физика

Дано:

R	5 см	5 10 2 м
q	20 нКл 2 10 8 Кл
E	?	?

R d dl

dEx 0

dE dEy y

Рис. 2.3

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны полукольца. На полукольце выделим элемент длиной dl , несущий точечный заряд dq . Тогда dq dl , где – линейная плотность заряда.

Напряженность dE поля, создаваемого зарядом dq :

						dq				(1)
					dE k		r
						r3
	где				– вектор, направленный от dl к
				r
	точке 0, в которой вычисляется напря-
x	женность.
					Модуль вектора dE с учетом, что
		r		R :
						dE k		dq	.	(2)
								R2

Так как для равномерного распределения заряда по полукольцу

dq

q

q

,

dl

l

R

то

dq

q

dl .

(3)

R

Подставляя (3) в (2) и учитывая, что dl

Rd

, получим

q

kqR

kq

dE k

dl

d

d .

(4)

R3

R3

R2

Выразим вектор dE через проекции dEx и dE y :

dEx

dE cos

,

(5)

dEy

dE sin .

Проинтегрируем (5) в пределах от 0 до

,

подставив (4), получим

Ex		kq		cos	d	0,
		R2
				0
						(6)
Ey	kq			sin	d	2kq	.
	R2
						R2
	0

Напряженность E в точке 0:

51

	E 0i Ey j	2kq	j .	(7)
		R2

Из формулы (7) видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью 0 y .

Модуль E равен

E

2kq

2q

2q

q

.

(8)

R2

4

0

R2

4 0

2 R2

2 0

2 R2

Найдем потенциал электрического поля в точке 0.

Потенциал d

, создаваемый точечным зарядом dq в точке 0:

dq

q

q

d

k

k

dl

k

d .

(9)

R

R2

R

Интегрируя (9) от 0 до

, получаем

k

q

d

k

q

k

q

q

.

(10)

R

R

4

0

R

0 R

Произведем вычисления по формулам (8) и (10):

E

2 10 8

В

2 10 8

В

4,58 10

4

В

;

2 8,85 10

12

3,142

(5 10 2 )2 м

0,436 10 12

м

м

2 10 8

В

2 10 8

В

0,36 104 В

3,6 103

В .

4

3,14

8,85 10 12

5 10 2

5,56 10

12

Ответ: E

4,58 10

4

B

3

;

3,6 10 B.

ì

Пример 2.4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда 20 нКлм . Определить работу электростатического поля по перемещению

	точечного заряда q 1 нКл из точки, находящейся на расстоянии a1					0,5 см ,
	в точку, находящуюся на расстоянии a2 2 см от поверхности цилиндра.
	Дано:			Решение. Работа по перемещению точечного
	R	1 см	10 2 м	заряда q из точки 1 в точку 2 равна
		20 нКл м 2 10 8 Кл м		A12	q( 1 2 ) .	(1)
	q	1 нКл	10 9 Кл	Для определения	разности потенциалов
				воспользуемся	соотношением	между
		0,5 см 5 10 2 м
	a1			напряженностью поля и потенциалом:
	a	2 см	2 10 2 м	E	grad .
	2
	A1,2	?

52

Для поля с осевой симметрией,

каким является поле цилиндра, это со-

R

отношение в проекции на радиальное

r2

направление дает следующее:

d

r1

r

E ,

(2)

a1

a2

dr

где E – напряженность поля на рассто-

янии

r от оси цилиндра,

создаваемого

бесконечно длинным цилиндром. Эта

напряженность равна

E

.

(3)

2

0r

Рис. 2.4

Из (2)

d

Edr

dr

.

(4)

2

0 r

Интегрируя уравнение (4), найдем разность потенциалов двух точек,

отстоящих на расстоянии r

и r

от оси цилиндра:

1

2

r2

r2

dr

r

Edr

ln

2

2

1

2

r

2

r1

r

0 r

0

1

1

или

ln

r2

,

(5)

1

2

2

r

0

1

где

r1

R

a1

и r2

R

a2 .

