Sluchaynye_protsessy

a1 = P(x(t) =1) = 12 , a2 = P(x(t) =1) = 12 .

Теперь можно найти математическое ожидание и ковариационную функцию телеграфного сигнала. Для больших моментов времени (т.е. для стационарного состояния) получим

					E(x(t)) =1× P(x(t) =1) -1× P(x(t) = -1) =															1		-	1	= 0 ,
																			2
											Rξ (τ) = E(ξ(t)ξ(t + τ))=											2
=1×1× a			× p (t) +1× (-1) × a × p (t) + (-1) ×1× a × p													2,1		(t) + (-1) × (-1) × a × p							2,2	(t) =
	1			1,1						1	1,2				2							2
	1			1		æ 1			1		ö æ 1			1	ö	1			1
=			+		e−2λτ	- ç		-		e−2λτ ÷ - ç			-		e−2λτ ÷ +		+				e−2λτ = e−2λτ , τ > 0.
	4			4					4					4		4			4
						è 4					ø è 4				ø

Учитывая, что ковариационная функция является четной, получаем выражение ковариаци- онной функции для любых τ :

Rξ (t) = e−2λ τ .

81

Литература

1.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 448 с.

2.Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 2-е изд. –

М.: Наука, 1987. – 336 с.

3.Тихонов В.И., Миронов В.А. Марковские процессы. – М.: Сов. Радио, 1977. – 488 с.

4.Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика.

–М.: Высшая школа, 1982. – 256 с.

5.Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1986. – 432 с.

6.Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.: Мир, 1969. – 398

с.

7.Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. – М.: Мир, 1973. – 324

с.

8.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987. –

9.Муха В.С. Теория вероятностей. – Мн.: БГУИР, 2001. – 167 с.

10.Муха В.С. Методическое пособие по курсу "Вероятностные процессы в АСУ". Часть

1. – Мн.: МРТИ, 1987. – 60 с.

11.Муха В.С. Методическое пособие по курсу "Вероятностные процессы в АСУ". Часть

2. – Мн.: МРТИ, 1987. – 60 с.

12.Муха У.С. Тэорыя имавернасцяу i матэматычная статыстыка: У 2-х частках: Выпад- ковыя працэсы: Ч. 2: Тэксты лекцый для студэнтау радыетэхнiчных спецыяльнасцяу. – Мн.:

БДУИР, 1996. – 88 с.

13.Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. – Мн.: Университетское, 1987. – 304 с.

14.Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. – М.:

Наука, 1972. –

82

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ...........................................................................................................................	3
1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................................	4
1.1. Операции над множествами...............................................................................................	4
1.2. Мощность множества.........................................................................................................	6
1.3. Упорядоченные множества. Точная верхняя грань множества........................................	7
1.4. Системы множеств .............................................................................................................	7
2. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ......................................................	11
2.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов..................	11
2.2. Конечномерные распределения случайного процесса....................................................	14
2.3. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса ......................................	15
2.4. Ковариационная функция случайного процесса .............................................................	16
2.5. Взаимная ковариационная функция двух случайных процессов ...................................	18
2.6. Стационарный случайный процесс..................................................................................	19
2.7. Гауссовский (нормальный) случайный процесс..............................................................	22
3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ...............	23
3.1. Спектральная функция и спектральная плотность стационарного случайного процесса
с непрерывным временем........................................................................................................	23
3.2 Спектральная функция и спектральная плотность стационарной случайной
последовательности.................................................................................................................	25
3.3. Белый шум ........................................................................................................................	27
4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ....................................................................................................	29
4.1. Непрерывность случайного процесса..............................................................................	29
4.2. Дифференцируемость случайного процесса ...................................................................	30
4.3. Дифференцируемость стационарного случайного процесса ..........................................	31
4.4. Производная в среднем квадратичном случайного процесса.........................................	34
4.5. Интегрируемость случайного процесса...........................................................................	35
4.6. Интеграл от случайного процесса с переменным верхним пределом............................	36
5. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ...........................	38
5.1. Прохождение нестационарного случайного процесса через линейную стационарную
динамическую систему ...........................................................................................................	38
5.2. Прохождение стационарного случайного процесса через линейную стационарную
динамическую систему ...........................................................................................................	38
6. Цепи Маркова .........................................................................................................................	41
6.1. Определение цепи Маркова .............................................................................................	41
6.2. Вероятности перехода за несколько шагов (уравнение Чепмена-Колмогорова)...........	43
6.3. Безусловные вероятности цепи Маркова.........................................................................	43
6.4. Классификация состояний цепи Маркова .......................................................................	44
6.5. Предельные вероятности состояний цепи Маркова........................................................	46
7. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ ..........................	50
7.1. Процессы с некоррелированными приращениями..........................................................	50
7.2. Процессы со стационарными некоррелированными приращениями.............................	51
7.3. Процессы Маркова с непрерывным множеством значений............................................	52
7.4. Процессы с независимыми приращениями .....................................................................	53
7.5. Винеровский процесс .......................................................................................................	55
8. ПОТОКИ ТРЕБОВАНИЙ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ..................	58
8.1. Определение простейшего (Пуассоновского) потока.....................................................	58
8.2. Свойства простейшего потока..........................................................................................	59

83

8.3. Дифференциальные уравнения простейшего потока......................................................	61
8.4. Решение дифференциальных уравнений простейшего потока.......................................	62
8.5. Средние характеристики простейшего потока................................................................	63
8.6. Другие свойства простейшего потока..............................................................................	64
9. ЦЕПИ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ..........................................................	67
9.1. Определение. Уравнение Чепмена-Колмогорова............................................................	67
9.2. Свойства вероятностей перехода.....................................................................................	68
9.3. Дифференциальные уравнения для вероятностей перехода...........................................	70
9.4. Процессы рождения и гибели ..........................................................................................	72
9.5. Процессы чистого рождения............................................................................................	73
9.6. Пуассоновский процесс....................................................................................................	75
9.7. Процесс рождения и гибели как математическая модель системы массового
обслуживания ..........................................................................................................................	77
9.8. Случайный телеграфный сигнал......................................................................................	79

84

Учебное издание

Муха Владимир Степанович

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Учебное пособие для студентов высших учебных заведений, осуществляющих подготовку

специалистов в области информатики и радиоэлектроники

В авторской редакции

Подписано в печать	Печать	Формат 60×84 1/16
Бумага		Гарнитура
Усл. печ. л.	Уч.-изд. л.	Тираж 100 экз.	Заказ

85