физика

3.3. Примеры решения задач

Пример 3.1. В опыте Юнга два когерентных источника S1 и S2 (две

параллельных узких щели в непрозрачном экране) испускают свет с длиной волны 600 нм. На каком расстоянии x от нулевого максимума располагается максимум первого порядка, если расстояние между источниками d 0,7 мм , а расстояние от каждого источника до экрана l 1,5 м .

Дано:

6 10 7 м k 1

d 0,7 10 3 м

l1,5 м x ?

C S1

r1

Решение. Рассмотрим прямоугольные треугольники

S1MC и S2 MC (рис. 3.1):

2

2

d 2

r1

l

x

,

(1)

2

2

2

d 2

r1

l

x

.

(2)

2

S2

Вычтем (1) из (2):

r2

r2 2xd или

2

1

r2

(r2 r1)(r2 r1) 2xd .

(3)

Интерференционная картина

l

будет

четкой,

если расстояние

S1S2 d

между источниками неве-

x

M

d 2

d 2

Экран

лико по сравнению с расстоянием

их от экрана

MC l , т.

е. когда

x1

k 1

d « l .

k 1

k 0

r1 r2 2l , и

В этом случае

Рис. 3.1

r

2xd

r

xd

поэтому r

или

,

2

1

2l

l

откуда

x rl .

(4)

d

Согласно условию интерференционного максимума

r k ,

k 0, 1, 2,...

(5)

Тогда положение k -го интерференционного максимума, т. е. (4) с уче-

том (5), определяется формулой

x

k l

.

d

Произведем вычисления для k 1:

x

1 6 10 7 1,5

м 1,285 10 3 м .

1

0,7 10 3

Ответ: x1 1,285 10 3 м .

81

Пример 3.2. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается

монохроматических светом с длиной волны 7 10 7 м . Найти разностьr между радиусами светлых колец с порядковыми номерами k1 5 и k2 6 .

Радиус кривизны линзы R 5 м . Наблюдение ведется в отраженном свете.

	Дано:	Решение. Радиусы светлых колец Ньютона с поряд-
	7 10 7 м	ковыми номерами k1 и k2 в отраженном свете опре-
	k1 5	деляются условиями
	k2 6	r5 (2k1 1)R / 2 ,
	R 5 м
		r6 (2k2 1)R / 2 .
	r ?
		Тогда разность r между 5-м и 6-м светлыми
		кольцами равна разности радиусов этих колец:

r r6 r5 (2k2 1)R / 2 (2k1 1)R / 2 R / 2((2k2 1) (2k1 1)) .

Произведем вычисления:

			5 7 10 7
										1,75 10 8 (		11 9) 0,42 10 3 м.
	r				( 2 6 1			2 5 1)
			2
												Ответ: r 0,42 10 3м.

Пример 3.3. Точечный источник света с длиной волны 0,5 мкм расположен на расстоянии a 100 cм перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом r0 1 мм . Найти расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения P , для которой число зон Френеля в отверстии составляет m 3 . Светлое или темное пятно будет в точке наблюдения на экране?

Дано:	Решение.
0,5 мкм = 5 10 7 м
a 100 cм = 1 м		S	r0			P
r0 1 мм = 10-3м
m 3
		a		b
b ?
					Экран
				Рис. 3.2

Сферическая волна от источника S доходит до отверстия радиусом r0 .

В задаче сказано, что число зон Френеля, укладывающиеся в отверстие, равно m 3. На экране будет наблюдаться система чередующихся темных и светлых колец с общим центром в точке P , лежащих напротив центра отвер-

82

стия. Если в отверстие укладывается четное число зон Френеля, то в точке P будет темное пятно, если в отверстие укладывается нечетное число зон Френеля, то в точке будет светлое пятно. В нашей задаче m 3, следовательно, в центре будет светлое пятно.