(6)

Подставив (5) и (6) в (1), получим

A12

q( 1

2 )

q

ln

R

a2

.

(7)

2

R

0

a

1

Произведем вычисления:

A

10 9

20 10 9

ln

3 10 2

Дж

20 10 18

ln2 Дж

12

2

3,14

8,85 10 12

1,5 10 2

5,56 10

11

3,6 10 7 ln 2 Дж

36 10-8

0,3 Дж

1,08 10-7Дж.

Ответ: A

1,08 10-7

Дж .

Пример

2.5. В схеме, изображенной

на рис. 2.5,

сопротивление

R1

2 Ом , R2

4 Ом , ЭДС источника

20 B, его внутреннее сопротивле-

ние

r 1 Ом .

Какой ток покажет амперметр?

Сопротивление амперметра

RA « R2 .

53

	Дано:		Решение. Амперметр	покажет ток			I2 ,	идущий
	R1	2 Ом	через сопротивление		R .	Ток I	в	узле В
					2
	R2	4 Ом	разветвляется на I и I	2	:
			1
		20 B		I I1		I2 .		(1)
	r	1 Ом
			Так как по условию RA « R2 , то напряжения на
	I	?

сопротивлениях R1		и R2		равны
				I1R1	I2 R2 .			(2)
Из уравнений (1) и (2) следует, что							I2
(I I2 )R1		I2 R2 ,				R2
							A
откуда
I2	IR1		.	(3)	C		I1	B
	R	R
						R1
	1	2					I
Силу тока	найдем из закона Ома
для полной цепи:
I		r ,		(4)		, r
	R
						Ðèñ. 2.5
где R – сопротивление внешней части
цепи; r – внутреннее сопротивление ис-
точника.
Сопротивление внешней части цепи состоит из сопротивления R1								и R2 ,

соединенных параллельно, и поэтому

										R				R1R2
														R	R .																	(5)
														1		2
Подставив (5) в (4), получим
I														(R1		R2 )											(R1	R2 )			.	(6)
	R r R1R2								r			R R rR rR R R r(R R )
												1		2		1						2				1	2	1		2
					R1		R2
Подставив (6) в (3), получим
	I2							R1 (R1				R2 )															R1		.			(7)
			(R1R2				r(R1 R2 ))(R1								R2 )						R1R2						r(R1
																												R2 )
Произведем вычисления:
			I2					20 2						А	40					А				40		А 2,85 А .
					2		4	1 (2				4)			8	6						14
Решим задачу вторым способом по правилам Кирхгофа.
Для узла В на основании первого правила Кирхгофа
										I		I1		I2		0 .																(8)

54

Рассмотрим контур BR1C B и BR2CR1B (см. рис. 2.5). Обходя контуры

против часовой стрелки, на основании второго правила Кирхгофа составим уравнения:

I1R1

Ir

,

(9)

I2 R2

I1R1

0 .

(10)

Подставив в уравнения (8), (9) и (10) числовые значения заданных ве-

личин, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

I

I1

I2

0,

(11)

2I2

I 20,

(12)

4I2

2I1

0.

(13)

Из последнего уравнения (13) найдем I1

2I2 и подставим в (11).

Получим

I

2I2 I2

0,

откуда

I 3I2 . Теперь подставим

I1 и I в

(12), получим

4I2

3I2

20 или 7I2

20 ,

откуда I2

20

A

2,85 A .

7

Ответ: I2

20

A

2,85 A .

7

Пример 2.6. Спираль электрической плитки укоротили на 30 %. Во сколько раз изменилась при этом мощность тока в плитке?

Дано:

Решение. Обозначим через

P мощность тока в

1

l

0,3

плитке при длине спирали l1

и через P2

мощность

l1

тока в плитке при длине спирали l

2

.

l l

2

l –

1

изменение длины спирали. Мощность тока в элек-

троплитке найдем по формуле

P2

?

