Tipovye_raschyoty_po_vyssh_matematike_Ch_1_Uch

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Кафедра высшей математики

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

В 3-х частях

Часть 1

Рекомендовано УМО по образованию

вобласти информатики и радиоэлектроники в качестве учебно-методического пособия

для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования по специальностям, закрепленным за УМО

Минск БГУИР 2012

УДК 517(076.1)

ББК 22.1я73 Т43

С о с т а в и т е л и :

Ж. А. Черняк, З. Н. Примичева, И. В. Дайняк, Л. И. Василюк, В. Г. Шилкин, Т. А. Романчук, М. Д. Пименова

Р е ц е н з е н ты :

заведующий кафедрой информатики Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники, профессор, доктор физико-математических наук Л. И. Минченко;

кафедра высшей математики Белорусского государственного экономического университета (протокол № 1 от 29.08.2011 г.);

доцент кафедры математики Белорусского государственного педагогического университета им.М.Танка,

кандидат физико-математических наук С. А. Богданович

Типовые расчеты по высшей математике : учеб.- метод. пособие. Т43 В 3 ч. Ч. 1 / сост. Ж. А. Черняк [и др.]. Минск : БГУИР, 2012. 91 с.

ISBN 978-985-488-836-1.

Пособие содержит тематические наборы индивидуальных заданий по следующим разделам курса высшей математики: аналитическая геометрия и векторная алгебра, линейная алгебра, введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной и приложения для самостоятельной контролируемой работы студентов всех специальностей дневной формы обучения.

	УДК 517(076.1)
	ББК 22.1я73
ISBN 978-985-488-836-1	© УО «Белорусский государственный
	университет информатики
	и радиоэлектроники», 2012

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..4

Аналитическая геометрия и векторная алгебра……………………………..…5

Линейная алгебра………………………………………………………...……..18 Введение в анализ……………………………………………….………………42

Дифференциальное исчисление функции одной переменной и приложения………………………………………………….…..69

Литература…………………………………………………………………….…92

3

Введение

Одной из особенностей высшего образования на нынешнем этапе его развития является направленность на активное, контролируемое самообучение каждого студента, учитывающее его потенциал и уровень базовой подготовки. Это предполагает создание соответствующего методического обеспечения учебного процесса, включая разработку разнообразных форм самостоятельной работы и методов ее контроля.

В этом контексте авторы настоящего пособия подготовили наборы индивидуальных заданий (30 вариантов) по высшей математике для самостоятельной контролируемой работы студентов.

Основная концепция авторов – не нагружать студентов громоздкими вычислительными задачами (из серии «за деревьями леса не видно»), рассчитанными на сверхсложную технику вычислений, а сосредоточить их внимание на основных математических идеях и понятиях изучаемого раздела. В связи с этим во многих задачах требуется не только получить числовой ответ, но и дать его математическую интерпретацию.

Пособие содержит наборы индивидуальных заданий по следующим разделам высшей математики, изучаемым в первом семестре первого курса технического университета:

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Введение в математический анализ»,

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной и приложе-

ния».

Хотя задачи из этого сборника рекомендуются как задания для типовых расчетов по ВМ, их можно использовать также для проведения аудиторных самостоятельных и контрольных работ, для составления экзаменационных материалов.

Пособие предназначено для студентов инженерно-технических специальностей вузов всех форм обучения и преподавателей высшей математики.

4

Аналитическая геометрия и векторная алгебра

Задание 1.

Даны векторы a, b, c, d .

1)Постройте векторы a и b , убедитесь в том, что они образуют базис на плоскости, и геометрически разложите вектор d по этому базису.

2)Докажите аналитически, что векторы a и b образуют базис на плоскости, и найдите координаты вектора d в этом базисе.

3)В параллелограмме, построенном на векторах a и b , найдите:

3a) длины сторон a и b ; скалярное произведение (a,b);

3б) диагонали d1 и d2 и их длины;

3в) внутренние углы параллелограмма и тупой угол междуегодиагоналями; 3г) площадь параллелограмма и длины его высот.

4) В параллелепипеде, построенном на векторах a, b, c, с основанием,

образованным векторами a и b , найдите:

4а) объем и длину высоты, опущенной на основание; 4б) ориентацию тройки векторов a,b,c.

