Tipovye_raschyoty_po_vyssh_matematike_Ch_1_Uch

x

1 sin

2

8.12. f (x)

,

x , x0

.

x

a,

x ,

lnsin3x

,

x

,

2

6

8.13. f (x) (6x )

x

0

.

6

a,

x

,

6

2sin x

1

,

x 3,

x0 3.

8.14. f (x) ln(x3 6x 8)

a,

x 3,

lncos2x

,

x ,

2

8.15. f (x) 1

x0 .

x

a,

x ,

lncos2x

x ,

,

x0 .

8.16. f (x) lncos4x

a,

x .

(x

3 3)sin5x

,

x ,

esin2 x

1

x0 .

8.17. f (x)

a,

x ,

	lnsin x		,	x				,
		2			2
	( 2x)
8.18. f (x)
	a,			x
							.
					2

2x 16, x 4,

8.19.f (x) sin x

	a,	x 4,

x0 2.

x0 4.

	tgx tg2				, x 2,
8.20.
	f (x) sinln(x 1)				x0 2.
			a,		x0 2,
	ln(2x 5)			,	x 3,
8.21.
	f (x) esin x 1				x0 3.
			a,		x0 3,

61

	2	x	7 2	x 1	5
						, x 1,	x0 1.
			x3 1
8.22. f (x)
	a,					x 1,

	ln(2 cosx)							,
			(3sin x 1)2
8.23. f (x)
			a,
			(x 2 )2				,
8.24. f (x) tg(cosx 1)
			a,
			3
				10 x		,
8.25.
			sin3 x
	f (x)
			a,
			e ex
8.26.
	f (x) sin5x sin3x
			a,

x ,

x0 .

x ,

x 2 , x0 2 . x 2 ,

x 1, x0 1. x 1,

, x , x0 . x ,

8.27.f (x)

8.28.f (x)

lgtgx			,	x								,
							4
cos2x
		a,		x								,
							4
		x2 x 1			1					,
		tg x
		a,

x0 4.

x 1, x0 1.

x 1,

lncos2x						,	x ,
					2
8.29. f (x) 1									x0 .
			x
		a,					x ,
cos5x cos3x									x ,
								,
		sin2 x
8.30. f (x)									x0 .
		a,							x ,

Задание 9.

Для заданных функций f (x) и g(x) составьте сложные функции f (g(x)) и g( f (x)). Исследуйте непрерывность этих функций (при наличии

62

точки разрыва определите ее тип, вычислив односторонние пределы в этой точке).

	9.1.	f (x) sin x,				g(x)				1		.
		f (x) sign x,								x 1
	9.2.						g(x) cos x.
	9.3.	f (x)	4	,		g(x) arctgx.
			x 1
	9.4.	f (x)	1		,		g(x) 5x.
			x 3								2
	9.5.	f (x) arcctg x,					g(x)						.
			2x2								x 1
		f (x)		x 1					g(x) x.
	9.6.							,

x1

9.7.f (x) x2, g(x) sign x.

9.8. f (x)

x

,

g(x) ln x.

9.9. f (x)

1

,

g(x)

x

.

x 2

9.10. f (x) 2x,

g(x) sign x.

9.11. f (x)

3

,

g(x) cos x.

2 4x

g(x) sign x.

9.12. f (x) sin x,

9.13. f (x) arcctgx,

g(x)

2

.

3 x

9.14. f (x) 3x,

g(x)

.

5

18 2x

9.15. f (x)

,

g(x) arctgx.

3x

3

3x

9.16. f (x)

x

g

(x)

,

.

2x 3

9.17. f (x) sign x,

g(x) (x 1)3.

9.18. f (x) log1 x,

g(x)

x

.

2

9.19. f (x)

3x

,

g(x)

x

.

x2 4x 3

9.20. f (x) sign x,

g(x) 7x.

63

9.21.f (x)

9.22.f (x)

9.23.f (x)

9.24.f (x)

9.25.f (x)

9.26.f (x)

9.27.f (x)

9.28.f (x)

9.29.f (x)

9.30.f (x)

2x,

g(x)

1

.

1

x 1

,

g(x) sign x.

x 2

2

,

g(x) arctgx.

x 1

5

7 2x,

g(x)

.

x 49

arcctg2x,

g(x)

1

.

2x3

3x 3

1

, g(x)

x

.

2x2 5x 2

x2 x 6,

g(x) signx.

x 1

, g(x)

2

.

4 x2

x

1 , g(x) x2 x 1. lgx

1, g(x) x2 5x 6. x

Задание 10.

Найдите точки разрыва функции y f (x) и определите их тип. Постройте график функции.

											x 0,
	3x2,								если
									если		0 x 1,
10.1. f (x) 1 x,
				1
							,		если		x 1.
	1 x
	2							,	если		x 0,
					1 x
				2
10.2.	f (x)					,			если	0 x 2,
	2 x									x 2.
	x 3, если

64

1

,

если

x 0,

2

x

10.3. f (x) ctgx,

если

0 x

,

2

4 x,

если

x

.

2

(x 1)2 1,

если

x 1,

если

1 x 3,

10.4. f (x) log2(x 1),

x 1,

если

x 3.

x,

если

x 0,

2x,

если

0 x 2,

10.5. f (x) 1

1

,

если

x 2.

2 x

3(x 2),

если

x 3,

x 7,

если

3 x 2,

10.6. f (x)

если

x 2.

ln(x 2) 1,

cos2x,

если

x 0,

если

0 x ,

10.7. f (x) x ,

1

,

если

x .

x

2

,

если

x 1,

x 1

если

1 x 1,

10.8. f (x) arcsin x,

x 1,

если

x 1.

