Tipovye_raschyoty_po_vyssh_matematike_Ch_1_Uch

Задание 7.

Для заданной функции y(x)

в указанной точке x0 найдите значения про-

изводной и дифференциала k -го порядка (k приводится в условии задачи).

7.1. y

2x 1

,

k 8,

x0

4.

x 3

7.2. y

1

,

k 23,

x0 0.

1 2x

7.3. y

1

,

k 7,

x0 3.

x

2 3x 2

7.4. y sin(x 1),

k 12,

x0

1.

7.5. y 23x 2,

6

k 31,

x0 1.

7.6. y ln(1 x 12x2),

k 16,

x0 0.

7.7. y (x2 2x 2)e x,

k 26,

x0 0.

7.8. y

3x 2

,

k 21,

x

1.

2x 1

0

7.9. y

8

,

k 16,

x0 0.

20 x x2

7.10. y log2(2x 7),

k 10,

x0 3.

7.11. y sin(3x 1),

k 17,

x0

1.

7.12. y 32x 3,

3

k 18,

x

1.

7.13. y ln(1 x 6x2),

0

k 23,

x0 0.

7.14. y (x2

2x 3)e x,

k 10,

x0 0.

7.15. y

5x 2

,

k 15,

x0 0.

3x 1

7.16. y

6

,

k 9,

x0 1.

8 2x x2

7.17. y ln(5x 2),

k 14,

x0 0,2.

7.18. y cos(x 1),

k 19,

x0

1.

7.19. y 52x 3,

6

k 12,

x0 2.

7.20. y ln(1 2x 8x2),

k 22,

x0 0.

81

7.21. y sin2 x,

k 28,

x0

.

x 3

6

7.22. y

,

k 13,

x

1.

2 3x

0

7.23. y

5

, k 11,

x0 2.

6 x x2

7.24. y log3(3x 1),

k 22,

x0

0.

7.25. y cos5x,

k 10,

x

.

7.26. y e3x 2,

0

5

k 41,

x

1.

7.27. y ln(1 x 20x2),

0

k 25,

x0 0.

7.28. y sin2x,

k 22,

x0

.

2 3x

12

7.29. y

,

k 29,

x

1.

2 x

0

7.30. y

7

,

k 23,

x0

2.

12 x x2

Задание 8.

Проверьте, удовлетворяет ли функция y f (x) заданному уравнению.

8.1. y x2 cos4x;		(4x3 2y)dx xdy 0.
8.2. y (1 x)e x;		(y x2e x e x)dx (1 x)dy 0.
8.3. y xsin2x;		(2x2 cos2x y)dx xdy 0.
8.4. y (x2 1)ln x;		(x2 2y 1)dx xdy 0.
8.5. y x(cos2x 1);		x(y 2x2 sin2x)dx x2dy 0.
8.6. y 3xcos3x;		(9x2 sin3x y)dx xdy 0.
8.7. y x2(1 ln x);		xdy (x2		2y)dx 0.
8.8. y xex2	;	xy(1 2x2)dx x2dy 0.
8.9. y 2xsin x 1;		(y 2x2 cosx 1)dx xdy 0.
8.10. y 2x(1 sin x);		xdy (2x2 cosx y)dx 0.
8.11. y xtg x;		xdy	x	2	dx ydx 0.
			cos2 x

82

8.12. y xln2 x;	2 ln x	ydx xdy 0.
	ln x
8.13. y x(2 ln x);	xydx x2dy 0.
8.14. y xsin2 x;	(1 2xctg x)ydx xdy 0.
8.15. y (2x 1)sin x;	(y xcosx)dx xdy 0.
8.16. y (2x 1)ex;	(4x2ex 3y)dx 2xdy 0.

8.17.y xsin2x cos2x; 2x(ysin2x xsin2 2x)dx sin2xdy 0.

8.18.y sin x x2 cosx; (x2 sin x x2 cosx y)dx dy 0.