1.1.					a					e1 2			e		2,															e1			e	2,				c							e1,		e		2 ,
																					b																																	d							e1 3					e	2,
																																								1
где		e1		1,				e		2		2,						e1					,				e		2 arcsin												.
																																							3																	2 ,
			1.2.		a	2						e1 3			e		2,							b								e1 4					e	2,						c				e1,			2		e							d					e1 5				e		2,
																																											4
где		e1		2,					e		2	3,							e1								,	e		2 2arccos																.
																																											5
			1.3.		a							e1		e		2,										4					e1 3				e	2,					c									e1,		e		2 ,										e1 2				e		2,
																						b																																					d
																																							4
где		e1		1,				e		2		4,						e1					,				e		2 arcsin													.
																																							5

1.4. a 3e1 e2,

где			e			2,			e				1	,
		1						2				2

1.5. a e1 5e2,

								e1	e	2,		c	2				e1,	e	2 ,								e1 3		e		2,
	b																						d
									1			1
	e1				,	e	2				arccos					.
									2
												9
				2				e1	e	2,		c			e1, 2					e	2 ,
		b																						d				e1		e		2,

где	e1	5,	e	2	1,		e1	,	e	2	2arctg3.

5

1.6. a 3e1 4e2,

где			e				1	,			e
															2,
		1				4				2

5

e1

e

2,

c

e

2, 2

e1 ,

3

e1 5

e

2,

b

d

e1 ,

e

2

arcctg5.

1.7.						a				2								e1 7						e	2,																	e1						e		2,			c									e1,3							e	2 ,
																																		b																																							d							e1 4						e	2,
					1																																																3
где		e1					,					e			2			1,									e1						,		e			2 arcctg																.
				3																																																4																2 ,
			1.8.			a							e1 6							e		2,							b			3										e1					e		2,				c									e1,					e				d							e1 7						e	2,
																																																										2
где	e1			2,								e2					5,							e1								,e2 arccos																																				.
																																																										3					2
			1.9.			a				4								e1 3						e	2,											2								e1						e	2,				c				2						e1, 5						e		2 ,									7			e1 5					e	2,
																																	b																																																d
																																																									1
где		e1		2,								e		2			1,									e1					,		e			2										arctg														.
																																												2
																																																									2
			1.10.					a							e1					e	2,											3									e1						e		2,				c		4									e1,				e		2 ,						5							e1 2					e	2,
																												b																																														d
																			1
где		e1		2,												e	2						,									e1				,				e	2 arcctg7.
																			3

1.11. a e1 2e2,

где			e								e				1	,
							3,
		1								2				2

							e1 3			e		2,	c				e	2,	e1 ,			8	e1 9	e	2,
	b																				d
									1				1
		e1		,	e	2					arcsin					.
									2
													3

1.12.					a				2							e1 3								e			2,																				4									e1 3								e			2,							c							e1, 5					e		2 ,									7			e1				e			2,
																																									b																																																				d
																																														1																				3
где	e1			1,		e2						3,									e1									,e2																							arcos																	.
																																														2																				5								2													e1 ,
		1.13.			a								e1 7									e		2,													b							8							e1 3									e		2,									c							e		2, 3														d				e1					e		2,
где	e1			1,					e		2				1,												e1							,					e						2 arctg2.
																																																																																				2 ,
		1.14.			a				3							e1					e			2,																									e1 4									e		2,								c							e1, 7							e
																																				b																																																				d									e1 5				e	2,
где	e1		3,							e		2								2,															e1 ,													e		2 arcctg( 7)																																.
																																																																										2
		1.15.			a												e1 5								e			2,																								e1							e		2,							c					2				e1, 9								e		2 ,								2				e1 6							e		2,
																																											b																																																d
																																																					1												3
где	e1		1,			e2						3,													e1									,e2																					arcin																			.
																																																					2												5

6

1.16.						a			3								e1 4										e			2,																							e1 5								e			2,								c							e1,				e	2 ,
																																												b																																														d				4							e1 7						e			2,
где	e1			5,								e		2		1,												e1			,					e					2 arcos7.
																																																																									7														2 ,
		1.17.				a			7						e1 5								e			2,																									e1 6							e		2,									c										e1, 2						e
																																					b																																																										d									e1 11									e		2,
																																																		1						4
																															,
где	e1			3,			e				2			4,										e1								e		2																		arcos												.
																																																		2						5																										e1 ,
1.18.							a			9						e1 6									e			2,												b						7								e1					e			2,								c								e		2,									d				12									e1 5						e			2,
																																																								1												1
где	e1			1,					e			2						2,													e1														,	e		2										arctg															.
																																																								2												5								2													e1 ,
1.19.							a			4						e1						e			2,											b						3													e1 2								e			2,								c							e		2, 5																	d						e1 8									e		2,
																																																																				3
где	e1		1,				e2						2,							e1									,e2																arcin																											.
																																																																				4
1.20.							a		5							e1						e			2,																								e1 2								e		2,								c										e	2, 2				e1 ,											12									e1 7							e			2,
																																			b																																																					d
																																																		1						4
																													,
где	e1		3,				e				2		4,											e1								e		2																		arcos												.
																																																		2						5																																2 ,
1.21.							a		3							e1 8									e			2,											b						7									e1 4								e			2,								c							e1, 5						e											d		9						e1 6									e		2,