Формула, связывающая радиус отверстия r0										с a, b, и m :
		r			abm	.				(1)
	0				a b
Из (1) найдем b :
r2	(a		b) abm ;
0
r2a abm r2b b(am r2 ) ,
0			0							0
откуда
					r2
			b	0				.
				2
				am r0
Произведем вычисления:
b			10 3 1							м = 2 м.
		1 3 5 10 7 10 6
	Ответ: b 2 м, в центре будет светлое пятно.

Пример 3.4. Каков период решетки d , если при нормальном падении на нее света с длиной волны 0,75 мкм на экране, отстоящем от решетки на

расстоянии L 1 м , максимумы первого порядка отстоят друг от друга на x 30,3 см ? Каково число штрихов N на l 1 см решетки? Какое количество максимумов дает эта дифракционная решетка? Каков максимальный уголmax , определяющий положение последнего дифракционного максимума?

Дано:

0,75 мкм =7,5 10 7 м

L 1 м

k1

x30,3 см 30,3 10 2 м

l1 см 10 2 м

d? , N ? , m ?,

max ?

Решение. Условие максимума на дифракционной решетке:

d sin k ,

(1)

где k 1, так как в условии говорится о максимумах первого порядка, – угол, под которым наблюдается максимум первого порядка.

Так как по условию x во много раз мень-

2

ше L , то sin tg .

Из рис. 3.3 следует, что

tg	x	.	(2)
	2L

83

Тогда
			L
k 2 k 1			Экран
	k 0	k 1	k 2
	x
	Рис. 3.3
фракционных максимумов

d					2 L	.	(3)
	sin		tg
					x

Зная d , можно найти, сколько периодов (а значит, и сколько штрихов) укладывается на длине l решетки, т. е.

N	l	.	(4)
	d
Для определения			по-

рядка последнего максимума

надо учесть,	что		sin		1.
Наибольший	порядок ди-

d
kmax			,

где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой,

m 2kmax 1.

Тогда (6) с учетом (5):

m 2 d 1.

(5)

(6)

(7)

(Такой результат получается, если учесть центральный максимум и то, что слева и справа от него расположены по kmax максимумов).

Максимальный угол max , соответствующий последнему дифракционному максимуму, определяется из соотношения

k

k

max

sin max

max

, max arcsin

.

(8)

d

d

Произведем вычисления:

d

2 7,5 10 7

1

м

4,95 10 6 м

4,95 10 4 cм ;

0,303

N

1

м 1

2,02 105

м 1

2,02 103 cм 1 .

l

4,95 10 6

Из (5)

4,95 10 6

6,6 6 .

kmax

7,5 10 7

Из (6)

m 2 6 1 13.

84

Произведем вычисления:

		6 7,5 10 7
	max arcsin			65 .
		4,95 10 6

Ответ: d 4,95 10 6 см ; N 2,02 103 см 1 ; m 13; max 65o .

Пример 3.5. Естественный свет падает на систему из двух последовательно расположенных одинаковых поляризаторов. Плоскость пропускания

второго поляризатора составляет угол 30o с плоскостью пропускания первого. Коэффициент поглощения каждого составляет 20 %. Во сколько раз

уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?

Дано:			Решение.
30o			Ie					I
20 % 0,2									0	I
	Ie	?
	I							Рис.3.4
		Интенсивность естественного света Ie , прошедшего через первый по-
ляризатор, будет определяться по формуле
			I	0	kI	e		cos2 ,		(1)
где – угол между колебаниями вектора E в естественной световой волне и

плоскостью пропускания поляризатора. Для естественного света все значе-

ния равновероятны, поэтому	cos2				1	, тогда
					2
	I0		Ie		k ,
			2				(1 )

где k – коэффициент пропускания поляризатора. Нам задан коэффициент поглощения , значит,

		I	0		Ie	(1 ) .							(2)
					2
Из второго поляризатора по закону Малюса выйдет свет интенсивно-
стью
I kI	0	cos2 (1 )I					0	cos2		Ie	(1 )2 cos2	,	(3)
									2

здесь – угол между плоскостями пропускания первого и второго поляризаторов. Отсюда

85

					Ie		2				.	(4)
					I		(1 )2 cos2
Произведем вычисления:
	Ie					2				8		4,2 раза .
				0,2)2 cos2 30o
	I	(1						1,92

Ответ: в 4,2 раза.