8.19.y x2 x;

2 x

8.20.y 2ln2 x; x

8.21.y sin x ;

x2

8.22.y cosx ; x

8.23. y	x	2;

sin x

8.24.y ln x;

x2

8.25.y x2 ; cosx

8.26.y x2 tg x;

8.27.y x2e2x;

8.28.y 2xcosx;

8.29.y x2 sin x;

8.30.y ln x sin x;

Задание 9.

x2		2x 2
			2y dx (x 2)dy 0.
		2 x

(4ln x xy)dx x2dy 0.

(2x2y xcosx)dx x3dy 0.

x2(y sin x)dx x3dy 0.

(y 1)tgxdx sin2 xdy 0.

(x2y 1)dx x3dy 0.

(ysin2x 4xcosx)dx 2cos2 xdy 0.

(2xsin x 4yctgx)dx 2cos2 xdy 0. 2y(1 x)dx xdy 0.

(2x3sin2x y2)dx xydy 0.

2			2dx ydy 0.
		ctgx y
x

(xy sin x)dx xdy 0.

Вычислите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, проведенной к графику функции y f (x) в точке с абсциссой x0.

9.1. f (x)	x 1	,	x0 1.
	2x2 1

83

9.2. f (x)

2x

2 1

,

x0 2.

x 1

9.3. f (x)

x 2

x0 1.

,

x3

1

9.4.

f (x)

x 2

,

x

2.

2 x2

0

9.5.

f (x)

x3 3

,

x

1.

x2 2

0

9.6.

f (x)

x 2

,

x 0.

x3 1

0

9.7. f (x)

2x

,

x0 1.

x

2 x 1

9.8. f (x)

x 1

,

x

0.

x

2 x 2

0

9.9.

f (x)

x2

1

,

x

1.

x 2

0

9.10. f (x)

x3 1

,

x

2.

x 1

0

9.11. f (x)

x2

2x 1

,

x

2.

x 1

0

x2

9.12. f (x)

3x 2

,

x

1.

x 1

0

9.13. f (x)

x3 x 1

,

x0 1.

x2 1

9.14. f (x)

x3 x

,

x0 2.

1 x2

9.15. f (x)

x

,

x

1.

x

2 x 2

0

9.16. f (x)

1

,

x0 1.

x5 2

9.17. f (x)

x

,

x

1.

x

4 1

0

9.18. f (x)

x2

,

x

2.

7 x3

0

9.19. f (x)

x

,

x

1.

2 x4

0

84

9.20. f (x)

x x2

,

x0 1.

2 x3

9.21. f (x)

x 1

,

x0 2.

x3 3x

9.22. f (x)

x 1

,

x

0.

x3 x 2

0

9.23. f (x)

x 1

,

x

0.

1 5x x2

0

9.24. f (x)

1 x

,

x

2.

x

2 3x 1

0

9.25. f (x)

2 5x

,

x

0.

4x2 1

0

9.28. f (x)

2x2 3x 1

,

x

3.

x 2

0

9.29. f (x)

2x3 6x

,

x

2.

x 4

0

9.30. f (x)

x3

,

x

1.

x

4 2

0

Задание 10.

Вычислите значение функции y с помощью дифференциала.

10.1.	y	x 10,		x 36.
10.3.	y			x 65.
		x 2,
10.5.	y 3			x 9,85.
		x 2,

10.7. y x5,				x 0,95.
10.9. y x4,				x 3,1.
10.11. y x8,				x 2,11.
10.13. y								,	x 0,02.
		1 cos2x
10.15. y							,		x 0,02.
		1 tg2x
10.17. y				1		, x 1,97.
			4x 1

f (x) в заданной точке x приближённо

10.2.	y		x 11,			x 24.
10.4.	y 3					x 5,25.
			x 3,
10.6.	y 3					x 25,75.
			x 1,

10.8. y x5,

x 2,05.