2x 3,

если

x 0,

2 2x,

если

0 x 2,

10.9. f (x) x

lg(x 2),

если

x 2.

65

10.10.f (x)

10.11.f (x)

10.12.f (x)

10.13.f (x)

10.14.f (x)

10.15.f (x)

10.16.f (x)

x 1,

x2 2x 3,

если

если

1 x 3,

3 x,

1

log

2

,

если

x 3.

x 3

если

x 1,

2x,

если

1 x 2,

x3,

5

,

если

x 2.

2 x

1

1,

если

x 1,

x 1

если

1 x 1,

arccosx,

x 2,

если

x 1.

если

x 3,

(x 3),

2 2x,

если

3 x 0,

x

1

x 0.

,

если

2

x

log2( x), если

x 0,

если

0 x 2,

2(x 1)2,

3 x,

если

x 2.

log

3(1 x) 1,

если

x 1,

если

1 x 3,

2 x,

2

8x 12,

если

x 3.

x

1

,

если

x 1,

1 x

1 x 0,

1 x, если

если

x 0.

2x2,

66

(x 3),

если

x 2,

2

10.17.

f (x)

,

если

2 x 0,

x 2

x 1,

если

x 0.

2

x

2,

если

x

,

2

10.18.

f (x) ctgx,

если

x 0,

2

1

,

если

x 0.

2

x

x 1,

если

x 3,

если

3 x 1,

10.19.

f (x) log2( x 1),

2

2x,

если

x 1.

x

1

,

если

x 2,

x 2

10.20.

2x,

если

2 x 0,

f (x) 1

x,

если

x 0.

1

1, если

x 2,

x 2

7 x,

если

2 x 3,

10.21. f (x)

3(x 2),

если

x 3.

1

,

если

x ,

x

если

x 0,

10.22. f (x) x ,

cosx,

если

x 0.

x 1,

(x 1),

если

если

1 x 1,

10.23. f (x) arcsinx,

2

,

если

x 1.

1 x

67

lg( x 2),

если

x 2,

2 2x,

если

2 x 0,

10.24. f (x) x

3 2x,

если

x 0.

1

x 3,

log2

,

если

x 3

3 x 1,

если

10.25. f (x) x 3,

2x 3,

если x 1.

x2

4

,

если

x 2,

x 2

если

2

x 1,

10.26. f (x) x3,

2x, если

x 1.

(x 2),

если

x 1,

если

x 1;1,

10.27. f (x) arccos( x),

2

,

если

x 1.

1

x 1

10.28.f (x)

10.29.f (x)

10.30.f (x)

		1				,	если			x 0,
			x	2
							2,	если			0 x 3,
2x x
x 3,							если			x 3.
x 3,							если			x 2,
									если		2 x 0,
2(x 1)2,
log				2		x,		если		x 0.
									x 0,
2x2,							если
							если			0 x 1,
x 1,
		1
						,	если			x 1.

x 1

68

Дифференциальное исчисление функции одной переменной и приложения

Задание 1.

Найдите значения производных для функций из задач а) и б) в точке x 0, исходя из определения производной в точке.

1

arcsin(5xcos

),

если x 0,

1.1. а)

x

y

,

если x 0;

0

1

1.2. а)

arctg(x2 cos

),

если x 0,

y

3x

,

если x 0;

0

3

xsin

,

если x 0,

1.3. а)

x

y

,

если x 0;

0

cos3x cosx

если x 0,

,

1.4. а)

x

y

,

если x 0;

0

1

1.5. а)

3x

xsin

,

если x 0,

y

x

,

если x 0;

0

3

1.6. а)

x x2 sin

,

если x 0,

y

2x

, если x 0;

0

2

4

x

cos

,

если x 0,

1.7. а)

x

y

,

если x 0;

0

2

9

x

sin

,

если x 0,

1.8. а)

x

2

y

,

если x 0;

0

3

arctg(xsin

),

если x 0,

1.9. а)

x

y

,

если x 0;

0

б) y x 3x .

б) y sin 2x.

б) y x2 x 3.

б) y lg3x.

1

б) y . x2

б) y cos3x.

б) y 22x.

б) y tg3x.

б) y x2 x 3.

69

																									3
	arccos(x2 sin																													),		если x 0,
1.10. а)																											x
	y
																												,				если x 0;
	2
	ex2						cosx
1.11. а)																					,					если x 0,
								x
	y
																				,					если x 0;
	0
									2											3
1.12. а)	2x x										cos															,				если x 0,
	y																							x
																									,					если x 0;
	0
								2								7
1.13. а)	sin(x								sin													),						если x 0,
	y																	x
																				,							если x 0;
	0
								2								3
1.14. а)	sin(x									cos														),				если x 0,
	y																		x
																									,			если x 0;
	0
													3
1.15. а)	sin(xsin																	),							если x 0,
	y												x
																				,					если x 0;
	0										1
				2
	x					cos										,							если x 0,
1.16. а)										x2
	y
													,								если x 0;
	0
				2					3
	x					sin								,							если x 0,
1.17. а)									x2
	y
													,								если x 0;
	0
																									1
	arcctg(xcos																												),			если x 0,
1.18. а)																									3x
	y
																												,					если x 0;
	2																											3
																2
1.19. а)	ln(1 sin(x																				sin										)),		если x 0,
	y																											x
																												,					если x 0;
	0

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

y 1 .

4x 1

y sin x2.

y 1 .

3x 2

y 3x 2.

y 32x 3.

1

y 3x 1.

y cos(x2).

y 32x.

y log5 2x.

y ctg2x.

70