Пример 3.6. Свет переходит из жидкости в стекло с абсолютным показателем преломления n2 1,5 . Отраженный от стекла луч образует угол 94o с падающим лучом. Определить абсолютный показатель преломления жидкости n1 , если отраженный свет полностью поляризован.

Дано:

94o n2 1,5

n1 ?

Решение. Согласно закону Брюстера свет, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления второй среды относительно первой:

.n1 ....Бр ...Жидкость..

n2

Стекло

Рис. 3.5

Произведем вычисления:

1,5 n1 tg47o

tg

Бр

n2

n .

(1)

n1

21

Так как угол отражения ра-

вен углу падения, то Бр

и,

2

следовательно,

n2

tg 2

, откуда

n1

n

n2

.

(2)

1

tg

2

1,5

1,4 .

1,0724

Ответ: n1 nжид 1, 4 .

Пример 3.7. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Оценить время, за

86

которое масса

Солнца уменьшится на

1 %. Масса

Солнца

M

C

1,97 1030

кг

, радиус Солнца r

6,59 108

м .

C

Дано:

Решение. Согласно формуле Эйнштейна

max

4,8 10 7

м

E mc2 ,

(1)

где E –

энергия,

излучаемая Солнцем (для

r

6,59 108 м

C

нашего случая) за какое-то время; m – масса, те-

MC 1,97 1030 кг

ряемая Солнцем за счет излучения за то же вре-

b = 2,9 10-3 м К

мя. Тогда, теряемая масса за время t

σ = 5,67 10-8 Вт/(м2

К4 )

m

E

m

t

c2t

.

(2)

? , t1% ?

m

С другой стороны, энергию излучения АЧТ

можно представить, как

E t ,

(3)

где – поток лучистой энергии, испускаемый АЧТ (в нашем случае Солнцем) во все стороны.

Тогда формула (2) с учетом (3) запишется так:

	c2 .
m					(4)
Представим поток лучистой энергии как
RS R4 r2				,	(5)
		c
где R – энергетическая светимость; S – площадь поверхности излучаемого тела.
Так как излучение Солнца близко по своему составу					к излучению
АЧТ, то R R* .

По закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость АЧТ равна

		R* T 4 ,								(6)
где – постоянная Стефана – Больцмана; T – абсолютная температура тела.
Тогда (4) с учетом (5) и (6):
		R* 4 r2				T 4 4 r2
			c					c	.	(7)
m		c2						c2
Температуру T можно найти из закона смещения Вина:
		T		b			,			(8)
			max

где b – постоянная Вина; max – длина волны, соответствующая максимуму

испускательной способности АЧТ. Тогда (7) с учетом (8):

m	b4	4 r		2	.
			c
	4		c2
	max

87

Произведем вычисления:

m 5,67 10 8 (2,9 10 3)4 4 3,14 (6,95 108 )2 кг c 5 109 кг c . (4,8 10 7 )4 9 1016

Найдем массу 1 % от массы Солнца m1% 100M 1,97 1028 кг . Тогда время, за которое Солнце потеряет 1 % своей массы, можно найти, разделив массу 1 % Солнца на массу m (массу, теряемую Солнцем за 1 с излучения):

	m		1,97		1028					4 1018 c 1,27 1011
t	1%							c				лет .
						9
1%				5
	m				10
						5	9		кг c ; t1%		18	11
	Ответ: m						10				4 10 c	1,27 10 лет .

Пример 3.8. На цинковую пластину падает монохроматический пучок света. Фототок прекращается при задерживающем напряжении между като-

дом и анодом U3 1,5 B. Определить длину волны

света, падающего на

пластину, и максимальную скорость max фотоэлектронов.