10.10. y x6,

x 1,98.

10.12. y

,

x 0,02.

1 sin2x

10.14. y

,

x 0,04.

1 tgx

10.16. y

1

,

x 1,03.

2x 1

10.18. y

1

,

x 6,05.

3 x 2

85

10.19. y	1								,	x 4,45.
	3 2x 1
10.21. y arcsin x,										x 0,04.
10.23. y	1				,		x 24.
			x
10.25. y 3						,
		x2					x 0,98.
10.27. y sin(1 x),										x 0,97.
10.29. y x3,							x 2,05.

Задание 11.

10.20. y sin(x2						1),			x 1,02.
10.22. y arccosx,									x 1,05.
10.24. y		1			,		x 1,02.
2			x
10.26. y 3							,
		2 x2							x 1,03.
10.28. y cos(x 2),									x 1,98.
11.30. y (1 x)4,								x 3,02.

Проведите полноеисследование заданных функций и постройте их графики.

11.1 а) y 1 x2 x4 ;

2

11.2.а) y 16x2(x 1)2;

11.3.а) y 3x x3;

11.4.а) y (x 1)(x 2)2;

11.5.а) y 12x2 8x3 2;

11.6.а) y 16x3 12x2 4;

11.7.а) y 1 x2(x 4)2; 16

11.8.а) y (x 1)2(x 1)2;

11.9.а) y (2x 1)2(2x 3)2;

11.10.а) y 16x2(x 1)2;

б)

y

8x

.

x

2 4

2

y

x 1

б)

.

x 1

б)

y

1

.

x

2 1

б)

y

3x

2

.

x

2 2

б)

y

x

4

.

(x 1)3

б)

y

(x 1)3

.

(x 1)2

б)

y

x 1

.

x2

б)

y

2x

.

(x 1)2

б)

y

3x 2

.

x3

2

x

б)

y

.

2

x

86

11.11.а) y 12x2 8x3 2;

11.12.а) y 2x3 3x2 5;

11.13.а) y (x 1)(x 2)2;

11.14.а) y 2 x2 x4 ;

2

11.15.а) y 8x3 12x2 3;

11.16.а)y 2x3 3x2 4;

11.17.а) y 8x3 12x2 5;

11.18.а)y 2x3 9x2 12x;

11.19.а)y 16(x2 4)2;

11.20.а)y 1(x 1)2(x 3)2;

8

	11.21. а)y		1	(x 1)2(x 3)2;
		16

11.22.а)y x3 9x2 24x 6;

x4

11.23.а)y (x 1)2 ;

11.24.а) y 4 2x x4;

11.25.а)y 5 3x x3;

11.26.а)y 4(x 1)2(x 2)2;

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

y

x 3 2

.

x 1

y

x

2(x 1)

.

(x 1)2

y

x

3 4

.

x2

y

3x

2 2

.

x2

y

x 2

.

x2 1

y

2x

.

x

2 1

y

x 1 2

.

x

1

y

x

.

x

2 1

y

1

.

x2

2x 3

y

3x

2 6x 9

.

x

2

2x 13

y

(x 1)3

.

x4

y

x2

.

x 1

2

y

(x 1)

.

2x

y

x3

.

3x 2

y

7 2x x2

.

x

2

2x 3

y

(x 1)

2

.

x

2

2x 4

87

11.27. а)y 7 9x 3x2 x3;		y	x 1					2
	б)							.
			x 3
11.28. а)y x3 3x2 12;		y	x 2					2
	б)							.
						x
11.29. а)y (2x 3)2(2x 3)2;	б) y			3x2 12						.
				x2 10
11.30. а)y 6x3 9x2 4;	б)	y		3x4 1					.
						x3

Задание 12.

Вычислите пределы по правилу Лопиталя.

