			3		0			2							1	2									3
																										2		3
	A		1	3										13			2
						,						Y						;
4			1												5
					1												1
в) f1 (x) 1,					f2(x) 5x 3,											f3(x) 2x2 x 4,
f4(x) x3 x 2,													Y(x) x3 4x2 6x 5.
2.21. а)	e1 ( 9;0; 1),								e		2 (3; 7;1),									e		3		(6;2;1),				y	(6;0; 3);
		2	5				A						0 1			A									1 3							1 3
б) A					,										,												,	A							,
1				1				2									3							1		0		4						1
		0											1 1																			4
в) f1 (x) 1,				f2(x) x 2, f3(x) x2 3x 5,
f4(x) x3 2x2 3x 1,																	Y(x) 2x3 4x2 7x 11.
2.22. а)	e1 (0; 6; 8),									e		2 (1; 7; 9),												e	3 ( 3; 5;1),							y	( 9;3;1);

28

б) A			6			3				A						1 1										A	2	3							A	1 3
								,													,									,							,
1				0			1		2									1		0				3											4
																											0	1								1	1
				8		11
Y								;
			2
							1												f3(x) x2 2x 1,
в) f1 (x) 2,							f2(x) x 1,
f4(x) 2x3 5x 6,																	Y(x) 4x3 2x2 8x 16.
2.23. а)	e1 (5; 4;3),							e	2 (0;1; 5),												e	3			(1;0; 9),					y		( 6; 6;0);
б) A			7				1											0 3								A	1	2
								, A													,									,
1					0				2															3
								3										1 1									0	5
A		1					2							Y			4			11
								,													;
4
		1					1										3			0
в) f1 (x) 1,								f2(x) x 5,												f3(x) x2,
	f4(x) x3 2x2 3x 4,																			Y(x) 2x3 5x2 3x 1.
2.24. а)	e1 ( 1;2; 8),									e			2 (3;7; 5),									e				3 (0; 3;1),						y		(3; 9; 12);
б) A			3			7					A					1 6					A					2 5				A						3 4
								,												,								,									,
1						2			2												3						0 1		4							1 5
			1													1 2
			8		19
Y							;
			4		12
																				f3(x) 2x2 x 1,
в) f1 (x) 3,							f2(x) x 1,
f4(x) x3 x2 2x 3,																			Y(x) 3x3 x2 2x 7.
2.25. а)	e1 (1; 6; 5),										e			2 (8; 3;1),								e			3 (2;1;0),				y		(15;1; 5);
б) A			4				0					A						0 2								A	1	2							A	0	1
								,													,								,								,
1				3					2									5						3											4
							5													1							4 1									2	1
		15			2
Y							;
		9				22													f3(x) x2 4x 5,
в) f1 (x) 1,							f2(x) x 3,
f4(x) x3 3x2 6,																	Y(x) x3 7x2 13x 12.
2.26. а)	e1 (3; 1; 1),								e			2 ( 1;7;0),									e		3 (2;0; 1),								y		(5; 3;2);
б) A			9				0									2				1							0	1
							, A													,				A								,
1									2															3
			1			2												3 1									2		1
	A		1			3										12				8
							,				Y										;
4				5													4
						2															5

29

в) f1 (x) 2,					f2(x) x 4,											f3(x) x2 x 3,
f4(x) x3 2x2 3x 5,																Y(x) x3 9x2 2x 6.
2.27. а)	e1 (7; 8;1),					e			2		(1; 3;0),						e		3		(2;5; 3),					y		(9;9; 3);
б) A		2		5								1				3								1	4
					,		A										,				A						,
1										2											3
		1 3												4 1										3	1
		0	1				Y				7			2
A				,												;
4
		5		2							11			20
в) f1 (x) 1,				f2(x) 2x 1,												f3(x) x2 x 2,
f4(x) 2x3 x2 4x 1,																Y(x) 2x3 x2 4x 3.
2.28. а)	e1 (4; 1;5),						e		2		(3;1;1),					e	3 ( 1;3; 1),								y	( 13; 3;5);
б) A		2		1									1			1						A		1	3
					, A												,										,
1										2											3				2
		4	3										1				0							1
	A	0	2									9		7
					,				Y						;
4			3										3	1
		4														f3(x) x2 x 2,
в) f1 (x) 1,					f2(x) 3x,
f4(x) x3 2x2 3x 4,																	Y(x) 2x3 7x 5.
2.29. а)	e1 ( 7;2; 1),								e		2 (3;0; 4),									e		3 (1; 2;5),						y		( 9;0;12);
б) A		1			6						A		0				1							1		0
						,													, A										,
1										2				3							3
		3		2													1							1	2
	A	1		3							Y		1				2
						,															;
4					2									3				4
		1
в) f1 (x) 1,				f2(x) x 5,											f3(x) x2 3x 2,
f4(x) 4x3 5x2 x 1,																Y(x) 8x3 11x2 3x 12.
2.30. а)	e1 ( 1;0;3),					e		2		( 2; 6; 1),												e	3 (3;5;1),			y			(11;0; 8);
б) A		1			2					A			1 2											1			3
						,												, A												,
1					0					2							1				3
		6											3											4	2
A		1			3						Y		4		7
					,												;
4																1
		1		2									5
в) f1 (x) 2,					f2(x) x 1,											f3(x) 2x2 x 3,
f4(x) x3 4x2 x 2,															Y(x) x3 6x2 3x 10.

30