Дано:

Решение. Из формулы Эйнштейна для фотоэффекта

U3 1,5 B

h A

m 2

h 6,62 10 34

e max

,

(1)

Дж с

вых

2

c 3 108 м / с

т. к.

c

, то

AZn 4 эВ 6,4 10 19 Дж

m 2

me 9,1 10

31

кг

c

A

h

e max

.

(2)

e 1,6 10 19 Кл

вых

2

? , max ?

Электроны вылетают из катода с различными скоростями. Приложив к электродам задерживающее напряжение U 3 , при котором фототок станет

равным нулю, можно определить максимальное значение скорости фотоэлектронов по формуле

	m		2
		e	max	eU		3	.		(3)
		2
Из (3)
		max			2eU3		.		(4)
					me

Произведем вычисления:

88

				2 1,6 10 19		1,5		м c		4,8	10 19		м c =		4,8	10 19		м c
	max			9,1	10 31					9,1	10 31				9,1	10 31

0,527 1012 мc 0,726 106 мc.

Сучетом (3) перепишем (2): hc Aвых eU3 , откуда

						hc			.	(5)
					A	eU		3
					вых
Произведем вычисления:
	6,62 10 34	3 108	м	19,86 10 26				м		2,25 10 7 м .
	6,4 10 19	2,4 10 19			8,8 10 19

Ответ: max 7,26 105 мc , 2,25 10 7 м .

Пример 3.9. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствую-

щее эффективное rýô		расстояние его от ядра.
Дано:			Решение. В модели Бора полная энергия электрона в
m, e,			атоме водорода
					E	m 2		ke2
									,	(1)
rэф ?,	Emin ?					2		r
				m 2						ke2
			где		– кинетическая энергия электрона;						–
				2						r

потенциальная энергия электрона в поле неподвижного ядра, состоящего из протона.

Соотношение неопределенностей для нашего случая

		r p .								(2)
	Поскольку p ~ p и r ~ r , подставим p и r								в (2). Получим rp .
	Импульс нерелятивистской частицы				p m . Тогда rm и, следова-
	тельно,
						.				(3)
					mr
	Подставим (3) в формулу кинетической энергии:
		m 2			m 2		2
										.
	2			2m2r2				2mr2
										(4)
	Подставим (4) в (1):

89

E

Исследуем функцию f r

гумента r найдем из условия						df
ý						dr
Поскольку	d 2 f				3 2
	dr2				mr4
			r rэ			э

	2		ke2	f r .	(5)
	2mr2		r

на экстремум. Экстремальное значение ар-

0 .

r rэ

	2ke2		3m3k 4e8	0 , то	f r	f		,
							min
	r3		3		э
	э

2

ke2

0,

ke2

2

df

,

dr

r r

mrэ3

rэ2

rэ2

mrэ3

э

откуда

2

rэ

.

(6)

mke2

Подставим (6) в (5), получим

fmin

2

ke2

mk 2e2

.

(7)

2mrэ2

rэ

2

2

Поскольку

соотношение (5)

должно

выполняться

для

всех r , то

E fmin . Следовательно, Emin fmin , а эффективный радиус rэф rэ .

Ответ: r

2

;

E

mk 2e2

.

min

эф

mke2

2

2

Пример 3.10. Электрон разогнали из состояния покоя в электрическом

поле при напряжении U 100 B. Чему равна длина волны де Бройля Б

это-

го электрона?

Дано:

Решение. Длина волны де Бройля определяется ра-

0 0

венством

2

U 100 B

Б

h

h

,

(1)

m 9,1 10 31 кг

p

p

me

e

где – скорость электрона, разогнанного электри-

e 1,6 10 19 Кл

h 6,62 10 34 Дж с

ческим полем.

Кинетическая энергия такого электрона

Á ?

me

2

Eк

.

(2)

2

Поскольку работа сил электростатического поля

A eU

(3)

90