1.3.Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

a11x1	+ a12x2	+…+	a1nxn	=0,
a21x1	+a22x2	+…+	a2nxn	(4) =0,
…	…	…	…	…,
am1x1	+am2x2	+…+	amnxn	=0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (4) имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,..., х_n=0.

1.4.Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных — заключается в том, что с помощью элементарных преобразований систем уравнение приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Элементарными преобразованиями строк матрицы являются: сложение строк матрицы, вычитание строк матрицы, сложение или вычитание строки, умноженной на произвольное число, не равное нулю.

Переход системы (1) к равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из последней системы — обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Матрица

называется расширенной матрицей системы (1), так как в неё, кроме матрицы системы A, дополнительно включен столбец свободных членов.

2.Практическая часть

2.1.Решить систему методом Гаусса

Приведем систему уравнений к матричному виду:

2	4	1	-2	-6
3	-1	-1	2	-12
6	-1	3	2	-13
1	2	-3	1	-12

Из 2, 3 и 4 строчки вычтем 1 строчку, умноженную на a₂₁, a₃₁,a₄₁ и деленную на a₁₁ соответственно:

2	4	1	-2	-6
0	-7	-2,5	5	-3
0	-13	0	8	5
0	0	-3,5	2	-9

Из 3 и 4 строчки вычтем 1 строчку, умноженную на a₃₂, a₄₂ и деленную на a₂₁ соответственно:

2	4	1	-2	-6
0	-7	-3	5	-3
0	0	3,25	1,5	-14,5
0	0	0	-5	-30

Получили, что r(A|B)=r(A), следовательно, система имеет решения. Переписываем матрицу в систему уравнений:

	2x1 + 4x2+ x3 -2х4= -6
	-7x2 -3x3 + 5x4 = -3 3,25х3+1,5х4=-14,5 -5х4=-30

Отсюда следует, что х₄=-30/(-5)=6. Далее находим х₃, х₃=(-14,5-1,5х₄)/3,25=-7,23077. Таким же образом находим х₂=(-3+3х₃-5х₄)/(-7)= 7,81319, х₁=(-6-4х₂-х₃-2х₄)/2=-21,011

Ответ: х₁=-21,011

х₂=7,81319

х₃=-7,23077

х₄=6