		e1					e
где			3,					2	2,

1.22. a e1 e2,

	e1	,	e	2

b e1

			arcctg				1		.
2			5
6	e	2,		c	3	e		2, 4		e1 ,
											d		7	e1 5	e	2,

				1											3
где		e1			,	e	2	1,		e1	,	e	2	2arcin		.
			2												5

1.23.						a			7								e1 8									e	2,																		e1	e	2,						c		4				e1,		e			2 ,
																																						b																												d						3	e1 4			e			2,
																																																	3
где		e1		10,									e		2			1,										e1				,				e			2 2arcos													.
																																																	5
																																																																	2 ,
			1.24.			a			5						e1 3									e	2,								b					4e1 2										e		2,					c			e1, 7				e							d			9		e1 8			e			2,
где		e1		1,				e			2							2,											e1						,					e			2 arctg5.
																																																							5								2 ,
			1.25.			a							e1 3									e		2,										4										e1 7		e	2,						c				e1,			e										4			e1 3		e			2,
																															b																																				d
																		1																															1
где		e1		2,						e		2									,							e1				,						e			2 arcctg													.
																		2																															4

7

1.26.							a			7							e1				e		2,								4			e1 5		e		2,		c		e1, 6			e	2 ,
																												b																				d		7		e1 2			e	2,
															1																	2
																								,
где		e1		3,					e			2						,				e1			e		2 2arcin										.
															3																	3												2 ,
			1.27.				a			3							e1 5						e	2,									e1 4			e		2,		c		e1,	e
																														b																	d		3		e1 7		e	2,
				1																																	1
где	e1					,				e2					2,					e1 ,e2												arcctg								.
				4																																	3

1.28.										a			10						e1			e			2,														2						e1 3						e		2,					c			5				e		2, 4		e1 ,
																																			b																																						d					5	e1 7				e	2,
																																																										1
где		e1				3,										e2			1,								e1										,e2										arctg															.
																																																										4
			1.29.							a						e1 8					e	2,																					e1					e	2,							c							e1, 7	e		2 ,						11				e1 8					e	2,
																															b																																								d
							1																																											1
где		e1						,					e		2	1,								e1			,			e				2 2arcos																			.
				3																																											5														3									e1 ,
			1.30.							a								e1 5					e			2,											b		5							e1 6						e		2,					c							e		2, 7							d			8		e1 10					e	2,
																			1																						1																	4
где		e1		2,								e2								,	e1							,e2																			arccos													.
																			2																						2																	5

Задание 2.

Даны точки A,B,C . Найдите:

1)длину стороны AB треугольника ABC;

2)внутренний и внешний углы при вершине B треугольника ABC;

3)точку D конец вектора AD [AB, AC];

4)ориентацию тройки векторов AB, AC, AD;

5)объем тетраэдра ABCD (точка D найдена в пункте 3));

6)расстояние от вершины D до основания ABC;

7)разложение вектора DC по базису AB, AC, AD.

2.1.A(3,5,4), B(8,7,4), C(5,10,4).

2.2.A(1, 1,2), B( 3,4,7), C(0,1,5).

2.3.A(2, 2,3), B(5,3,1), C( 1,0,7).

2.4.A(3,0, 1), B(2,4,5), C(7, 8,3).

2.5.A( 5,7,4), B( 2, 3,1), C(9, 6,4).

2.6.A(0,1, 1), B(2, 4,9), C(6,7, 6).

2.7.A( 3,4, 4), B(5,1, 1), C(2,7,0).

8

2.8.A(9,7,0), B(4, 3,2), C(1,8,4).

2.9.A(6,5,4), B(3,2,1), C(1,2,9).

2.10.A( 7,6,0), B(5, 4,3), C(1, 2,3).