U

2

P

P

1

R ,

(1)

где U – напряжение в сети; R – сопротивление спирали, равное

R

l

S .

(2)

Здесь	– удельное сопротивление металла, из которого изготовлена спираль
электроплитки; S – площадь поперечного сечения спирали; l				– длина спирали.
	Для нашей задачи сопротивление спирали до ее укорочения
	R1	l1	,	(3)
		S

а сопротивление спирали после ее укорочения

55

											R2								l2			.									(4)
																			S
	Найдем отношение мощности P												к мощности P :
										2																		1
							P				U 2 R											l S				l
							2							1								1					1	.
							P			U 2 R												l	S			l	2
						1								2								2
									l			l				l													1	l2	0,3;
	Согласно	условию								1							2					0,3			,			откуда
																														l1
								l						l
						1								1
l2	1 0,3 0,7	или	l1		1,43	, значит,									P2							1,43 .
l															P
			l	2
1														1

Ответ: мощность тока в укороченной спирали увеличивается в 1,43 раза.

Пример 2.7. По длинному проводу течет ток I . Определить магнитную

индукцию B поля, создаваемого этим током в точке 0, находящейся на расстоянии a от провода.

Дано: Решение. Считаем, что концы провода уходят в I , a бесконечность. Для решения задачи воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей.

Закон Био – Савара – Лапласа позволяет

B0 ?	определить	магнитную	индукцию	dB ,
	создаваемую элементом тока Idl :

y					dB	0 I [dl , r ]				,	(1)
						4			r3
		I
					где r – вектор, проведенный от элемента
dl					проводника dl к точке 0;						0 – магнит-
y					ная постоянная; – магнитная проница-
			r		емость среды, в которой находится про-
					вод (для вакуума				1 ).
			dB		Вектор dB в точке 0 направлен за
					плоскость чертежа.
		a	0	x	По принципу суперпозиции
						B			dB .		(2)
			Рис. 2.6						l

Интегрирование ведется по длине проводника.

В нашем случае векторы dB от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражение (2) можно переписать в скалярной форме:

56

B		dB ,		(3)
		l
где
dB		0 I sin	dl .	(4)
		4 r2

В скалярном выражении закона Био – Савара – Лапласа угол есть

угол между элементом тока Idl и радиусом-вектором r . Таким образом,

B

0 I

sin

dl .

(5)

4

r

3

(l )

Выразим dl

через d . Для этого поместим длинный провод в систему

координат

xy . Расстояние от начала координат до выбранного отрезка

dl

обозначим

через

y .

Тогда

из

треугольника

на

рис. 2.6

y actg ,

где

180o

, но ctg

ctg

и, следовательно, y

actg .

Тогда

dy

a

d .

(6)

sin2

Из этого же треугольника

r

a

a

.

(7)

sin

sin

Подставим (6) и (7) в (4), заменив dl на dy :

dB

a

0 I sin2

sin

d

0 I

sin

d .

0

4 a2 sin2

4

a

Таким образом, выражение (5) можно представить в виде

0 I

2

B0

sin

d

,

(8)

4 a

1

где 1 и

2 – пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

B

0 I

(cos

1

cos

2

) .

(9)

0

4 a

В нашей задаче

1

0

, а

2

, следовательно,

B

0 I

(1

(

1))

0 I

2

0 I

.

4 a

4 a

2 a

Ответ: B0

0 I

.

2 a

57

Пример 2.8. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 2.7. Радиус R дуги окружности равен 15 см. Определить

магнитную индукцию B поля, создаваемого током I 75 A , текущем по этому проводу в точке 0.

Дано:

R 0,15 м

I 75 A

B0 ?

Решение. Магнитную индукцию B в точке 0 найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей:

n

BBi .

i1

Внашем случае провод можно разбить на три части: два прямолинейных провода (1 и 3) одним концом, уходящих в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиусом R .