12.1. lim		22x 2x
						.
x 0 sin2 x sin x
12.3. lim(1 x)tg			x	.
x 1		2
12.5. lim	sin x sin3				.
x 3		x 3

12.2. lim cosx cos3x.
x	sin2 x

1 cosx

12.4. limx 01 cosx .

2sin2 x sin x 1

12.6. lim 2 . x 2sin x 3sin x 1

6

12.7. lim

2 x2

.

x

sin x

12.9. lim

3x 25x

.

x 0 sin x sinx2

12.11. lim

lnsin x

.

( 2x)2

x

2

12.13. lim

ex e 1

.

x 1sin(x2 1)

12.15. lim

lncos3x

.

x 0 lncos5x

12.17. lim

3x x3

.

x 3

x 3

12.8. lim2x 2 . x 1 lg x

12.10. lim		x3 1
			.
x 1sin(x 1)
12.12. lim		3 x		.

x 3log2(x 2)

1

sinx x 1 12.14. lim .

x 1 sin1

lgcos4x

12.16. xlim lgcos2x.

25x 23x 12.18. limx 0 sin5x sin3x.

88

sin2 3x

12.24. lim

x 2

12.20. lim

sin5 x

12.19. limx 2 sin8 x.

tg3x

12.21. lim tg5x.

x

2

ln(1 3x) . x ln(1 2x)

3x 6 2

12.22. lim .

3 x3 8

12.23. lim				1 cos5											x	.
				2
	x sin 3x
	3									1
								x
12.25. lim													.
	x 15						x3 1
					3									2
	lim								9 x
12.27.																	.
	x 1								sin x
																		1
	lim						1 xsin x
12.29.																			.
										2x		2
	x 1													2

ln(1 2x). x ln(1 3x)

x

28

12.26.limx 3ln(x 2).

12.28. lim1 xsin x cos2x .

x

tgx tg3

12.30. limx 3 lgx lg3 .

Задание 13.

Разложите заданную функцию y f (x) в окрестности точки x0 по формуле Тейлора указанного порядка n, используя различные приемы.

13.1.y e2x x2 , x0 0, n 5.

13.2.y 4x 3, x0 3, n 4.

13.3. y ln(1 x 12x2), x0

0, n 13.

	13.4. y arctg x,			x0	0, n 4.
	13.5. y (x		1)sh x,		x0 1, n 17.
	13.6. y	ch3x 1		,	x0 0, n 29.
		x2
	13.7. y (x		1)sin5x, x0 1, n 12.

13.8.y ex 1, x0 0, n 24. x

13.9.y x7, x0 2, n 7.

13.10. y		1			, x 0, n 6.
4		16 x4		0

13.11. y 3x2 2x 5, x0 1, n 4.

89

13.12. y ln(1 x 12x2), x 1, n 10.

1

0

13.13. y

,

x 0, n 8.

3 27 x3

0

13.14. y

1 e 2x

x0 0, n 16.

,

x

13.15. y

x0 1, n 3.

x

,

13.16. y

1

,

x0 4, n 4.

x

13.17. y

ln(1 3x)

,

x0 0, n 9.

x

13.18. y

1 e 3x

,

x

0, n 15.

x

0

13.19. y		sin3x			cos3x,			x0 0, n 23.
			x	2
13.20. y			x				, x0 0, n 8.
			4 5x

13.21. y 2xcos2	x	x, x	0, n 14.
	2	0

13.22.y tg x, x0 0, n 5.

13.23.y arcsin x, x0 0, n 4.

13.24.y x5, x0 3, n 5.

13.25. y

1

,

x

0, n 9.

416 x4

0

2

x

13.26. y 2xsin

x,

x0 0, n 57.

2

13.27. y

6

,

x0 1, n 15.

8 2x x2

13.28. y lncosx,

x0 0, n 4.

13.29. y sin(sin x),

x0

0, n 3.

ln(1

x

)

13.30. y

3

,

x0 0, n 7.

x

90