2.11.A(4, 4,5), B(6,0,7), C(1,2,9).

2.12.A( 6,7,4), B(9,3,0), C( 2,5,4).

2.13.A(3,8, 1), B( 1,1,2), C(3, 7, 7).

2.14.A(0,0,1), B(2,3,4), C(5,6,7).

2.15.A( 9, 8,4), B(3, 3,3), C(2,0,5).

2.16.A(1,3, 4), B(2, 2,7), C(4,5,6).

2.17.A( 2,9,8), B(4, 6, 6), C(1,0,2).

2.18.A(1,0, 4), B(0, 5,5), C(6,9,8).

2.19.A(3,4,0), B( 2,1,2), C(4,6,0).

2.20.A(9, 5, 2), B(4,3,1), C( 2,4,5).

2.21.A(3,2, 1), B(1, 1,4), C(7, 5,2).

2.22.A( 4,2,3), B( 2, 1,1), C(0,5,7).

2.23.A( 3,4,5), B(1,2,3), C( 7,8,2).

2.24.A(1,0, 5), B(4,3,6), C( 7,2,3).

2.25.A(1, 1,1), B(2,3, 4), C(4, 3,3).

2.26.A(3, 2,7), B(1,0, 4), C(2, 3,4).

2.27.A(2, 7,4), B(1,1, 5), C(6,8, 9).

2.28.A(3, 3,7), B(1, 2,4), C(6,8, 2).

2.29.A(1,4,3), B(5, 6,9), C(1, 2,2).

2.30.A(5,10, 1), B(2,4, 8), C(8,7, 3).

Задание 3.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC одна из его вершин находится в точке (x0, y0), а гипотенуза AB лежит на прямой . Найдите:

1)уравнения прямых, содержащих катеты треугольника;

2)уравнение медианы, проведенной к гипотенузе AB;

3)уравнения биссектрис острых углов;

4) координаты центра ирадиус r вписанной в треугольник ABC окружности; 5) координаты центра и радиус Rописанной около треугольника ABC

окружности.
3.1. x0	4,	y0	1,	: 3x y 5 0.
3.2. x0	4,	y0 5,		: x y 2 0.
3.3. x0	2,	y0	3,	: x 2y 7 0.

9

3.4. x0 5,		y0 1,		:	2x 3y 1 0.
3.5. x0 1,	y0 2,		: 3x 7y 5 0.
3.6. x0 7,		y0 6,	: x y 4 0.
3.7. x0 3,	y0 4,			:	2x y 3 0.
3.8. x0 0,		y0 7,	: x 6y 11 0.
3.9. x0 2,		y0 0,		: 3x 4y 5 0.
3.10. x0 6,		y0 3,		:		7x 9y 13 0.
3.11. x0 1,		y0 1,		:		4x 2y 3 0.
3.12. x0 8,		y0 2,		: x 2y 5 0.
3.13. x0 3,		y0 8,			: 5x 2y 10 0.
3.14. x0 0,		y0 4,		:		7x 6y 12 0.
3.15. x0 1,		y0 3,		:		9x y 5 0.
3.16. x0 2,		y0 4,		:		4x 3y 2 0.
3.17. x0 4,		y0 1,		: x 4y 3 0.
3.18. x0 3,		y0 3,		: x y 2 0.
3.19. x0 5,		y0 7,		:		2x y 6 0.
3.20. x0 9,		y0 1,		: x 7y 3 0.
3.21. x0 8,		y0 3,		: x 2y 4 0.
3.22. x0 6,		y0 4,		:		3x 5y 1 0.
3.23. x0 0,		y0 5,		:	6x 2y 7 0.
3.24. x0 9,		y0 2,		: x 5y 2 0.
3.25. x0 5,		y0 6,			: x y 3 0.
3.26. x0 4,		y0 1,		:	3x 6y 7 0.
3.27. x0 2,		y0 7,		:		3x y 5 0.
3.28. x0 1,		y0 1,			: x y 2 0.
3.29. x0 9,		y0 6,		:	3x 4y 4 0.
3.30. x0 3,		y0 4,		: x y 8 0.

Задание 4.

В наклонной треугольной призме ABCA1B1C1 с основанием ABC (точки A,B,C даны в условии задания 2)), A1(1,3, 2), найдите:

1)расстояние между плоскостями ABC и A1B1C1;

2)уравнение плоскости A1B1C1;

3)уравнение прямой A1B1;

4)расстояние между прямыми AB и A1B1, BC и A1B1;

10