Тогда

3

B

B1

B2

B3 ,

(1)

где B1, B2

и

B3

–

магнитные ин-

1

дукции в точке 0, создаваемые током,

2

текущим соответственно на первом,

2

R

0

втором и третьем участках провода.

Так как точка 0 лежит на оси

провода 1, то B1

0 , и тогда

I

B

B2

B3 .

(2)

Векторы B2

и B3 сонаправле-

1

ны и направлены

перпендикулярно

плоскости

чертежа

от

нас

(см. рис. 2.7). В этом случае вектор-

Рис. 2.7

ную сумму можно заменить алгебра-

ической, т. е.

B

B2

B3 .

(3)

Магнитную индукцию

B2 в точке 0 создает половина кругового тока

радиусом R . Она будет равна

B

0 I

.

(4)

2

4R

Магнитную индукцию B3 найдем, воспользовавшись соотношением (9)

из примера 2.7 B

0I

(cos

1

cos

2

) .

4 a

В нашем случае a

R ,

1

,

2

.

2

58

Тогда

			B3			0 I		.			(5)
						4 R
Подставим (4) и (5) в (3):
B B2	B3		0I			0 I			0 I	( 1) .	(6)
			4R			4 R			4 R
Произведем вычисления:
B	4	10 7 75				(	1) Тл 2,07 10-4				Тл .
	4	0,15
										Ответ: B	2,07 10-4 Тл .

Пример 2.9. По круглому бесконечно длинному проводнику радиусом R течет ток постоянной плотности j . Найти индукцию магнитного поля B как функцию расстояния r от оси проводника. Построить график зависимости B(r) .

Дано:

R, j

B(r) ?

Решение. Силовые линии магнитного поля, созданные таким проводником с током, представляют собой концентрические окружности, охватывающие ось проводника внутри и снаружи. Магнитную индукцию B найдем, используя закон полного тока:

(B,dl )

0 I

0

( j,dS ) ,

(1)

L

(S )

R

где

(B,dl ) – циркуляция магнитного поля

B

j

L

по

замкнутому

контуру

L ,

совпадающему с

L

силовой линией поля;

( j , dS ) – поток вектора

r

( S )

r

L

j

через

поверхность

S

,

ограниченную

Рис. 2.8

контуром

L ;

0

– магнитная постоянная; j

– плотность тока;

S –

площадь,

ограниченная

выбранным

контуром

L .

1. Рассмотрим случай r

R .

Полагая, что dS

j , и учитывая, что

L совпадает с силовой линией

поля, т. е. dl

B , из (1) получаем

B2 r

0 j

r2 ,

(2)

59

откуда

B(r)

0 j r

2

0 jr

.

(3)

2 r

2

2. Рассмотрим случай r

R .

Уравнение (1) для второго случая дает

B2 r

0 j

R2 .

(4)

Во втором случае площадь S R2 , т. к. тока I вне провода нет. Отсю-

да из (4)

B(r)

0 j R2

0 jR2

.

(5)

B(r)

2 r

2r

Построим

график зависимости

B(r) .

~ r

1

В области

r

R зависимость

B

от r

линейная, а в области r R – ги-

~

r

перболическая.

R

r

0 jr

,0

r

R,

2

Рис. 2.9

Ответ: B(r)

0 jR2

, r

R.

2r

Пример 2.10. Длинный прямой провод с током

I

находится в одной

плоскости с равносторонним треугольником, одна из сторон которого параллельна прямому проводу и находится от него на расстоянии b. Сторона треугольника а, ток текущий по треугольнику I1 . Найти силы, действующие на

все стороны треугольника со стороны длинного прямого провода.

Дано:		Решение.	I	1
						dl		F12
a, b, I , I1				x
			B	a a				a
					3 2
			F31					2
F12 ? F21 ? F31	?			I
				1
			b	3				F23

Рис. 2.10

Магнитное поле, созданное прямым бесконечно длинным проводом с током I , определяется формулой

B	0 I	(см. пример 2.7),	(1)
	2 x

60